Моделирование подмножества - Subset simulation

Моделирование подмножества[1] это метод, используемый в инженерия надежности для вычисления малых (то есть редких событий) вероятностей отказов, встречающихся в инженерных системах. Основная идея состоит в том, чтобы выразить вероятность небольшого отказа как произведение больших условных вероятностей путем введения событий промежуточного отказа. Это концептуально преобразует исходную проблему с редкими событиями в серию проблем с частыми событиями, которые легче решить. В фактической реализации выборки, обусловленные событиями промежуточного отказа, адаптивно генерируются для постепенного заполнения от области частых событий до редких. Эти «условные выборки» предоставляют информацию для оценки дополнительная кумулятивная функция распределения (CCDF) интересующей величины (которая управляет отказом), охватывая как области с высокой, так и с низкой вероятностью. Их также можно использовать для исследования причин и последствий отказов. Создание условных выборок нетривиально, но может быть эффективно выполнено с помощью Цепь Маркова Монте-Карло (MCMC).

При моделировании подмножества взаимосвязь между (входными) случайными величинами и (выходными) величинами отклика, представляющими интерес, рассматривается какчерный ящик '. Это может быть привлекательно для сложных систем, где трудно использовать другие уменьшение дисперсии или же выборка из редких событий методы, требующие предварительной информации о поведении системы. Для проблем, в которых можно включить априорную информацию в алгоритм надежности, часто более эффективно использовать другие уменьшение дисперсии методы, такие как выборка по важности. Было показано, что моделирование подмножества более эффективно, чем традиционное Моделирование Монте-Карло, но менее эффективен, чем линейная выборка, применительно к механика разрушения тестовая задача [2].

Основная идея

Позволять Икс вектор случайных величин и Y = час(Икс) - интересующая скалярная (выходная) величина отклика, для которой вероятность отказа подлежит определению. Каждая оценка час(·) Стоит дорого, поэтому его следует по возможности избегать. Использование прямого Методы Монте-Карло можно произвести i.i.d. (независимые и одинаково распределенные ) образцы Икс а затем оценить п(F) просто как доля выборок сY > б. Однако это неэффективно, когда п(F) мала, потому что большинство образцов не потерпят неудачу (т.е. Y ≤ б) и во многих случаях оценка 0 результатов. Как правило для небольших п(F) требуется 10 неудачных выборок для оценки P (F) с коэффициент вариации 30% (умеренное требование). Например, 10000 i.i.d. образцы, и, следовательно, оценки час(·), Потребуется для такой оценки, если п(F) = 0.001.

Моделирование подмножества пытается преобразовать проблему с редким событием в более частую. Позволять быть увеличивающейся последовательностью промежуточных пороговых уровней. Из основного свойства условная возможность,

«Необработанная идея» моделирования подмножества состоит в том, чтобы оценить P (F) путем оценки и условные вероятности за , ожидая повышения эффективности, когда эти вероятности не малы. Для реализации этой идеи есть две основные проблемы:

  1. Оценка условных вероятностей с помощью моделирования требует эффективной генерации выборок Икс условные от промежуточных событий отказа, то есть условные выборки. Это вообще нетривиально.
  2. Промежуточные пороговые уровни следует выбирать так, чтобы промежуточные вероятности не были слишком малы (иначе снова возникнет проблема с редкими событиями), но не слишком большими (в противном случае требуется слишком много уровней для достижения целевого события). Однако для этого требуется информация о CCDF, которая является целью, которую необходимо оценить.

В стандартном алгоритме моделирования подмножества первая проблема решается с помощью Цепь Маркова Монте-Карло.[3] Более общая и гибкая версия алгоритмов моделирования, не основанная на Цепь Маркова Монте-Карло были недавно разработаны [4]. Вторая проблема решается выбором промежуточных пороговых уровней {бя} адаптивно с использованием образцов из последнего уровня моделирования. В результате моделирование подмножества фактически дает набор оценок для б что соответствует различным фиксированным значениям п = п(Y > б), а не оценки вероятностей для фиксированных пороговых значений.

