Вращение дерева - Tree rotation

Общие вращения деревьев.

В дискретная математика, вращение деревьев это операция на двоичное дерево который изменяет структуру без нарушения порядка элементов. Вращение дерева перемещает один узел вверх по дереву и один узел вниз. Он используется для изменения формы дерева и, в частности, для уменьшения его высоты путем перемещения меньших поддеревьев вниз и более крупных поддеревьев вверх, что приводит к повышению производительности многих операций с деревом.

Существует несоответствие в различных описаниях определения направление вращения. Некоторые говорят, что направление вращения отражает направление, в котором узел движется при вращении (левый дочерний элемент, вращающийся в положение своего родителя, является правым вращением), в то время как другие говорят, что направление вращения отражает, какое поддерево вращается (левое поддерево, вращающееся в расположение его родителя - левое вращение, противоположное предыдущему). В этой статье используется подход направленного движения вращающегося узла.

Иллюстрация

Вращение дерева.png
Имеется анимация вращения деревьев.

Операция поворота вправо, как показано на соседнем изображении, выполняется с помощью Q в качестве корня и, следовательно, является правым вращением или корнем, Q. Эта операция приводит к повороту дерева по часовой стрелке. Обратная операция - это левое вращение, которое приводит к движению против часовой стрелки (левое вращение, показанное выше, основано на п). Ключом к пониманию того, как работает вращение, является понимание его ограничений. В частности, порядок листьев дерева (например, при чтении слева направо) не может измениться (другой способ думать об этом - это то, что порядок, в котором листья будут посещаться при обходе по порядку, должен быть таким же после операция как раньше). Еще одно ограничение - это главное свойство двоичного дерева поиска, а именно то, что правый дочерний элемент больше, чем родитель, а левый ребенок меньше, чем родитель. Обратите внимание, что правильный ребенок левого дочернего элемента корня поддерева (например, узел B на диаграмме дерева с корнем Q) может стать левым дочерним элементом корня, который сам становится правым дочерним элементом «нового» корня в повернутое поддерево без нарушения любого из этих ограничений. Как видно на диаграмме, порядок листьев не меняется. Противоположная операция также сохраняет порядок и является вторым видом вращения.

Предполагая, что это двоичное дерево поиска, как указано выше, элементы следует интерпретировать как переменные, которые можно сравнивать друг с другом. Буквенные символы слева используются в качестве заполнителей для этих переменных. В анимации справа заглавные буквенные символы используются в качестве заполнителей переменных, а строчные греческие буквы являются заполнителями для всего набора переменных. Круги представляют отдельные узлы, а треугольники - поддеревья. Каждое поддерево может быть пустым, состоять из одного узла или состоять из любого количества узлов.

Подробная иллюстрация

Графическое описание того, как производятся вращения.

Когда поддерево вращается, сторона поддерева, на которой оно вращается, увеличивает свою высоту на один узел, в то время как другое поддерево уменьшает свою высоту. Это делает вращение дерева полезным для балансировки дерева.

Рассмотрим терминологию Корень для вращения родительского узла поддеревьев, Вращаться для узла, который станет новым родительским узлом, RS для стороны вращения и Операционные системы для противоположной стороны вращения. Для корня Q на диаграмме выше RS это C и Операционные системы является P. Используя эти термины, псевдокод для вращения:

Pivot = Root.OSRoot.OS = Pivot.RSPivot.RS = RootRoot = Pivot

Это операция с постоянным временем.

Программист также должен убедиться, что родительский элемент корня указывает на точку поворота после поворота. Также программист должен учитывать, что эта операция может привести к новому корню для всего дерева, и позаботиться об обновлении указателей соответственно.

