Функция Спенс - Википедия - Spences function

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Ноябрь 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Дилогарифм по действительной оси

В математика, Функция Спенса, или же дилогарифм, обозначаемый Li₂(z), является частным случаем полилогарифм. Два связанных специальные функции называются функцией Спенса, сам дилогарифм:

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) = - int _ {0} ^ {z} { ln (1-u) over u} , du { text {,}} z in mathbb {C}}$

и его отражение. ${ Displaystyle | г | <1}$ также применяется бесконечный ряд (интегральное определение представляет собой его аналитическое расширение на комплексную плоскость):

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) = sum _ {k = 1} ^ { infty} {z ^ {k} over k ^ {2}}.}$

В качестве альтернативы функция дилогарифма иногда определяется как

${ displaystyle int _ {1} ^ {v} { frac { ln t} {1-t}} dt = operatorname {Li} _ {2} (1-v).}$

В гиперболическая геометрия дилогарифм ${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z)}$ происходит как гиперболический объем из идеальный симплекс идеальные вершины которых имеют перекрестное соотношение ${ displaystyle z}$. Функция Лобачевского и Функция Клаузена являются тесно связанными функциями.

Уильям Спенс, в честь которого эта функция была названа ранними авторами в этой области, был шотландским математиком, работавшим в начале девятнадцатого века.^[1] Он был в школе с Джон Галт,^[2] который позже написал биографический очерк о Спенсе.

Аналитическая структура

Используя предыдущее определение выше, функция дилогарифма аналитична всюду на комплексной плоскости, кроме точки ${ displaystyle z = 1}$, где он имеет логарифмическую точку ветвления. Стандартный выбор сечения ветви - вдоль положительной вещественной оси. ${ displaystyle (1, infty)}$. Однако функция является непрерывной в точке ветвления и принимает значение ${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (1) = pi ^ {2} / 6}$.

Идентичности

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) + operatorname {Li} _ {2} (- z) = { frac {1} {2}} operatorname {Li} _ {2} ( z ^ {2}).}$^[3]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (1-z) + operatorname {Li} _ {2} left (1 - { frac {1} {z}} right) = - { frac { ln ^ {2} z} {2}}.}$^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) + operatorname {Li} _ {2} (1-z) = { frac {{ pi} ^ {2}} {6}} - ln z cdot ln (1-z).}$^[3]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (- z) - operatorname {Li} _ {2} (1-z) + { frac {1} {2}} operatorname {Li} _ {2 } (1-z ^ {2}) = - { frac {{ pi} ^ {2}} {12}} - ln z cdot ln (z + 1).}$^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (z) + operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {z}} right) = - { frac { pi ^ {2}} {6}} - { frac {1} {2}} ln ^ {2} (- z).}$^[3]

Особые ценностные идентичности

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {3}} right) - { frac {1} {6}} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {9}} right) = { frac {{ pi} ^ {2}} {18}} - { frac { ln ^ {2} 3} {6}}. }$^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left (- { frac {1} {2}} right) + { frac {1} {6}} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {9}} right) = - { frac {{ pi} ^ {2}} {18}} + ln 2 cdot ln 3 - { frac { ln ^ {2} 2} {2}} - { frac { ln ^ {2} 3} {3}}.}$^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {4}} right) + { frac {1} {3}} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {9}} right) = { frac {{ pi} ^ {2}} {18}} + 2 ln 2 ln 3-2 ln ^ {2} 2- { frac {2} {3}} ln ^ {2} 3.}$ ^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left (- { frac {1} {3}} right) - { frac {1} {3}} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {9}} right) = - { frac {{ pi} ^ {2}} {18}} + { frac {1} {6}} ln ^ {2 } 3.}$^[4]

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left (- { frac {1} {8}} right) + operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {9 }} right) = - { frac {1} {2}} ln ^ {2} { frac {9} {8}}.}$^[4]

${ displaystyle 36 operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {2}} right) -36 operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} { 4}} right) -12 operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {8}} right) +6 operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {64}} right) = { pi} ^ {2}.}$

Особые ценности

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (- 1) = - { frac {{ pi} ^ {2}} {12}}.}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (0) = 0.}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {1} {2}} right) = { frac {{ pi} ^ {2}} {12}} - { frac { ln ^ {2} 2} {2}}.}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (1) = zeta (2) = { frac {{ pi} ^ {2}} {6}},}$ куда ${ displaystyle zeta (s)}$ это Дзета-функция Римана.

