Оператор трехмерного вращения - Википедия - Three-dimensional rotation operator

В этой статье выводятся основные свойства вращения в 3-х мерное пространство.

Три Вращения Эйлера один из способов принести жесткое тело в любую желаемую ориентацию, последовательно делая вращения относительно оси 'фиксированной относительно объекта. Однако этого также можно добиться с помощью одного поворота (Теорема Эйлера вращения ). Используя концепции линейная алгебра показано, как можно выполнить это одиночное вращение.

Математическая формулировка

Позволять (ê₁, ê₂, ê₃) быть система координат фиксируется в теле, что за счет изменения ориентации А выводится на новые направления

${ displaystyle mathbf {A} { hat {e}} _ {1}, mathbf {A} { hat {e}} _ {2}, mathbf {A} { hat {e}} _ {3}.}$

Любой вектор

${ displaystyle { bar {x}} = x_ {1} { hat {e}} _ {1} + x_ {2} { hat {e}} _ {2} + x_ {3} { hat {e}} _ {3}}$

вращение вместе с телом затем приводится в новом направлении

${ displaystyle mathbf {A} { bar {x}} = x_ {1} mathbf {A} { hat {e}} _ {1} + x_ {2} mathbf {A} { hat { e}} _ {2} + x_ {3} mathbf {A} { hat {e}} _ {3},}$

то есть это линейный оператор

В матрица этого оператор относительно системы координат (ê₁, ê₂, ê₃) является

${ displaystyle { begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} конец {bmatrix}} = { begin {bmatrix} langle { hat {e}} _ {1} | mathbf {A} { hat {e}} _ {1} rangle & langle { hat {e}} _ {1} | mathbf {A} { hat {e}} _ {2} rangle & langle { hat {e}} _ {1} | mathbf {A} { hat {e}} _ {3} rangle langle { hat {e}} _ {2} | mathbf {A} { hat {e}} _ {1} rangle & langle { hat {e}} _ {2} | mathbf {A} { hat {e}} _ {2} rangle & langle { hat {e}} _ {2} | mathbf {A} { hat {e}} _ {3} rangle langle { hat {e}} _ {3} | mathbf {A} { hat {e}} _ {1} rangle & langle { hat {e}} _ {3} | mathbf {A} { hat {e}} _ {2} rangle & langle { hat {e}} _ {3} | mathbf {A} { hat {e}} _ {3} rangle end {bmatrix}}.}$

В качестве

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {3} A_ {ki} A_ {kj} = langle mathbf {A} { hat {e}} _ {i} | mathbf {A} { hat {e}} _ {j} rangle = { begin {case} 0, & i neq j, 1, & i = j, end {cases}}}$

или эквивалентно в матричной записи

${ displaystyle { begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} конец {bmatrix}} ^ { mathsf {T}} { begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} A_ {31 } & A_ {32} & A_ {33} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}},}$

матрица ортогональный и поскольку правосторонняя базовая векторная система переориентируется в другую правостороннюю систему, детерминант этой матрицы имеет значение 1.

Вращение вокруг оси

Позволять (ê₁, ê₂, ê₃) - ортогональная положительно ориентированная базовая векторная система в р³. Линейный оператор "поворот на угол θ вокруг оси, определяемой ê₃"имеет матричное представление

${ displaystyle { begin {bmatrix} Y_ {1} Y_ {2} Y_ {3} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} X_ {1} X_ {2} X_ {3} end {bmatrix}}}$

относительно этой системы базовых векторов. Тогда это означает, что вектор

${ displaystyle { bar {x}} = { begin {bmatrix} { hat {e}} _ {1} & { hat {e}} _ {2} & { hat {e}} _ { 3} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} X_ {1} X_ {2} X_ {3} end {bmatrix}}}$

поворачивается к вектору

${ displaystyle { bar {y}} = { begin {bmatrix} { hat {e}} _ {1} & { hat {e}} _ {2} & { hat {e}} _ { 3} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} Y_ {1} Y_ {2} Y_ {3} end {bmatrix}}}$

линейным оператором. В детерминант этой матрицы

${ displaystyle det { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} = 1,}$

и характеристический многочлен является

${ displaystyle { begin {align} det { begin {bmatrix} cos theta - lambda & - sin theta & 0 sin theta & cos theta - lambda & 0 0 & 0 & 1- lambda end {bmatrix}} & = left ( left ( cos theta - lambda right) ^ {2} + sin ^ {2} theta right) (1- lambda) & = - lambda ^ {3} + (2 cos theta +1) lambda ^ {2} - (2 cos theta +1) lambda +1 конец {выровнено}}.}$

Матрица симметрична тогда и только тогда, когда грех θ = 0, то есть для θ = 0 и θ = π. Дело θ = 0 - тривиальный случай тождественного оператора. По делу θ = π то характеристический многочлен является

