Норма Терстона - Википедия - Thurston norm

В математике Терстон норма функция на втором группа гомологии ориентированного 3-х коллекторный представлен Уильям Терстон, который естественным образом измеряет топологическую сложность классов гомологии, представленных поверхностями.

Определение

Позволять ${ displaystyle M}$ быть дифференцируемое многообразие и ${ Displaystyle с в Н_ {2} (М)}$. потом ${ displaystyle c}$ можно представить гладкой встраивание ${ displaystyle S to M}$, куда ${ displaystyle S}$ это (обычно не связано) поверхность который компактный и без границ. Норма Терстона ${ displaystyle c}$ тогда определяется как^[1]

${ displaystyle | c | _ {T} = min _ {S} sum _ {i = 1} ^ {n} chi _ {-} (S_ {i})}$,

где минимум берется по всем закладным поверхностям ${ Displaystyle S = bigcup _ {я} S_ {я}}$ (в ${ displaystyle S_ {i}}$ компоненты связности), представляющие ${ displaystyle c}$ как указано выше, и ${ Displaystyle чи _ {-} (F) = макс (0, - чи (F))}$ абсолютное значение Эйлерова характеристика для поверхностей, не являющихся сферами (и 0 для сфер).

Эта функция удовлетворяет следующим свойствам:

• ${ displaystyle | kc | _ {T} = | k | cdot | c | _ {T}}$ за ${ displaystyle c in H_ {2} (M), k in mathbb {Z}}$;
• ${ Displaystyle | c_ {1} + c_ {2} | _ {T} leq | c_ {1} | _ {T} + | c_ {2} | _ {T}}$ за ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2} in H_ {2} (M)}$.

Из этих свойств следует, что ${ displaystyle | cdot |}$ распространяется на функцию на ${ Displaystyle Н_ {2} (М, mathbb {Q})}$ которое затем можно продолжить по непрерывности до полунорма ${ Displaystyle | cdot | _ {T}}$ на ${ Displaystyle Н_ {2} (М, mathbb {R})}$.^[2] К Двойственность Пуанкаре, можно определить норму Терстона на ${ Displaystyle Н ^ {1} (М, mathbb {R})}$.

Когда ${ displaystyle M}$ компактно с краем, аналогичным образом определяется норма Терстона на относительная гомология группа ${ displaystyle H_ {2} (M, partial M, mathbb {R})}$ и его двойственный по Пуанкаре ${ Displaystyle Н ^ {1} (М, mathbb {R})}$.

Из дальнейшей работы Давид Габай^[3] что можно также определить норму Терстона, используя только погруженный поверхности. Это означает, что норма Терстона также равна половине Громова норма по гомологии.

Топологические приложения

Норма Терстона была введена в связи с ее применением к волокна и слоения 3-многообразий.

Единичный шар ${ displaystyle B}$ нормы Терстона трехмерного многообразия ${ displaystyle M}$ это многогранник с целыми вершинами. Его можно использовать для описания структуры множества расслоений ${ displaystyle M}$ по кругу: если ${ displaystyle M}$ можно записать как отображение тор диффеоморфизма ${ displaystyle f}$ поверхности ${ displaystyle S}$ тогда вложение ${ Displaystyle S hookrightarrow M}$ представляет класс в верхней (или открытой) грани ${ displaystyle B}$: кроме того, все остальные целые точки на той же грани также являются слоями в таком расслоении.^[4]

Вложенные поверхности, которые минимизируют норму Терстона в своем классе гомологий, являются в точности замкнутыми слоями слоений ${ displaystyle M}$.^[3]

Примечания

Рекомендации

• Габай, Давид (1983). «Слоения и топология трехмерных многообразий». Журнал дифференциальной геометрии. 18: 445–503. МИСТЕР  0723813.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Терстон, Уильям (1986). «Норма для гомологии трехмерных многообразий». Мемуары Американского математического общества. 59 (33): i – vi и 99–130. МИСТЕР  0823443.CS1 maint: ref = harv (связь)