Существует ряд вариантов моделирования подмножеств, используемых в различных контекстах в прикладных исследованиях вероятности и стохастических операций.[5][6]Например, в некоторых вариантах попытки моделирования для оценки каждой условной вероятности P (Y > бя | Y > бя−1) (я = 2, ..., м) не может быть зафиксировано до моделирования, но может быть случайным, подобно методу разделения при оценке вероятности редких событий.[7] Эти версии моделирования подмножества также можно использовать для приблизительной выборки из распределения Икс учитывая отказ системы (то есть при условии, что событие ). В этом случае относительная дисперсия (случайного) числа частиц на конечном уровне может использоваться для ограничения ошибки выборки, измеренной полное расстояние вариации вероятностных мер. [8]

Смотрите также

Примечания

  • См. Au & Wang[9] для вводного описания моделирования подмножества и его применения к анализу инженерных рисков.
  • Schuëller & Pradlwarter[10] сообщает о производительности моделирования подмножеств (и других методов уменьшения дисперсии) в наборе тестовых задач стохастической механики.
  • Глава 4 Фуна [11] обсуждает применение имитационного моделирования (и других методов Монте-Карло) к инженерно-геологическим задачам.
  • Зио и Педрони[12] обсуждает применение моделирования подмножества (и других методов) к проблеме в ядерной технике.

Рекомендации

  1. ^ Au, S.K .; Бек, Джеймс Л. (октябрь 2001 г.). «Оценка малой вероятности отказа в больших размерах путем моделирования подмножества». Вероятностная инженерная механика. 16 (4): 263–277. CiteSeerX  10.1.1.131.1941. Дои:10.1016 / S0266-8920 (01) 00019-4.
  2. ^ Зио, Э; Педрони, Н. (2009). «Моделирование подмножеств и выборка линий для расширенного анализа надежности методом Монте-Карло». Надежность, риск и безопасность (PDF). Дои:10.1201 / 9780203859759.ch94. ISBN  978-0-415-55509-8. S2CID  9845287.
  3. ^ Ау, Сиу-Куи (2016). «Об алгоритме MCMC для моделирования подмножеств». Вероятностная инженерная механика. 43: 117–120. Дои:10.1016 / j.probengmech.2015.12.003.
  4. ^ Ау, Сиу-Куи; Пателли, Эдоардо (2016). «Моделирование редких событий в конечномерном пространстве» (PDF). Надежность и безопасность системы. 148: 67–77. Дои:10.1016 / j.ress.2015.11.012.
  5. ^ Виллен-Альтамирано, Мануэль; Виллен-Альтамирано, Хосе (1994). «Перезагрузка: простой метод для быстрого моделирования редких событий». Написано в Сан-Диего, Калифорния, США. Материалы 26-й Зимней симуляционной конференции. WSC '94. Орландо, Флорида, США: Международное общество компьютерного моделирования. стр.282–289. ISBN  0-7803-2109-X. acmid 194044.
  6. ^ Ботев, З. И .; Круз, Д. П. (2008). «Эффективный алгоритм для оценки вероятности редких событий, комбинаторной оптимизации и подсчета». Методология и вычисления в прикладной теории вероятностей. 10 (4): 471–505. CiteSeerX  10.1.1.399.7912. Дои:10.1007 / s11009-008-9073-7. S2CID  1147040.
  7. ^ Ботев, З. И .; Крезе, Д. П. (2012). «Эффективное моделирование Монте-Карло с помощью обобщенного метода расщепления». Статистика и вычисления. 22 (1): 1–16. Дои:10.1007 / s11222-010-9201-4. S2CID  14970946.
  8. ^ Ботев, З. И .; L’Ecuyer, P. (2020). «Выборка условно для редкого события с помощью обобщенного разделения». ИНФОРМС Журнал по вычислительной технике. arXiv:1909.03566. Дои:10.1287 / ijoc.2019.0936. S2CID  202540190.
  9. ^ Au, S.K .; Ван, Ю. (2014). Оценка инженерных рисков с моделированием подмножества. Сингапур: Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-1-118-39804-3.
  10. ^ Schuëller, G.I .; Прадлвартер, HJ (2007). «Сравнительное исследование по оценке надежности в высших измерениях структурных систем - обзор». Структурная безопасность. 29 (3): 167–182. Дои:10.1016 / j.strusafe.2006.07.010.
  11. ^ Фун, К. (2008). Надежное проектирование в геотехнической инженерии: расчеты и приложения. Сингапур: Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-0-415-39630-1.
  12. ^ Zio, E .; Педрони, Н. (2011). «Как эффективно рассчитать надежность теплогидравлической пассивной ядерной системы». Ядерная инженерия и дизайн. 241: 310–327. CiteSeerX  10.1.1.636.2126. Дои:10.1016 / j.nucengdes.2010.10.029.