Раскраска звезды - Star coloring

Звездное хроматическое число График Дика равно 4, а хроматическое число - 2.

В теоретико-графовый математика, а раскраска звезды графа грамм это (собственная) раскраска вершин в котором каждый путь по четырем вершинам использует как минимум три различных цвета. Аналогично, в раскраске звезды индуцированные подграфы образованный вершинами любых двух цветов имеет связанные компоненты которые звездные графики. Раскраска звезд была введена Грюнбаум (1973). звездное хроматическое число ${ Displaystyle чи _ {s} (G)}$ из грамм это наименьшее количество цветов, необходимых для звездного цвета грамм.

Одним из обобщений раскраски звезд является тесно связанная концепция ациклическая окраска, где требуется, чтобы в каждом цикле использовалось не менее трех цветов, поэтому двухцветные индуцированные подграфы леса. Если обозначить ациклическое хроматическое число графа грамм к ${ Displaystyle чи _ {а} (G)}$у нас есть это ${ Displaystyle чи _ {а} (G) leq чи _ {s} (G)}$, и фактически каждая звездная раскраска грамм представляет собой ациклическую окраску.

Доказано, что звездное хроматическое число ограничено на каждом собственном минорном замкнутом классе соотношением Нешетржил и Оссона де Мендес (2003). Эти результаты были далее обобщены Нешетржил и Оссона де Мендес (2006) ко всем раскраскам с малой глубиной дерева (стандартная раскраска и раскраска звездочки - раскраски с низкой глубиной дерева с соответствующими параметрами 1 и 2).

Сложность

Это было продемонстрировано Albertson et al. (2004) что это НП-полный чтобы определить, есть ли ${ Displaystyle чи _ {s} (G) Leq 3}$, даже когда грамм это граф, который одновременно планарный и двудольный.Коулман и Море (1984) показали, что поиск оптимальной раскраски звезд NP-жесткий даже когда грамм является двудольным графом.

Рекомендации

• Альбертсон, Майкл О .; Chappell, Glenn G .; Кирстед, Хэл А .; Кюндген, Андре; Рамамурти, Радхика (2004), «Раскраска без двухцветного п₄"s", Электронный журнал комбинаторики, 11 (1), МИСТЕР  2056078.
• Коулман, Томас Ф .; Море, Хорхе (1984), «Оценка разреженных матриц Гессе и задачи раскраски графов» (PDF), Математическое программирование, 28 (3): 243–270, Дои:10.1007 / BF02612334, МИСТЕР  0736293.
• Фертин, Гийом; Распо, Андре; Рид, Брюс (2004), «Звездная раскраска графиков», Журнал теории графов, 47 (3): 163–182, Дои:10.1002 / jgt.20029, МИСТЕР  2089462.
• Грюнбаум, Бранко (1973), «Ациклические раскраски плоских графов», Израильский математический журнал, 14: 390–408, Дои:10.1007 / BF02764716, МИСТЕР  0317982.
• Нешетржил, Ярослав; Оссона де Мендес, Патрис (2003), «Раскраски и гомоморфизмы малых замкнутых классов», Дискретная и вычислительная геометрия: Festschrift Гудмана-Поллака, Алгоритмы и комбинаторика, 25, Springer-Verlag, стр. 651–664, МИСТЕР  2038495.
• Нешетржил, Ярослав; Оссона де Мендес, Патрис (2006), "Глубина дерева, раскраска подграфов и границы гомоморфизма", Европейский журнал комбинаторики, 27 (6): 1022–1041, Дои:10.1016 / j.ejc.2005.01.010, МИСТЕР  2226435.

внешняя ссылка

• Раскраски звезд и ациклические раскраски (1973), присутствуют на Опыт исследований для аспирантов (REGS) в Университете Иллинойса, 2008 г.