Разложение Лапласа (потенциал) - Laplace expansion (potential)

В физике Разложение Лапласа потенциалов, которые прямо пропорциональны обратной величине расстояния (${displaystyle 1 / r}$), Такие как Гравитационный потенциал Ньютона или же Кулоновский электростатический потенциал, выражает их через сферические полиномы Лежандра. В квантово-механических расчетах атомов разложение используется для оценки интегралов межэлектронного отталкивания.

Фактически расширение Лапласа - это увеличение обратного расстояния между двумя точками. Пусть точки имеют векторы положения ${displaystyle {extbf {r}}}$ и ${displaystyle {extbf {r}} '}$, то разложение Лапласа имеет вид

${displaystyle {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} = sum _ {ell = 0} ^ {infty} {frac {4pi} {2ell +1}} sum _ {m = -ell} ^ {ell} (- 1) ^ {m} {frac {r_ {scriptscriptstyle <} ^ {ell}} {r_ {scriptscriptstyle>} ^ {ell +1}}} Y_ {ell} ^ {- m } (heta, varphi) Y_ {ell} ^ {m} (heta ', varphi').}$

Здесь ${displaystyle {extbf {r}}}$ имеет сферические полярные координаты ${displaystyle (r, heta, varphi)}$ и ${displaystyle {extbf {r}} '}$ имеет ${displaystyle (r ', heta', varphi ')}$ с однородными многочленами степени ${displaystyle ell}$. Дальше р_< мин (р, р') и р_> макс (р, р′). Функция ${displaystyle Y_ {ell} ^ {m}}$ нормализованный сферическая гармоническая функция. Расширение принимает более простую форму, если записать его в терминах сплошные гармоники,

${displaystyle {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} = sum _ {ell = 0} ^ {infty} sum _ {m = -ell} ^ {ell} (- 1) ^ {m} I_ {ell} ^ {- m} (mathbf {r}) R_ {ell} ^ {m} (mathbf {r} ') quad {ext {with}} quad | mathbf {r} |> | mathbf {r} '|.}$

Вывод

Вывод этого разложения прост. Посредством закон косинусов,

${displaystyle {frac {1} {| mathbf {r} -mathbf {r} '|}} = {frac {1} {sqrt {r ^ {2} + (r') ^ {2} -2rr'cos gamma) }}} = {frac {1} {r {sqrt {1 + h ^ {2} -2hcos gamma}}}} quad {hbox {with}} quad h: = {frac {r '} {r}}. }$

Мы находим здесь производящую функцию Полиномы Лежандра ${displaystyle P_ {ell} (cos gamma)}$ :

${displaystyle {frac {1} {sqrt {1 + h ^ {2} -2hcos gamma}}} = sum _ {ell = 0} ^ {infty} h ^ {ell} P_ {ell} (cos gamma).}$

Использование теорема сложения сферических гармоник

${displaystyle P_ {ell} (cos gamma) = {frac {4pi} {2ell +1}} sum _ {m = -ell} ^ {ell} (- 1) ^ {m} Y_ {ell} ^ {- m } (heta, varphi) Y_ {ell} ^ {m} (heta ', varphi')}$

дает желаемый результат.

Рекомендации

• Гриффитс, Дэвид Дж. (Дэвид Джеффри). Введение в электродинамику. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл, 1981.