Инвариантность порядка

Вращение дерева отображает обход двоичного дерева в порядке. инвариантный. Это означает, что порядок элементов не изменяется, когда вращение выполняется в любой части дерева. Вот примерный обход деревьев, показанных выше:

Левое дерево: ((A, P, B), Q, C) Правое дерево: (A, P, (B, Q, C))

Вычислить одно из другого очень просто. Ниже приведен пример Python код, который выполняет это вычисление:

def right_rotation(тринод):    оставили, Q, C = тринод    А, п, B = оставили    возвращаться (А, п, (B, Q, C))

Другой способ взглянуть на это:

Правый поворот узла Q:

Пусть P будет левым дочерним элементом Q. Установите левый дочерний элемент Q как правый дочерний элемент P. [Установить родительский элемент правого дочернего элемента P равным Q] Установить правого дочернего элемента P в значение Q. [Установить родительского элемента Q в значение P]

Левый поворот узла P:

Пусть Q будет правым потомком P. Установите правого потомка P, чтобы он был левым потомком Q. [Установить родителя левого потомка Q на P] Установить левого потомка Q на P. [Установить родителя P на Q]

Все остальные подключения оставлены как есть.

Это также двойные вращения, которые представляют собой комбинацию левого и правого вращения. А двойной левый вращение в X можно определить как правое вращение правого дочернего элемента X, за которым следует левое вращение в X; аналогично двойное право вращение в X можно определить как левое вращение у левого дочернего элемента X, за которым следует правое вращение в X.

Вращения деревьев используются в ряде деревьев. структуры данных Такие как Деревья АВЛ, красно-черные деревья, Wavl деревья, растопыренные деревья, и Treaps. Им требуется только постоянное время, потому что они местный преобразования: они работают только с 5 узлами и не требуют проверки остальной части дерева.

Вращения для ребалансировки

Наглядное описание того, как вращения вызывают перебалансировку в дереве AVL.

Дерево можно перебалансировать с помощью вращения. После вращения сторона вращения увеличивает свою высоту на 1, в то время как сторона, противоположная вращению, уменьшает свою высоту аналогичным образом. Следовательно, можно стратегически применять вращения к узлам, левый дочерний элемент и правый дочерний элемент которых отличаются по высоте более чем на 1. Самобалансирующиеся деревья двоичного поиска применяют эту операцию автоматически. Типом дерева, в котором используется эта техника ребалансировки, является AVL дерево.

Расстояние вращения

Основная статья: Расстояние вращения
Вопрос, Web Fundamentals.svgНерешенная проблема в информатике:
Можно ли вычислить расстояние вращения между двумя двоичными деревьями за полиномиальное время?
(больше нерешенных проблем в информатике)

В расстояние вращения между любыми двумя двоичными деревьями с одинаковым количеством узлов - минимальное количество оборотов, необходимых для преобразования одного в другой. При таком расстоянии набор п-узловое двоичное дерево становится метрическое пространство: расстояние симметрично, положительно, если даны два разных дерева, и удовлетворяет неравенство треугольника.

Это открытая проблема существует ли полиномиальное время алгоритм для расчета расстояния вращения.

Дэниел Слейтор, Роберт Тарджан и Уильям Терстон показал, что расстояние вращения между любыми двумя п-узловые деревья (для п ≥ 11) не более 2п - 6, и что некоторые пары деревьев так далеко друг от друга, как только п достаточно большой.[1] Лайонел Пурнин показал, что на самом деле такие пары существуют, когда п ≥ 11.[2]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Слейтор, Дэниел Д.; Тарджан, Роберт Э.; Терстон, Уильям П. (1988), «Расстояние вращения, триангуляции и гиперболическая геометрия», Журнал Американского математического общества, 1 (3): 647–681, Дои:10.2307/1990951, JSTOR  1990951, МИСТЕР  0928904.
  2. ^ Пурнин, Лайонел (2014), "Диаметр ассоциэдров", Успехи в математике, 259: 13–42, arXiv:1207.6296, Дои:10.1016 / j.aim.2014.02.035, МИСТЕР  3197650.

внешняя ссылка