Теорема Туннеллса - Википедия - Tunnells theorem

В теория чисел, Теорема Таннелла дает частичное разрешение проблема конгруэнтного числа, а под Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера, полное разрешение.

Проблема конгруэнтного числа

Задача конгруэнтного числа спрашивает, какие положительные целые числа может быть площадью прямоугольного треугольника со всеми тремя рациональными сторонами. Теорема Таннелла связывает это с числом интегральных решений нескольких довольно простых Диофантовы уравнения.

Теорема

Для данного целого числа без квадратов п, определять

Теорема Таннелла утверждает, что если предположить п конгруэнтное число, если п нечетно, то 2Ап = Bп и если п даже тогда 2Cп = Dп. И наоборот, если Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера верно для эллиптические кривые формы , этих равенств достаточно, чтобы заключить, что п конгруэнтное число.

История

Теорема названа в честь Джеррольд Б. Таннелл, теоретик чисел в Университет Рутгерса, который доказал это в Таннелл (1983).

Важность

Важность теоремы Таннелла состоит в том, что критерий, который она дает, можно проверить с помощью конечных вычислений. Например, для данного п, цифры Ап,Bп,Cп,Dп можно рассчитать путем тщательного перебора Икс,у,z В диапазоне .

Смотрите также

Рекомендации

  • Коблиц, Нил (2012), Введение в эллиптические кривые и модульные формы, Тексты для выпускников по математике (Книга 97) (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  978-1-4612-6942-7
  • Таннелл, Джеррольд Б. (1983), «Классическая диофантова проблема и модульные формы веса 3/2», Inventiones Mathematicae, 72 (2): 323–334, Дои:10.1007 / BF01389327, HDL:10338.dmlcz / 137483