Теорема Топкисса - Википедия - Topkiss theorem

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья слишком полагается на Рекомендации к основные источники. Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники. (Май 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математическая экономика, Теорема Топкиса результат, который полезен для установления сравнительная статика. Теорема позволяет исследователям понять, как изменяется оптимальное значение переменной выбора при изменении характеристики окружающей среды. Результат утверждает, что если ж является супермодульный в (Икс,θ), и D это решетка, тогда ${ Displaystyle х ^ {*} ( theta) = arg max _ {x in D} f (x, theta)}$ не убывает в θ. Результат особенно полезен для установления сравнительных статических результатов, когда целевая функция не дифференцируема.

Пример

Этот пример покажет, как использование теоремы Топкиса дает тот же результат, что и использование более стандартных инструментов. Преимущество использования теоремы Топкиса состоит в том, что ее можно применить к более широкому классу проблем, чем можно изучить с помощью стандартных экономических инструментов.

Водитель едет по шоссе и должен выбрать скорость, s. Желательно ехать быстрее, но это с большей вероятностью приведет к аварии. Есть некоторое преобладание выбоин, п. Наличие выбоин увеличивает вероятность аварии. Обратите внимание, что s переменная выбора и п - параметр среды, который фиксируется с точки зрения водителя. Водитель стремится ${ Displaystyle макс _ {s} U (s, p)}$.

Хотелось бы понять, как скорость водителя (переменная выбора) меняется в зависимости от количества выбоин:

${ displaystyle { frac { partial s ^ { ast} (p)} { partial p}}.}$

Если кто-то хочет решить проблему стандартными инструментами, такими как теорема о неявной функции, можно было бы предположить, что проблема решена правильно: U(.) дважды непрерывно дифференцируема, вогнута в s, что область, над которой s определено выпукло, и что существует единственный максимизатор ${ displaystyle s ^ { ast} (p)}$ для каждого значения п и это ${ displaystyle s ^ { ast} (p)}$ находится внутри набора, над которым s определено. Обратите внимание, что оптимальная скорость зависит от количества выбоин. Принимая условие первого порядка, мы знаем, что при оптимуме ${ Displaystyle U_ {s} (s ^ { ast} (p), p) = 0}$. Дифференцируя условие первого порядка по п и используя теорему о неявной функции, находим, что

${ Displaystyle U_ {ss} (s ^ { ast} (p), p) ( partial s ^ { ast} (p) / ( partial p)) + U_ {sp} (s ^ { ast } (p), p) = 0}$

или это

${ displaystyle { frac { partial s ^ { ast} (p)} { partial p}} = { underset {{ text {отрицательный, поскольку мы предполагали}} U (.) { text {был вогнутым in}} s} { underbrace { frac {-U_ {sp} (s ^ { ast} (p), p)} {U_ {ss} (s ^ { ast} (p), p)} }}}.}$

Так,

${ displaystyle { frac { partial s ^ { ast} (p)} { partial p}} { overset { text {sign}} {=}} U_ {sp} (s ^ { ast} (p), p).}$

Если s и п заменители,

${ Displaystyle U_ {sp} (s ^ { ast} (p), p) <0}$

и поэтому

${ displaystyle { frac { partial s ^ { ast} (p)} { partial p}} <0}$

чем больше выбоин, тем меньше скорость. Ясно, что разумнее предположить, что это заменители.

Проблема с описанным выше подходом состоит в том, что он основан на дифференцируемости целевой функции и вогнутости. Мы могли бы получить тот же ответ, используя теорему Топкиса следующим образом. Мы хотим показать, что ${ Displaystyle U (s, p)}$ субмодулярна (противоположна супермодульному) в ${ displaystyle left (s, p right)}$. Обратите внимание, что набор выбора явно представляет собой решетку. Крест частичный U быть отрицательным, ${ displaystyle { frac { partial ^ {2} U} { partial s , partial p}} <0}$, является достаточным условием. Следовательно, если ${ displaystyle { frac { partial ^ {2} U} { partial s , partial p}} <0,}$ мы знаем это ${ displaystyle { frac { partial s ^ { ast} (p)} { partial p}} <0}$.

Следовательно, используя теорема о неявной функции и теорема Топкиса дает тот же результат, но последняя делает это с меньшим количеством предположений.

Примечания и ссылки

• Амир, Рабах (2005). «Супермодульность и дополнительность в экономике: элементарный обзор». Южный экономический журнал. 71 (3): 636–660. Дои:10.2307/20062066. JSTOR  20062066.
• Топкис, Дональд М. (1978). «Минимизация субмодульной функции на решетке». Исследование операций. 26 (2): 305–321. CiteSeerX  10.1.1.557.5908. Дои:10.1287 / opre.26.2.305.
• Топкис, Дональд М. (1998). Супермодульность и дополнительность. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-03244-3.