Сферические мультипольные моменты - Spherical multipole moments

Сферические мультипольные моменты - коэффициенты в расширение серии из потенциал которая изменяется обратно пропорционально расстоянию R до источника, т.е., как 1 /р. Примеры таких потенциалов: электрический потенциал, то магнитный потенциал и гравитационный потенциал.

Для наглядности проиллюстрируем разложение для точечный заряд, затем обобщить на произвольную плотность заряда ${displaystyle ho (mathbf {r ^ {prime}})}$ . В этой статье выделенные координаты, такие как ${displaystyle mathbf {r ^ {prime}}}$ относятся к положению заряда (ей), тогда как координаты без штриха, такие как ${displaystyle mathbf {r}}$ относятся к точке, в которой наблюдается потенциал. Мы также используем сферические координаты повсюду, например, вектор ${displaystyle mathbf {r ^ {prime}}}$ имеет координаты ${displaystyle (r ^ {prime}, heta ^ {prime}, phi ^ {prime})}$ куда ${displaystyle r ^ {prime}}$ это радиус, ${displaystyle heta ^ {prime}}$ это холодность и ${displaystyle phi ^ {prime}}$ это азимутальный угол.

Сферические мультипольные моменты точечного заряда

Рисунок 1: Определения для сферического мультипольного расширения

В электрический потенциал из-за точечного заряда, расположенного по адресу ${displaystyle mathbf {r ^ {prime}}}$ дан кем-то

{displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {q} {4pi varepsilon}} {frac {1} {R}} = {frac {q} {4pi varepsilon}} {frac {1} {sqrt {r ^ {2} + r ^ {простое число 2} -2r ^ {простое число} rcos gamma}}}.}

куда ${displaystyle R {stackrel {mathrm {def}} {=}} left | mathbf {r} -mathbf {r ^ {prime}} ight |}$ расстояние между положением заряда и точкой наблюдения, а ${displaystyle gamma}$ угол между векторами ${displaystyle mathbf {r}}$ и ${displaystyle mathbf {r ^ {prime}}}$ .Если радиус ${displaystyle r}$ точки наблюдения больше чем радиус ${displaystyle r ^ {prime}}$ заряда, мы можем вычесть 1 /р и раскладываем квадратный корень по степеням ${displaystyle (r ^ {prime} / r) <1}$ с помощью Полиномы Лежандра

{displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {q} {4pi varepsilon r}} sum _ {l = 0} ^ {infty} left ({frac {r ^ {prime}} {r}} ight) ^ {l} P_ {l} (cos gamma)}

Это в точности аналогично осевое многополюсное расширение.

Мы можем выразить ${displaystyle cos gamma}$ по координатам точки наблюдения и позиции заряда с помощью сферический закон косинусов (Рис. 2)

{displaystyle cos gamma = cos heta cos heta ^ {prime} + sin heta sin heta ^ {prime} cos (phi -phi ^ {prime})}

Рисунок 2: Углы между единичными векторами

{displaystyle mathbf {шляпа {z}}}

(ось координат),

{displaystyle mathbf {шляпа {r}}}

(точка наблюдения) и

{displaystyle mathbf {{шляпа {r}} ^ {prime}}}

(позиция заряда).

Подставляя это уравнение для ${displaystyle cos gamma}$ в Полиномы Лежандра а разложение на множители координат со штрихом и без штриха дает важную формулу, известную как теорема сложения сферических гармоник

{displaystyle P_ {l} (cos gamma) = {frac {4pi} {2l + 1}} sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (heta, phi) Y_ {lm} ^ {* } (heta ^ {prime}, phi ^ {prime})}

где ${displaystyle Y_ {lm}}$ функции сферические гармоники.Подстановка этой формулы в потенциальные доходности

{displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {q} {4pi varepsilon r}} sum _ {l = 0} ^ {infty} left ({frac {r ^ {prime}} {r}} ight) ^ {l} left ({frac {4pi} {2l + 1}} ight) sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (heta, phi) Y_ {lm} ^ {*} (heta ^ {prime}, phi ^ {prime})}

который можно записать как

{displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {1} {4pi varepsilon}} sum _ {l = 0} ^ {infty} sum _ {m = -l} ^ {l} left ({frac {Q_ { lm}} {r ^ {l + 1}}} ight) {sqrt {frac {4pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (heta, phi)}

где определены мультипольные моменты

{displaystyle Q_ {lm} {stackrel {mathrm {def}} {=}} qleft (r ^ {prime} ight) ^ {l} {sqrt {frac {4pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} ^ {*} (heta ^ {prime}, phi ^ {prime})}

.

Как и с осевые мультипольные моменты, можно также рассмотреть случай, когда радиус ${displaystyle r}$ точки наблюдения меньше чем радиус ${displaystyle r ^ {prime}}$ заряда. В этом случае мы можем написать

{displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {q} {4pi varepsilon r ^ {prime}}} sum _ {l = 0} ^ {infty} left ({frac {r} {r ^ {prime}}) } ight) ^ {l} left ({frac {4pi} {2l + 1}} ight) sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (heta, phi) Y_ {lm} ^ {* } (heta ^ {prime}, phi ^ {prime})}

который можно записать как

{displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {1} {4pi varepsilon}} sum _ {l = 0} ^ {infty} sum _ {m = -l} ^ {l} I_ {lm} r ^ { l} {sqrt {frac {4pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (heta, phi)}

где внутренние сферические мультипольные моменты определены как комплексно сопряженные нерегулярные сплошные гармоники

{displaystyle I_ {lm} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {q} {left (r ^ {prime} ight) ^ {l + 1}}} {sqrt {frac {4pi} {2l +1}}} Y_ {lm} ^ {*} (heta ^ {prime}, phi ^ {prime})}

