Проблема паука и мухи - The spider and the fly problem

Изометрическая проекция и сеть наивных (1) и оптимальных (2) решений задачи паука и мухи

Проблема паука и мухи это развлекательный геодезические проблема с неинтуитивным решением.

Проблема

В типичной версии головоломки пустой кубовид В комнате 30 футов длиной, 12 футов шириной и 12 футов высотой находятся паук и муха. Паук находится на 1 фут ниже потолка и расположен по центру по горизонтали на стене размером 12 × 12 футов. Муха находится на высоте 1 фута над полом и расположена горизонтально на противоположной стене. Проблема состоит в том, чтобы найти минимальное расстояние, на которое паук должен проползти вдоль стен, потолка и / или пола, чтобы добраться до мухи, которая остается неподвижной.

Решения

Наивное решение состоит в том, чтобы паук оставался горизонтально по центру и подползал к потолку, через него и вниз к мухе, давая расстояние 42 фута. Наименьшее расстояние, строго соблюдаемое правилами, 40 футов, достигается путем построения соответствующего сеть комнаты и соединяем паука и летим по прямой.

А нестандартное мышление решение предполагает прикрепление паука драглайн шелк к стене, чтобы опуститься на пол, и проползти на 30 футов по ней и на 1 фут вверх по противоположной стене, что дает расстояние проползания 31 фут. Точно так же он может забраться на потолок, пересечь его, затем прикрепить шелк, чтобы опуститься на 11 футов, то есть ползать на 31 фут.^[1]

Еще более радикальное решение - паук ползет на 1 фут и вперед на бесконечно малое расстояние. δx по центральной линии потолка. Затем он прикрепляет шелк к потолку, опускается δx и, как при качании качелей, качается до потолка на 2δx, повторяя процесс, пока он не достигнет дальней стены. Наконец, он прикрепляет шелк к дальней стене, чтобы опуститься до мухи. Общее расстояние обхода составляет 1 фут + δx, который стремится к 1 футу как δx стремится к нулю.

Обобщение

Для комнаты длинной л, ширина ш и высота час, паук на расстоянии б под потолком и лететь на расстояние а над полом оптимальное расстояние о является ${ Displaystyle { sqrt {(ш + ч) ^ {2} + (б + л + а) ^ {2}}}}$ в то время как наивная дистанция п является ${ displaystyle l + h- | b-a |}$.

В этой таблице приведены целочисленные решения для л, ш ≤ 40, час ≤ ш и о < п, отсортировано по возрастанию о тогда п−о, с исходными значениями, выделенными жирным шрифтом.

История

Первоначально проблема была поставлена Генри Дудени в английской газете Еженедельная рассылка 14 июня 1903 г., представленный в Пазлы Кентербери (1907) и описан Мартин Гарднер.^[2]

использованная литература

Эта статья по математике заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.