${ Displaystyle - ( лямбда -1) влево ( лямбда +1 вправо) ^ {2},}$

так что оператор вращения имеет собственные значения

${ displaystyle lambda = 1, quad lambda = -1.}$

В собственное подпространство соответствующий λ = 1 это все векторы на оси вращения, а именно все векторы

${ displaystyle { bar {x}} = alpha { hat {e}} _ {3}, quad - infty < alpha < infty.}$

В собственное подпространство соответствующий λ = −1 состоит из всех векторов, ортогональных оси вращения, а именно всех векторов

${ displaystyle { bar {x}} = alpha { hat {e}} _ {1} + beta { hat {e}} _ {2}, quad - infty < alpha < infty , quad - infty < beta < infty.}$

Для всех остальных значений θ матрица не симметрична и при грех² θ > 0 есть только собственное значение λ = 1 с одномерным собственное подпространство векторов на оси вращения:

${ displaystyle { bar {x}} = alpha { hat {e}} _ {3}, quad - infty < alpha < infty.}$

Матрица поворота по углу θ вокруг общей оси вращения k дан кем-то Формула вращения Родригеса.

${ Displaystyle mathbf {R} = mathbf {I} cos theta + [ mathbf {k}] _ { times} sin theta + (1- cos theta) mathbf {k} mathbf {k} ^ { mathsf {T}},}$

куда я это единичная матрица и [k]_× это двойная 2-форма из k или же матрица кросс-продукта,

${ displaystyle [ mathbf {k}] _ { times} = { begin {bmatrix} 0 & -k_ {3} & k_ {2} k_ {3} & 0 & -k_ {1} - k_ {2 } & k_ {1} & 0 end {bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что [k]_× удовлетворяет [k]_×v = k × v для всех векторов v.

Общий случай

Оператор поворота на угол θ вокруг указанной оси », описанное выше, является ортогональным отображением, и его матрица относительно любой системы базовых векторов является ортогональная матрица. Кроме того, его определитель имеет значение 1. Нетривиальный факт противоположен тому, что для любого ортогонального линейного отображения в р³ с определителем 1 существуют базовые векторы ê₁, ê₂, ê₃ такая, что матрица принимает «канонический вид»

${ displaystyle { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

за некоторую стоимость θ. Фактически, если линейный оператор имеет ортогональная матрица

${ displaystyle { begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} конец {bmatrix}}}$

относительно некоторой базовой векторной системы (f̂₁, f̂₂, f̂₃) и эта матрица симметрична, "теорема о симметричном операторе" верна в р^п (любое измерение) применяется, говоря, что он имеет п ортогональные собственные векторы. Это означает, что для трехмерного случая существует система координат ê₁, ê₂, ê₃ такая, что матрица принимает вид

${ displaystyle { begin {bmatrix} B_ {11} & 0 & 0 0 & B_ {22} & 0 0 & 0 & B_ {33} end {bmatrix}}.}$

Поскольку это ортогональная матрица, эти диагональные элементы B_ii равны 1 или -1. Поскольку определитель равен 1, эти элементы либо все равны 1, либо один из элементов равен 1, а два других равны -1. В первом случае это тривиальный тождественный оператор, соответствующий θ = 0. Во втором случае он имеет вид

${ displaystyle { begin {bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

если базовые векторы пронумерованы так, что вектор с собственным значением 1 имеет индекс 3. Тогда эта матрица имеет желаемый вид для θ = π.

Если матрица несимметрична, вектор

${ displaystyle { bar {E}} = alpha _ {1} { hat {f}} _ {1} + alpha _ {2} { hat {f}} _ {2} + alpha _ {3} { hat {f}} _ {3},}$

куда

${ displaystyle alpha _ {1} = { frac {A_ {32} -A_ {23}} {2}}, quad alpha _ {2} = { frac {A_ {13} -A_ {31) }} {2}}, quad alpha _ {3} = { frac {A_ {21} -A_ {12}} {2}}}$

отличен от нуля. Этот вектор является собственным вектором с собственным значением λ = 1. Параметр

${ displaystyle { hat {e}} _ {3} = { frac { bar {E}} {| { bar {E}} |}}}$

и выбор любых двух ортогональных единичных векторов ê₁ и ê₂ в плоскости, ортогональной ê₃ такой, что ê₁, ê₂, ê₃ образуют положительно ориентированную тройку, оператор принимает желаемый вид с

${ displaystyle { begin {align} cos theta & = { frac {A_ {11} + A_ {22} + A_ {33} -1} {2}}, sin theta & = | { bar {E}} |. end {align}}}$

Приведенные выше выражения на самом деле справедливы и для случая симметричного оператора вращения, соответствующего вращению с θ = 0 или же θ = π. Но разница в том, что для θ = π вектор

${ displaystyle { bar {E}} = alpha _ {1} { hat {f}} _ {1} + alpha _ {2} { hat {f}} _ {2} + alpha _ {3} { hat {f}} _ {3}}$

равен нулю и бесполезен для нахождения собственного подпространства собственного значения 1 и, следовательно, оси вращения.