Эти два случая можно объединить в одно выражение, если ${displaystyle r _ {<}}$ и ${displaystyle r _ {>}}$ определены как соответственно меньший и больший из двух радиусов ${displaystyle r}$ и ${displaystyle r ^ {prime}}$ ; тогда потенциал точечного заряда принимает форму, которую иногда называют Разложение лапласа

{displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {q} {4pi varepsilon}} sum _ {l = 0} ^ {infty} {frac {r _ {<} ^ {l}} {r _ {>} ^ { l + 1}}} left ({frac {4pi} {2l + 1}} ight) sum _ {m = -l} ^ {l} Y_ {lm} (heta, phi) Y_ {lm} ^ {*} (heta ^ {prime}, phi ^ {prime})}

Общие сферические мультипольные моменты

Эти формулы легко обобщить, заменив точечный заряд ${displaystyle q}$ с бесконечно малым элементом заряда ${displaystyle ho (mathbf {r} ^ {prime}) dmathbf {r} ^ {prime}}$ и интеграция. Функциональная форма расширения такая же

{displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {1} {4pi varepsilon}} sum _ {l = 0} ^ {infty} sum _ {m = -l} ^ {l} left ({frac {Q_ { lm}} {r ^ {l + 1}}} ight) {sqrt {frac {4pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (heta, phi)}

где определены общие мультипольные моменты

{displaystyle Q_ {lm} {stackrel {mathrm {def}} {=}} int dmathbf {r} ^ {prime} ho (mathbf {r} ^ {prime}) left (r ^ {prime} ight) ^ {l } {sqrt {frac {4pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} ^ {*} (heta ^ {prime}, phi ^ {prime})}

Примечание

Потенциал Φ (р) действительна, так что комплексно сопряженное разложение также верно. Взятие комплексно сопряженного приводит к определению мультипольного момента, который пропорционален Y_lm, а не его комплексно сопряженный. Это обычное соглашение, см. молекулярные мультиполи для получения дополнительной информации об этом.

Внутренние сферические мультипольные моменты

Точно так же внутреннее многополюсное расширение имеет такую же функциональную форму

{displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {1} {4pi varepsilon}} sum _ {l = 0} ^ {infty} sum _ {m = -l} ^ {l} I_ {lm} r ^ { l} {sqrt {frac {4pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (heta, phi)}

с внутренними мультипольными моментами, определенными как

{displaystyle I_ {lm} {stackrel {mathrm {def}} {=}} int dmathbf {r} ^ {prime} {frac {ho (mathbf {r} ^ {prime})} {left (r ^ {prime}) ight) ^ {l + 1}}} {sqrt {frac {4pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} ^ {*} (heta ^ {prime}, phi ^ {prime})}

Энергии взаимодействия сферических мультиполей

Может быть получена простая формула для энергии взаимодействия двух неперекрывающихся, но концентрических распределений заряда. Пусть первое распределение заряда ${displaystyle ho _ {1} (mathbf {r} ^ {prime})}$ центрироваться в начале координат и полностью лежать внутри второго распределения заряда ${displaystyle ho _ {2} (mathbf {r} ^ {prime})}$ . Энергия взаимодействия между любыми двумя распределениями статического заряда определяется выражением

{displaystyle U {stackrel {mathrm {def}} {=}} int dmathbf {r} ho _ {2} (mathbf {r}) Phi _ {1} (mathbf {r})}

Потенциал ${displaystyle Phi _ {1} (mathbf {r})}$ распределения первого (центрального) заряда можно разложить по внешним мультиполям

{displaystyle Phi (mathbf {r}) = {frac {1} {4pi varepsilon}} sum _ {l = 0} ^ {infty} sum _ {m = -l} ^ {l} Q_ {1lm} left ({ frac {1} {r ^ {l + 1}}} ight) {sqrt {frac {4pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (heta, phi)}

куда ${displaystyle Q_ {1lm}}$ представляет ${displaystyle lm}$ внешний мультипольный момент первого распределения заряда. Подстановка этого разложения дает формулу

{displaystyle U = {frac {1} {4pi varepsilon}} sum _ {l = 0} ^ {infty} sum _ {m = -l} ^ {l} Q_ {1lm} int dmathbf {r} ho _ {2 } (mathbf {r}) left ({frac {1} {r ^ {l + 1}}} ight) {sqrt {frac {4pi} {2l + 1}}} Y_ {lm} (heta, phi)}

Поскольку интеграл равен комплексному сопряжению внутренних мультипольных моментов ${displaystyle I_ {2lm}}$ второго (периферийного) распределения заряда формула энергии сводится к простому виду

{displaystyle U = {frac {1} {4pi varepsilon}} sum _ {l = 0} ^ {infty} sum _ {m = -l} ^ {l} Q_ {1lm} I_ {2lm} ^ {*}}

Например, эту формулу можно использовать для определения энергий электростатического взаимодействия атомного ядра с окружающими его электронными орбиталями. И наоборот, зная энергии взаимодействия и внутренние мультипольные моменты электронных орбиталей, можно найти внешние мультипольные моменты (и, следовательно, форму) атомного ядра.

Частный случай осевой симметрии

Сферическое мультипольное расширение принимает простой вид, если распределение заряда аксиально-симметрично (т. Е. Не зависит от азимутальный угол ${displaystyle phi ^ {prime}}$ ). Путем проведения ${displaystyle phi ^ {prime}}$ интеграции, которые определяют ${displaystyle Q_ {lm}}$ и ${displaystyle I_ {lm}}$ , можно показать, что все мультипольные моменты равны нулю, кроме тех случаев, когда ${displaystyle m = 0}$ . Использование математической идентичности