Полная двойная целостность - Википедия - Total dual integrality

В математическая оптимизация, полная двойная целостность является достаточным условием целостности многогранник. Таким образом оптимизация линейной цели по целым точкам такого многогранника можно сделать по технике из линейное программирование.

Линейная система ${ Displaystyle Ax leq b}$, куда ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle b}$ рациональны, называется вполне дуальным интегралом (TDI), если для любого ${ displaystyle c in mathbb {Z} ^ {n}}$ такое, что существует допустимое ограниченное решение линейной программы

${ displaystyle { begin {align} && max c ^ { mathrm {T}} x && Ax leq b, end {выравнивается}}}$

существует целочисленное оптимальное двойственное решение.^[1][2][3]

Эдмондс и Джайлз^[2] показал, что если многогранник ${ displaystyle P}$ является набором решений системы TDI ${ Displaystyle Ax leq b}$, куда ${ displaystyle b}$ имеет все целочисленные элементы, то каждая вершина ${ displaystyle P}$ является целочисленным. Таким образом, если линейная программа, как указано выше, решается симплексный алгоритм, возвращаемое оптимальное решение будет целым. Далее, Джайлз и Пуллибланк^[1] показал, что если ${ displaystyle P}$ многогранник, все вершины которого целочисленны, то ${ displaystyle P}$ является набором решений некоторой системы TDI ${ Displaystyle Ax leq b}$, куда ${ displaystyle b}$ является целочисленным.

Обратите внимание, что TDI является более слабым достаточным условием целостности, чем полная унимодулярность.^[4]

Рекомендации