Модель Изинга с квадратной решеткой - Square lattice Ising model

В статистическая механика, то двумерная квадратная решетка Модель Изинга это простой решетчатая модель взаимодействия магнитные спины. Модель отличается наличием нетривиальных взаимодействий, но при этом имеет аналитическое решение. Модель решена Ларс Онсагер в частном случае, когда внешнее магнитное поле ЧАС = 0.(Онзагер (1944) ) Аналитическое решение для общего случая при ${displaystyle Heq 0}$ еще предстоит найти.

Определение модели

Рассмотрим 2D Модель Изинга на квадратная решетка ${displaystyle Lambda}$ с N сайтов, с периодическим граничные условия как в горизонтальном, так и в вертикальном направлениях, что эффективно снижает топология модели на тор. В общем случае горизонтальная связь J не равно сцеплению в вертикальном направлении, J *. При равном количестве строк и столбцов в решетке будет N каждого. С точки зрения

{displaystyle K = eta J}

{displaystyle L = eta J ^ {*}}

куда ${displaystyle eta = {frac {1} {kT}}}$ куда Т является абсолютная температура и k является Постоянная Больцмана, то функция распределения ${displaystyle Z_ {N} (K, L)}$ дан кем-то

{displaystyle Z_ {N} (K, L) = sum _ {{sigma}} exp left (Ksum _ {langle ijangle _ {H}} sigma _ {i} sigma _ {j} + Lsum _ {langle ijangle _ { V}} sigma _ {i} sigma _ {j} ight).}

Критическая температура

Критическая температура ${displaystyle T_ {c}}$ можно получить из Двойственность Крамерса – Ванье связь. Обозначая свободную энергию на сайт как ${displaystyle F (K, L)}$ , надо:

{displaystyle eta Fleft (K ^ {*}, L ^ {*} ight) = eta Fleft (K, Light) + {frac {1} {2}} log left [sinh left (2Kight) sinh left (2Light) ight ]}

куда

{displaystyle sinh left (2K ^ {*} ight) sh left (2Light) = 1}

{displaystyle sinh left (2L ^ {*} ight) sh left (2Kight) = 1}

Предполагая, что в плоскости (K, L) имеется только одна критическая линия, соотношение двойственности подразумевает, что она определяется следующим образом:

{displaystyle sinh left (2Kight) sinh left (2Light) = 1}

Для изотропного случая ${displaystyle J = J ^ {*}}$ , находим известное соотношение для критической температуры ${displaystyle T_ {c}}$

{displaystyle {frac {kT_ {c}} {J}} = {frac {2} {ln (1+ {sqrt {2}})}} примерно 2,26918531421}

Двойная решетка

Рассмотрим конфигурацию спинов ${displaystyle {sigma}}$ на квадратной решетке ${displaystyle Lambda}$ . Позволять р и s обозначают количество непохожих соседей в вертикальном и горизонтальном направлениях соответственно. Тогда слагаемое в ${displaystyle Z_ {N}}$ соответствующий ${displaystyle {sigma}}$ дан кем-то

{displaystyle e ^ {K (N-2s) + L (N-2r)}}

Двойная решетка

Построить двойную решетку ${displaystyle Lambda _ {D}}$ как показано на схеме. Для любой конфигурации ${displaystyle {sigma}}$ , многоугольник связывается с решеткой, рисуя линию на краю двойственной решетки, если спины, разделенные краем, не совпадают. Поскольку, пройдя вершину ${displaystyle Lambda}$ вращения должны изменяться четное количество раз, чтобы прибыть в начальную точку с одинаковым зарядом, каждая вершина дуальной решетки соединена с четным числом линий в конфигурации, определяя многоугольник.

Конфигурация спина на двойственной решетке

Это снижает функция распределения к

{displaystyle Z_ {N} (K, L) = 2e ^ {N (K + L)} sum _ {Psubset Lambda _ {D}} e ^ {- 2Lr-2Ks}}

суммируя по всем многоугольникам дуальной решетки, где р и s - количество горизонтальных и вертикальных линий в многоугольнике с коэффициентом 2, обусловленным инверсией конфигурации спина.

Низкотемпературное расширение

При низких температурах К, Л приближаются к бесконечности, так что при ${displaystyle Tightarrow 0, e ^ {- K}, e ^ {- L} ightarrow 0}$ , так что

{displaystyle Z_ {N} (K, L) = 2e ^ {N (K + L)} sum _ {Psubset Lambda _ {D}} e ^ {- 2Lr-2Ks}}

определяет низкотемпературное расширение ${displaystyle Z_ {N} (K, L)}$ .

Высокотемпературное расширение

С ${displaystyle sigma sigma '= pm 1}$ надо

{displaystyle e ^ {Ksigma sigma '} = cosh K + sinh K (sigma sigma') = cosh K (1+ anh K (sigma sigma ')).}

Следовательно

{displaystyle Z_ {N} (K, L) = (cosh Kcosh L) ^ {N} sum _ {{sigma}} prod _ {langle ijangle _ {H}} (1 + vsigma _ {i} sigma _ {j }) prod _ {langle ijangle _ {V}} (1 + wsigma _ {i} sigma _ {j})}

куда ${displaystyle v = anh K}$ и ${displaystyle w = anh L}$ . Поскольку есть N горизонтальные и вертикальные края, всего ${displaystyle 2 ^ {2N}}$ термины в расширении. Каждый член соответствует конфигурации линий решетки, связывая линию, соединяющую я и j если срок ${displaystyle vsigma _ {i} sigma _ {j}}$ (или же ${displaystyle wsigma _ {i} sigma _ {j})}$ выбирается в продукте. Суммируя конфигурации, используя

{displaystyle sum _ {sigma _ {i} = pm 1} sigma _ {i} ^ {n} = {egin {case} 0 & {mbox {for}} n {mbox {odd}} 2 & {mbox {for} } н {mbox {даже}} конец {случаи}}}

показывает, что только конфигурации с четным числом линий в каждой вершине (многоугольники) будут вносить вклад в функцию распределения, давая

{displaystyle Z_ {N} (K, L) = 2 ^ {N} (cosh Kcosh L) ^ {N} sum _ {Psubset Lambda} v ^ {r} w ^ {s}}

где сумма ведется по всем многоугольникам решетки. Поскольку тан K, тан L ${displaystyle ightarrow 0}$ в качестве ${displaystyle Tightarrow infty}$ , это дает высокотемпературное расширение ${displaystyle Z_ {N} (K, L)}$ .