Определение E₄ в качестве потому что θ матрица для оператора вращения:

${ displaystyle { frac {1-E_ {4}} {E_ {1} ^ {2} + E_ {2} ^ {2} + E_ {3} ^ {2}}} { begin {bmatrix} E_ {1} E_ {1} & E_ {1} E_ {2} & E_ {1} E_ {3} E_ {2} E_ {1} и E_ {2} E_ {2} & E_ {2} E_ {3} E_ {3} E_ {1} & E_ {3} E_ {2} & E_ {3} E_ {3} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} E_ {4} & - E_ {3} & E_ { 2} E_ {3} & E_ {4} & - E_ {1} - E_ {2} & E_ {1} & E_ {4} end {bmatrix}},}$

при условии, что

${ displaystyle E_ {1} ^ {2} + E_ {2} ^ {2} + E_ {3} ^ {2}> 0.}$

то есть кроме случаев θ = 0 (оператор идентичности) и θ = π.

Кватернионы

Кватернионы определяются аналогично E₁, E₂, E₃, E₄ с той разницей, что половина угла θ/2 используется вместо полного угла θ. Это означает, что первые 3 компонента q₁, q₂, q₃ компоненты вектора, определенные из

${ displaystyle q_ {1} { hat {f}} _ {1} + q_ {2} { hat {f}} _ {2} + q_ {3} { hat {f}} _ {1} = sin { frac { theta} {2}}, quad { hat {e}} _ {3} = { frac { sin { frac { theta} {2}}} { sin theta}}, quad { bar {E}},}$

и что четвертый компонент - это скаляр

${ displaystyle q_ {4} = cos { frac { theta} {2}}.}$

Как угол θ определенная из канонической формы, находится в интервале

${ displaystyle 0 leq theta leq pi,}$

обычно это было бы q₄ ≥ 0. Но используется «двойственное» представление вращения с кватернионами, то есть (q₁, q₂, q₃, q₄)}} и (−q₁, −q₂, −'q₃, −q₄) - два альтернативных представления одного и того же вращения.

Сущности E_k определяются из кватернионов как

${ displaystyle { begin {align} E_ {1} & = 2q_ {4} q_ {1}, quad E_ {2} = 2q_ {4} q_ {2}, quad E_ {3} = 2q_ {4 } q_ {3}, [8px] E_ {4} & = q_ {4} ^ {2} - left (q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} + q_ {3 } ^ {2} right). End {выравнивается}}}$

Используя кватернионы, матрица оператора вращения имеет вид

${ displaystyle { begin {bmatrix} 2 left (q_ {1} ^ {2} + q_ {4} ^ {2} right) -1 & 2 left (q_ {1} q_ {2} -q_ {3 } q_ {4} right) & 2 left (q_ {1} q_ {3} + q_ {2} q_ {4} right) 2 left (q_ {1} q_ {2} + q_ {3 } q_ {4} right) & 2 left (q_ {2} ^ {2} + q_ {4} ^ {2} right) -1 и 2 left (q_ {2} q_ {3} -q_ {1} q_ {4} right) 2 left (q_ {1} q_ {3} -q_ {2} q_ {4} right) & 2 left (q_ {2} q_ {3} + q_ {1} q_ {4} right) & 2 left (q_ {3} ^ {2} + q_ {4} ^ {2} right) -1 end {bmatrix}}.}$

Числовой пример

Рассмотрим переориентацию, соответствующую Углы Эйлера α = 10°, β = 20°, γ = 30° относительно данной базовой векторной системы (f̂₁, f̂₂, f̂₃). Соответствующая матрица относительно этой базовой векторной системы (см. Углы Эйлера # Ориентация матрицы )

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0,771281 & -0,633718 & 0,059391 0,613092 и 0,714610 & -0,336824 0,171010 & 0,296198 & 0,939693 end {bmatrix}},}$

и кватернион

${ displaystyle (0,171010, -0,030154,0,336824,0,925417).}$

Каноническая форма этого оператора

${ displaystyle { begin {bmatrix} cos theta & - sin theta & 0 sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

с θ = 44.537° получается с

${ displaystyle { hat {e}} _ {3} = (0,451272, -0,079571,0,888832).}$

Кватернион относительно этой новой системы тогда

${ displaystyle (0,0,0,378951,0.925417) = left (0,0, sin { frac { theta} {2}}, cos { frac { theta} {2}} right) .}$

Вместо того, чтобы делать три вращения Эйлера на 10 °, 20 °, 30 °, ту же ориентацию можно получить одним единственным поворотом на 44,537 ° вокруг ê₃.

Рекомендации

• Шилов Георгий (1961), Введение в теорию линейных пространств, Прентис-Холл, Библиотека Конгресса 61-13845.