Оператор трехмерного вращения - Википедия - Three-dimensional rotation operator

В этой статье выводятся основные свойства вращения в 3-х мерное пространство.

Три Вращения Эйлера один из способов принести жесткое тело в любую желаемую ориентацию, последовательно делая вращения относительно оси 'фиксированной относительно объекта. Однако этого также можно добиться с помощью одного поворота (Теорема Эйлера вращения ). Используя концепции линейная алгебра показано, как можно выполнить это одиночное вращение.

Математическая формулировка

Позволять (ê1, ê2, ê3) быть система координат фиксируется в теле, что за счет изменения ориентации А выводится на новые направления

Любой вектор

вращение вместе с телом затем приводится в новом направлении

то есть это линейный оператор

В матрица этого оператор относительно системы координат (ê1, ê2, ê3) является

В качестве

или эквивалентно в матричной записи

матрица ортогональный и поскольку правосторонняя базовая векторная система переориентируется в другую правостороннюю систему, детерминант этой матрицы имеет значение 1.

Вращение вокруг оси

Позволять (ê1, ê2, ê3) - ортогональная положительно ориентированная базовая векторная система в р3. Линейный оператор "поворот на угол θ вокруг оси, определяемой ê3"имеет матричное представление

относительно этой системы базовых векторов. Тогда это означает, что вектор

поворачивается к вектору

линейным оператором. В детерминант этой матрицы

и характеристический многочлен является

Матрица симметрична тогда и только тогда, когда грех θ = 0, то есть для θ = 0 и θ = π. Дело θ = 0 - тривиальный случай тождественного оператора. По делу θ = π то характеристический многочлен является

так что оператор вращения имеет собственные значения

В собственное подпространство соответствующий λ = 1 это все векторы на оси вращения, а именно все векторы

В собственное подпространство соответствующий λ = −1 состоит из всех векторов, ортогональных оси вращения, а именно всех векторов

Для всех остальных значений θ матрица не симметрична и при грех2 θ > 0 есть только собственное значение λ = 1 с одномерным собственное подпространство векторов на оси вращения:

Матрица поворота по углу θ вокруг общей оси вращения k дан кем-то Формула вращения Родригеса.

куда я это единичная матрица и [k]× это двойная 2-форма из k или же матрица кросс-продукта,

Обратите внимание, что [k]× удовлетворяет [k]×v = k × v для всех векторов v.

Общий случай

Оператор поворота на угол θ вокруг указанной оси », описанное выше, является ортогональным отображением, и его матрица относительно любой системы базовых векторов является ортогональная матрица. Кроме того, его определитель имеет значение 1. Нетривиальный факт противоположен тому, что для любого ортогонального линейного отображения в р3 с определителем 1 существуют базовые векторы ê1, ê2, ê3 такая, что матрица принимает «канонический вид»

за некоторую стоимость θ. Фактически, если линейный оператор имеет ортогональная матрица

относительно некоторой базовой векторной системы (1, 2, 3) и эта матрица симметрична, "теорема о симметричном операторе" верна в рп (любое измерение) применяется, говоря, что он имеет п ортогональные собственные векторы. Это означает, что для трехмерного случая существует система координат ê1, ê2, ê3 такая, что матрица принимает вид

Поскольку это ортогональная матрица, эти диагональные элементы Bii равны 1 или -1. Поскольку определитель равен 1, эти элементы либо все равны 1, либо один из элементов равен 1, а два других равны -1. В первом случае это тривиальный тождественный оператор, соответствующий θ = 0. Во втором случае он имеет вид

если базовые векторы пронумерованы так, что вектор с собственным значением 1 имеет индекс 3. Тогда эта матрица имеет желаемый вид для θ = π.

Если матрица несимметрична, вектор

куда

отличен от нуля. Этот вектор является собственным вектором с собственным значением λ = 1. Параметр

и выбор любых двух ортогональных единичных векторов ê1 и ê2 в плоскости, ортогональной ê3 такой, что ê1, ê2, ê3 образуют положительно ориентированную тройку, оператор принимает желаемый вид с

Приведенные выше выражения на самом деле справедливы и для случая симметричного оператора вращения, соответствующего вращению с θ = 0 или же θ = π. Но разница в том, что для θ = π вектор

равен нулю и бесполезен для нахождения собственного подпространства собственного значения 1 и, следовательно, оси вращения.

Определение E4 в качестве потому что θ матрица для оператора вращения:

при условии, что

то есть кроме случаев θ = 0 (оператор идентичности) и θ = π.

Кватернионы

Кватернионы определяются аналогично E1, E2, E3, E4 с той разницей, что половина угла θ/2 используется вместо полного угла θ. Это означает, что первые 3 компонента q1, q2, q3 компоненты вектора, определенные из

и что четвертый компонент - это скаляр

Как угол θ определенная из канонической формы, находится в интервале

обычно это было бы q4 ≥ 0. Но используется «двойственное» представление вращения с кватернионами, то есть (q1, q2, q3, q4)}} и (−q1, −q2, −'q3, −q4) - два альтернативных представления одного и того же вращения.

Сущности Ek определяются из кватернионов как

Используя кватернионы, матрица оператора вращения имеет вид

Числовой пример

Рассмотрим переориентацию, соответствующую Углы Эйлера α = 10°, β = 20°, γ = 30° относительно данной базовой векторной системы (1, 2, 3). Соответствующая матрица относительно этой базовой векторной системы (см. Углы Эйлера # Ориентация матрицы )

и кватернион

Каноническая форма этого оператора

с θ = 44.537° получается с

Кватернион относительно этой новой системы тогда

Вместо того, чтобы делать три вращения Эйлера на 10 °, 20 °, 30 °, ту же ориентацию можно получить одним единственным поворотом на 44,537 ° вокруг ê3.

Рекомендации

  • Шилов Георгий (1961), Введение в теорию линейных пространств, Прентис-Холл, Библиотека Конгресса 61-13845.