Оператор Саса – Миракяна - Википедия - Szász–Mirakyan operator

В функциональный анализ, дисциплина внутри математика, то Операторы Саса – Миракяна (также пишется «Миракджан» и «Миракиан») являются обобщениями Многочлены Бернштейна в бесконечные интервалы, введенные Отто Сас в 1950 г. и Г. М. Миракян в 1941 году. Они определены

${ displaystyle left [{ mathcal {S}} _ {n} (f) right] (x)}$=${ displaystyle e ^ {- nx} sum _ {k = 0} ^ { infty} {{ frac {(nx) ^ {k}} {k!}} f left ({ frac {k} {n}} right)}}$

куда ${ Displaystyle х в [0, infty) подмножество mathbb {R}}$ и ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$.^[1][2]

Основные результаты

В 1964 году Чейни и Шарма показали, что если ${ displaystyle f}$ выпуклая и нелинейная, последовательность ${ displaystyle ({ mathcal {S}} _ {n} (f)) _ {n in mathbb {N}}}$ уменьшается с ${ displaystyle n}$ (${ Displaystyle { mathcal {S}} _ {п} (е) geq f}$).^[3] Они также показали, что если ${ displaystyle f}$ является многочленом степени ${ displaystyle leq m}$, то так ${ Displaystyle { mathcal {S}} _ {п} (е)}$ для всех ${ displaystyle n}$.

Обращение первой собственности было показано Горовой в 1968 г. (Altomare & Campiti 1994: 350).

Теорема о сходимости

В оригинальной статье Саса он доказал следующее:

Если ${ displaystyle f}$ является непрерывный на ${ displaystyle (0, infty)}$, имеющая конечный предел на бесконечности, то ${ Displaystyle { mathcal {S}} _ {п} (е)}$ сходится равномерно к ${ displaystyle f}$ в качестве ${ Displaystyle п rightarrow infty}$.^[1]

Это аналогично теорема о том, что многочлены Бернштейна приближают непрерывные функции на [0,1].

Обобщения

А Канторович -типное обобщение иногда обсуждается в литературе. Эти обобщения также называют Операторы Саса – Миракьяна – Канторовича..

В 1976 году К. П. Мэй показал, что Баскаковские операторы сводится к операторам Саса – Миракяна.^[4]

Рекомендации

• Альтомаре, Франческо; Микеле Кампити (1994). Теория приближений типа Коровкина и ее приложения.. Вальтер де Грюйтер. ISBN  3-11-014178-7.
• Фавар, Жан (1944). "Sur les multiplicateurs d'interpolation". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском). 23 (9): 219–247. (Смотрите также: Операторы Фаварда )
• Горова, Ивана (1968). «Линейные положительные операторы выпуклых функций». Mathematica (Клуж). 10 (33): 275–283. Zbl  0186.11101.
• Кац, Марк (1938). "Une remarque sur les polynomes de M. S. Bernstein" (PDF). Studia Mathematica (На французском). 7: 49–51. Zbl  0018.20704.
• Кац, М. (1939). "Reconnaissance de Priorité relative à ma note 'Une remarque sur les polynomes de M. S. Bernstein'" (PDF). Studia Mathematica (На французском). 8: 170. JFM  65.0248.03.
• Миракьян, Г. М. (1941). "Аппроксимация функций продолжается au moyen de polyynômes de la forme. ${ displaystyle e ^ {- nx} sum _ {k = 0} ^ {m_ {n}} {C_ {k, n} x ^ {k}}}$«[Приближение непрерывных функций с помощью многочленов вида ${ displaystyle e ^ {- nx} sum _ {k = 0} ^ {m_ {n}} {C_ {k, n} x ^ {k}}}$]. Comptes rendus de l'Académie des Sciences de l'URSS (На французском). 31: 201–205. JFM  67.0216.03.
• Вуд, Б. (июль 1969 г.). «Обобщенные операторы Саса для приближения в комплексной области». Журнал SIAM по прикладной математике. 17 (4): 790–801. Дои:10.1137/0117071. JSTOR  2099320. Zbl  0182.08801.

Сноски