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (2) = { frac {{ pi} ^ {2}} {4}} - i pi ln 2.}$

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Li} _ {2} left (- { frac {{ sqrt {5}} - 1} {2}} right) & = - { frac { { pi} ^ {2}} {15}} + { frac {1} {2}} ln ^ {2} { frac {{ sqrt {5}} + 1} {2}} & = - { frac {{ pi} ^ {2}} {15}} + { frac {1} {2}} operatorname {arcsch} ^ {2} 2. end {align}}}$

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Li} _ {2} left (- { frac {{ sqrt {5}} + 1} {2}} right) & = - { frac { { pi} ^ {2}} {10}} - ln ^ {2} { frac {{ sqrt {5}} + 1} {2}} & = - { frac {{ pi } ^ {2}} {10}} - operatorname {arcsch} ^ {2} 2. end {align}}}$

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {3 - { sqrt {5}}} {2}} right) & = { frac {{ pi} ^ {2}} {15}} - ln ^ {2} { frac {{ sqrt {5}} + 1} {2}} & = { frac {{ pi} ^ { 2}} {15}} - operatorname {arcsch} ^ {2} 2. end {align}}}$

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Li} _ {2} left ({ frac {{ sqrt {5}} - 1} {2}} right) & = { frac {{ pi} ^ {2}} {10}} - ln ^ {2} { frac {{ sqrt {5}} + 1} {2}} & = { frac {{ pi} ^ { 2}} {10}} - operatorname {arcsch} ^ {2} 2. end {align}}}$

В физике элементарных частиц

Функция Спенса часто встречается в физике элементарных частиц при вычислении радиационных поправок. В этом контексте функция часто определяется с абсолютным значением внутри логарифма:

${ displaystyle operatorname { Phi} (x) = - int _ {0} ^ {x} { frac { ln | 1-u |} {u}} , du = { begin {cases} operatorname {Li} _ {2} (x), & x leq 1; { frac { pi ^ {2}} {3}} - { frac {1} {2}} ln ^ { 2} (x) - operatorname {Li} _ {2} ({ frac {1} {x}}), & x> 1. end {cases}}}$

Примечания

Рекомендации

• Левин, Л. (1958). Дилогарифмы и связанные с ними функции. Предисловие Дж. К. П. Миллера. Лондон: Макдональд. МИСТЕР  0105524.
• Моррис, Роберт (1979). «Функция дилогарифма действительного аргумента». Математика. Comp. 33 (146): 778–787. Дои:10.1090 / S0025-5718-1979-0521291-X. МИСТЕР  0521291.
• Локстон, Дж. Х. (1984). «Особые значения дилогарифма». Acta Arith. 18 (2): 155–166. Дои:10.4064 / aa-43-2-155-166. МИСТЕР  0736728.
• Кириллов, Анатолий Н. (1994). «Дилогарифм тождеств». Приложение "Прогресс теоретической физики". 118: 61–142. arXiv:hep-th / 9408113. Bibcode:1995PThPS.118 ... 61K. Дои:10.1143 / PTPS.118.61.
• Осакар, Карлос; Паласиан, Иисус; Паласиос, Мануэль (1995). «Численная оценка дилогарифма комплексного аргумента». Селест. Мех. Дин. Astron. 62 (1): 93–98. Bibcode:1995CeMDA..62 ... 93O. Дои:10.1007 / BF00692071.
• Загир, Дон (2007). «Функция дилогарифма». У Пьера Картье; Пьер Мусса; Бернар Джулия; Пьер Ванхов (ред.). Границы теории чисел, физики и геометрии II (PDF). С. 3–65. Дои:10.1007/978-3-540-30308-4_1. ISBN  978-3-540-30308-4.

дальнейшее чтение

• Блох, Спенсер Дж. (2000). Высшие регуляторы, алгебраические K-теория и дзета-функции эллиптических кривых. Серия монографий CRM. 11. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2114-8. Zbl  0958.19001.

внешняя ссылка

• Цифровая библиотека математических функций NIST: Дилогарифм
• Вайсштейн, Эрик В. «Дилогарифм». MathWorld.