Уравнение Томаса – Ферми - Thomas–Fermi equation

В математика, то Уравнение Томаса – Ферми для нейтрального атома является нелинейным обыкновенное дифференциальное уравнение, названный в честь Ллевеллин Томас и Энрико Ферми,^[1][2] который можно получить, применяя Модель Томаса – Ферми к атомам. Уравнение гласит

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = { frac {1} { sqrt {x}}} y ^ {3/2}}$

с учетом граничных условий

${ displaystyle y (0) = 1 quad; quad y (+ infty) = 0}$

Если ${ displaystyle y}$ приближается к нулю, когда ${ displaystyle x}$ становится большим, это уравнение моделирует распределение заряда нейтрального атома как функцию радиуса ${ displaystyle x}$. Решения, где ${ displaystyle y}$ обращается в нуль при конечном ${ displaystyle x}$ моделируют положительные ионы.^[3] Для решений, где ${ displaystyle y}$ становится большим и позитивным, поскольку ${ displaystyle x}$ становится большим, это можно интерпретировать как модель сжатого атома, где заряд сжат в меньшее пространство. В этом случае атом заканчивается на значении ${ displaystyle x}$ для которого ${ displaystyle dy / dx = y / x}$.^[4][5]

Трансформации

Представляем трансформацию ${ Displaystyle г = у / х}$ преобразует уравнение в

${ displaystyle { frac {1} {x ^ {2}}} { frac {d} {dx}} left (x ^ {2} { frac {dz} {dx}} right) -z ^ {3/2} = 0}$

Это уравнение похоже на Уравнение Лейна – Эмдена с индексом политропы ${ displaystyle 3/2}$ кроме разницы в знаках. Исходное уравнение инвариантно относительно преобразования ${ displaystyle x rightarrow cx, y rightarrow c ^ {- 3} y}$. Следовательно, уравнение можно сделать равноразмерным, введя ${ Displaystyle у = х ^ {- 3} и}$ в уравнение, что приводит к

${ displaystyle x ^ {2} { frac {d ^ {2} u} {dx ^ {2}}} - 6x { frac {du} {dx}} + 12u = u ^ {3/2}}$

так что замена ${ Displaystyle и = е ^ {т}}$ сводит уравнение к

${ displaystyle { frac {d ^ {2} u} {dt ^ {2}}} - 7 { frac {du} {dt}} + 12u = u ^ {3/2}.}$

Если ${ Displaystyle ш (и) = { гидроразрыва {du} {dt}}}$ тогда приведенное выше уравнение становится

${ displaystyle w { frac {dw} {du}} - 7w + 12u = u ^ {3/2}.}$

Но это уравнение первого порядка не имеет известного явного решения, поэтому подход обращается либо к численным, либо к приближенным методам.

Приближение Зоммерфельда

Уравнение имеет частное решение ${ displaystyle y_ {p} (x)}$, который удовлетворяет граничному условию ${ displaystyle y rightarrow 0}$ в качестве ${ Displaystyle х rightarrow infty}$, но не граничное условие у(0) = 1. Это конкретное решение

${ displaystyle y_ {p} (x) = { frac {144} {x ^ {3}}}.}$

Арнольд Зоммерфельд использовал это конкретное решение и предоставил приближенное решение, которое может удовлетворять другому граничному условию в 1932 году.^[6] Если преобразование ${ Displaystyle х = 1 / т, ш = ут}$ вводится, уравнение принимает вид

${ displaystyle t ^ {4} { frac {d ^ {2} w} {dt ^ {2}}} = w ^ {3/2}, quad w (0) = 0, w ( infty ) sim t.}$

Частное решение в преобразованной переменной тогда ${ displaystyle w_ {p} (t) = 144t ^ {4}}$. Итак, предполагается решение вида ${ Displaystyle ш = ш_ {р} (1+ альфа т ^ { лямбда})}$ и если это подставить в вышеприведенное уравнение и коэффициенты ${ displaystyle alpha}$ приравниваются, получаем значение для ${ displaystyle lambda}$, которая задается корнями уравнения ${ displaystyle lambda ^ {2} +7 lambda -6 = 0}$. Два корня ${ displaystyle lambda _ {1} = 0,772, lambda _ {2} = - 7,772}$. Поскольку это решение уже удовлетворяет второму граничному условию, для удовлетворения первого граничного условия запишем

${ displaystyle W = w_ {p} (1+ beta t ^ { lambda}) ^ {n} = [144t ^ {3} (1+ beta t ^ { lambda})] t.}$

Первое граничное условие будет выполнено, если ${ displaystyle 144t ^ {3} (1+ beta t ^ { lambda}) ^ {n} = 144t ^ {3} beta ^ {n} t ^ { lambda n} (1+ beta ^ { -1} t ^ {- lambda}) ^ {n} sim 1}$ в качестве ${ Displaystyle т rightarrow infty}$. Это условие выполняется, если ${ Displaystyle лямбда п + 3 = 0, 144 бета ^ {п} = 1}$ и с тех пор ${ displaystyle lambda _ {1} lambda _ {2} = - 6}$, Зоммерфельд нашел приближение как ${ displaystyle lambda = lambda _ {1}, n = -3 / lambda _ {1} = lambda _ {2} / 2}$. Следовательно, приближенное решение

${ displaystyle y (x) = y_ {p} (x) {1+ [y_ {p} (x)] ^ { lambda _ {1} / 3} } ^ { lambda _ {2} / 2}.}$

Это решение точно предсказывает правильное решение для больших ${ displaystyle x}$, но по-прежнему терпит неудачу около начала координат.

Решение около происхождения

Энрико Ферми^[7] предоставил решение для ${ Displaystyle х ll 1}$ и позже расширен Бейкером.^[8] Следовательно, для ${ Displaystyle х ll 1}$,

${ displaystyle { begin {align} y (x) = {} & 1-Bx + { frac {1} {3}} x ^ {3} - { frac {2B} {15}} x ^ {4} + cdots {} [6pt] & cdots + x ^ {3/2} left [{ frac {4} {3}} - { frac {2B} {5}} x + { frac { 3B ^ {2}} {70}} x ^ {2} + left ({ frac {2} {27}} + { frac {B ^ {3}} {252}} right) x ^ { 3} + cdots right] end {выровнено}}}$

куда ${ displaystyle B приблизительно 1,588071}$.^[9][10]

Подход Майораны

Об этом сообщил Эспозито.^[11] что итальянский физик Этторе Майорана нашел в 1928 г. полуаналитическое серийное решение уравнения Томаса – Ферми для нейтрального атома, которое, однако, оставалось неопубликованным до 2001 г.

Используя этот подход, можно вычислить постоянную B упомянутое выше с практически произвольно высокой точностью; например, его значение для 100 цифр равно ${ displaystyle B = 1,588071022611375312718684509423950109452746621674825616765677418166551961154309262332033970138428665}$.

Рекомендации