Символьный анализ схемы - Symbolic circuit analysis

Символьный анализ схемы это формальная техника анализ схем для расчета поведения или характеристики электрической / электронной схемы с независимыми переменными (время или частота), зависимыми переменными (напряжениями и токами) и (некоторыми или всеми) элементами схемы, представленными символами.^[1]^[2]

При анализе электрических / электронных схем мы можем задать два типа вопросов: Что такое ценить определенной переменной схемы (Напряжение, Текущий, сопротивление, прирост и т. д.) или что такое отношение между некоторыми переменными схемы или между переменной схемы и компонентами схемы и частотой (или временем). Такое соотношение может принимать форму графика, на котором числовые значения переменной схемы нанесены в зависимости от частоты или значения компонента (наиболее распространенным примером может быть график зависимости величины передаточной функции от частоты).

Анализ символьной схемы занимается получением этих отношений в символической форме, то есть в форме аналитическое выражение, где комплексная частота (или время) и некоторые или все компоненты схемы представлены символами.

Выражения в частотной области

В частотной области наиболее распространенной задачей символьного анализа цепей является получение взаимосвязи между входными и выходными переменными в виде рациональная функция в комплексная частота ${ Displaystyle { mathit {s}} ,}$ и символьные переменные ${ displaystyle mathbf {x}}$ :

{ Displaystyle Т (s, mathbf {x}) = { гидроразрыва {N (s, mathbf {x})} {D (s, mathbf {x})}}}

Вышеуказанное отношение часто называют сетевой функцией. Для физических систем ${ Displaystyle N (s, mathbf {x})}$ и ${ Displaystyle D (s, mathbf {x})}$ находятся многочлены в ${ Displaystyle { mathit {s}} ,}$ с действительными коэффициентами:

{ displaystyle T (s, mathbf {x}) = { frac { displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} ( mathbf {x}) s ^ {i}} { displaystyle sum _ {я = 0} ^ {m} b_ {i} ( mathbf {x}) s ^ {i}}} = K { frac { displaystyle prod _ {i = 1} ^ { п} (s-z_ {я} ( mathbf {x}))} { displaystyle prod _ {i = 1} ^ {m} (s-p_ {i} ( mathbf {x}))}} }

куда ${ Displaystyle Z_ {я} ( mathbf {х})}$ нули и ${ Displaystyle р_ {я} ( mathbf {х})}$ - полюса сетевой функции; ${ displaystyle m geqslant n}$ .

Хотя есть несколько методов генерации коэффициентов ${ Displaystyle а_ {я} ( mathbf {х})}$ и ${ displaystyle b_ {я} ( mathbf {x})}$ , не существует техники для получения точных символьных выражений для полюсов и нулей для многочленов порядка выше 5.

Типы символьных сетевых функций

В зависимости от того, какие параметры хранятся в виде символов, у нас может быть несколько различных типов символьных сетевых функций. Лучше всего это проиллюстрировать на примере. Рассмотрим, например, биквадратный фильтр схема с идеальным операционные усилители, показано ниже. Мы хотим получить формулу для его коэффициента пропускания по напряжению (также называемого усиление напряжения ) в частотной области, ${ Displaystyle {T_ {v} (s) = V_ {out} (s) / V_ {in} (s)} ,}$ .

Рисунок 1: Биквадратная схема с идеальными операционными усилителями. (Эта диаграмма была создана с использованием схематический захват особенность SapWin.)

Сетевая функция с s как единственная переменная

Если комплексная частота ${ Displaystyle { mathit {s}} ,}$ - единственная переменная, формула будет выглядеть так (для простоты мы используем числовые значения: ${ Displaystyle R_ {я} = я, C_ {я} = 0,01i ,}$ ):

{ displaystyle T (s) = { frac {3.48s} {13.2s ^ {2} + 1.32s + 0.33}}}

Полусимвольная сетевая функция

Если комплексная частота ${ Displaystyle { mathit {s}} ,}$ а некоторые переменные схемы сохраняются в виде символов (полусимвольный анализ), формула может иметь вид:

${ displaystyle { begin {align} T (s, mathbf {x}) & = { frac {1.74C_ {2} s} {6.6C_ {1} C_ {2} s ^ {2} + 0.66C_ {2} s + 0,33}} mathbf {x} & = [C_ {1} ~ C_ {2}] end {выровнено}}}$

Полностью символьная сетевая функция

Если комплексная частота ${ Displaystyle { mathit {s}} ,}$ и все переменные схемы являются символическими (полностью символический анализ), коэффициент пропускания напряжения определяется выражением (здесь ${ Displaystyle G_ {я} = 1 / R_ {я} ,}$ ):

${ displaystyle { begin {align} T (s, mathbf {x}) & = { frac {G_ {4} G_ {6} G_ {8} C_ {2} s} {G_ {6} G_ { 11} C_ {1} C_ {2} s ^ {2} + G_ {1} G_ {6} G_ {11} C_ {2} s + G_ {2} G_ {3} G_ {5} G_ {11} }} mathbf {x} & = [C_ {1} ~ C_ {2} ~ G_ {1} ~ G_ {2} ~ G_ {3} ~ G_ {4} ~ G_ {5} ~ G_ {6 } ~ G_ {8} ~ G_ {11}] end {align}}}$

Все приведенные выше выражения чрезвычайно полезны для понимания работы схемы и понимания того, как каждый компонент вносит свой вклад в общую производительность схемы. Однако с увеличением размера схемы число членов в таких выражениях растет экспоненциально. Таким образом, даже для относительно простых схем формулы становятся слишком длинными, чтобы иметь какую-либо практическую ценность. Один из способов решения этой проблемы - исключить численно незначимые члены из символьного выражения, сохраняя неизбежную ошибку ниже заданного предела.^[3]

Форма «Последовательность выражений»

Другая возможность сократить символическое выражение до управляемой длины - представить сетевую функцию последовательностью выражений (SoE).^[4] Конечно, интерпретируемость формулы теряется, но этот подход очень полезен для повторяющихся численных расчетов. Для создания таких последовательностей был разработан программный пакет STAINS (Символьный двухпортовый анализ с помощью внутреннего подавления узлов).^[5] Есть несколько типов SoE, которые можно получить из STAINS. Например, компактная SoE для ${ Displaystyle T_ {v} (s) ,}$ нашего биквада

x1 = G5 * G3 / G6x2 = -G1-s * C1-G2 * x1 / (s * C2) x3 = -G4 * G8 / x2Ts = x3 / G11

Приведенная выше последовательность содержит дроби. Если это нежелательно (например, когда появляется деление на ноль), мы можем сгенерировать дробную SoE:

x1 = -G2 * G5x2 = G6 * s * C2x3 = -G4 * x2x4 = x1 * G3- (G1 + s * C1) * x2x5 = x3 * G8x6 = -G11 * x4Ts = -x5 / x6

Еще один способ сократить выражение - это факторизовать многочлены ${ Displaystyle N (s, mathbf {x})}$ и ${ Displaystyle D (s, mathbf {x})}$ . В нашем примере это очень просто и приводит к:

Num = G4 * G6 * G8 * s * C2Den = G11 * ((G1 + s * C1) * G6 * s * C2 + G2 * G3 * G5) Ts = Num / Den

Однако для более крупных схем факторизация становится сложной задачей. комбинаторный проблема и конечный результат может оказаться непрактичным как для интерпретации, так и для численных расчетов.

Смотрите также

внешняя ссылка

МОШЕННИЧЕСТВО - MATLAB скрипт для вычисления передаточных функций символьной схемы.
Как использовать Wolfram System Modeller для символьного анализа схем.