Вайдья метрика - Vaidya metric

В общая теория относительности, то Вайдья метрика описывает непустое внешнее пространство-время сферически-симметричной невращающейся звезды, которая либо излучает, либо поглощает ноль пыли. Он назван в честь индийского физика. Прахалад Чуннилал Вайдья и представляет собой простейшее нестатическое обобщение безызлучательного Решение Шварцшильда к Уравнение поля Эйнштейна, поэтому ее еще называют «излучающей (сияющей) метрикой Шварцшильда».

От метрики Шварцшильда к метрике Вайдья

Метрика Шварцшильда как статическое и сферически симметричное решение уравнения Эйнштейна имеет вид

${ displaystyle (1) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} dt ^ {2} + { Big (} 1- { frac {2M} {r}} { Big)} ^ {- 1} dr ^ {2} + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ;.}$

Чтобы снять координатную особенность этой метрики при ${ displaystyle r = 2M}$ можно было переключиться на Координаты Эддингтона – Финкельштейна. Таким образом, введите нулевую координату "запаздывающая (/ исходящая)" ${ displaystyle u}$ к

${ displaystyle (2) quad t = u + r + 2M ln { Big (} { frac {r} {2M}} - 1 { Big)} qquad Rightarrow quad dt = du + { Большой (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} ^ {- 1} dr ;,}$

и уравнение (1) может быть преобразовано в «запаздывающую (/ исходящую) метрику Шварцшильда»

${ displaystyle (3) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} du ^ {2} -2dudr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ;;}$

или вместо этого мы могли бы использовать "расширенную (/ ingoing)" нулевую координату ${ displaystyle v}$ к

${ Displaystyle (4) quad t = vr-2M ln { Big (} { frac {r} {2M}} - 1 { Big)} qquad Rightarrow quad dt = dv - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} ^ {- 1} dr ;,}$

так что уравнение (1) становится «расширенной (/ входящей) метрикой Шварцшильда»

${ displaystyle (5) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M} {r}} { Big)} dv ^ {2} + 2dvdr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ;.}$

Уравнения (3) и (5) как статические и сферически-симметричные решения справедливы как для обычных небесных объектов с конечными радиусами, так и для особых объектов, таких как черные дыры. Оказывается, что по-прежнему физически разумно, если расширить массовый параметр ${ displaystyle M}$ в уравнениях (3) и (5) из константы в функции соответствующей нулевой координаты, ${ Displaystyle М (и)}$ и ${ Displaystyle M (v)}$ соответственно, таким образом

${ displaystyle (6) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M (u)} {r}} { Big)} du ^ {2} -2dudr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ;,}$

${ Displaystyle (7) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M (v)} {r}} { Big)} dv ^ {2} + 2dvdr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ;.}$

Расширенные метрики Уравнение (6) и Уравнение (7) представляют собой соответственно «запаздывающие (/ исходящие)» и «расширенные (/ входящие)» метрики Вайдьи.^[1]^[2] Также иногда полезно преобразовать уравнения метрики Вайдьи (6) (7) в форму

${ displaystyle (8) quad ds ^ {2} = { frac {2M (u)} {r}} du ^ {2} + ds ^ {2} ({ text {flat}}) = { гидроразрыв {2M (v)} {r}} dv ^ {2} + ds ^ {2} ({ text {flat}}) ,,}$

куда ${ displaystyle ds ^ {2} ({ text {flat}}) = - du ^ {2} -2dudr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) = - dv ^ {2} + 2dvdr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2} ) = - dt ^ {2} + dr ^ {2} + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2})}$ представляет собой метрику плоское пространство-время.

Исходящая Вайдья с чистым излучающим полем

Что касается "запаздывающей (/ исходящей)" метрики Вайдьи (6),^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] то Тензор Риччи имеет только один ненулевой компонент

${ displaystyle (9) quad R_ {uu} = - 2 { frac {M (u) _ {, , u}} {r ^ {2}}} ,,}$

в то время как Скаляр кривизны Риччи исчезает, ${ Displaystyle R = г ^ {ab} R_ {ab} = 0}$ потому что ${ displaystyle g ^ {uu} = 0}$ . Таким образом, согласно бесследовому уравнению Эйнштейна ${ Displaystyle G_ {ab} = R_ {ab} = 8 pi T_ {ab}}$ , то тензор энергии-импульса ${ displaystyle T_ {ab}}$ удовлетворяет

${ displaystyle (10) quad T_ {ab} = - { frac {M (u) _ {, , u}} {4 pi r ^ {2}}} l_ {a} l_ {b} ;, qquad l_ {a} dx ^ {a} = - du ;,}$

куда ${ displaystyle l_ {a} = - partial _ {a} u}$ и ${ displaystyle l ^ {a} = g ^ {ab} l_ {b}}$ являются нулевыми (ко) векторами (см. вставку A ниже). Таким образом, ${ displaystyle T_ {ab}}$ это "поле чистого излучения",^[1]^[2] который имеет плотность энергии ${ displaystyle - { frac {M (u) _ {, , u}} {4 pi r ^ {2}}}}$ . Согласно нулевому энергетические условия

${ displaystyle (11) quad T_ {ab} k ^ {a} k ^ {b} geq 0 ;,}$

у нас есть ${ Displaystyle М (и) _ {, , и} <0}$ и, таким образом, центральное тело излучает излучение.

После расчетов с использованием Формализм Ньюмана – Пенроуза (НП) в рамке A исходящее уравнение пространства-времени Вайдьи (6) имеет вид Петрова типа Д, а ненулевые компоненты Вейль-НП и Риччи-НП скаляры

${ displaystyle (12) quad Psi _ {2} = - { frac {M (u)} {r ^ {3}}} qquad Phi _ {22} = - { frac {M (u ) _ { ,, , u}} {r ^ {2}}} ;.}$

Примечательно, что поле Вайдьи представляет собой поле чистого излучения, а не электромагнитные поля. Излучаемые частицы или потоки энергии-материи не имеют масса покоя и поэтому обычно называются «нулевой пылью», обычно такой как фотоны и нейтрино, но не могут быть электромагнитными волнами, потому что уравнения Максвелла-НП не выполняются. Между прочим, исходящие и входящие скорости расширения нуля для линейный элемент Уравнения (6) соответственно

${ Displaystyle (13) quad theta _ {( ell)} = - ( rho + { bar { rho}}) = { frac {2} {r}} ,, quad theta _ {(n)} = mu + { bar { mu}} = { frac {-r + 2M (u)} {r ^ {2}}} ;.}$

Вставка A: Анализ метрики Вайдьи в "исходящей" нулевой тетраде

Предполагать ${ displaystyle F: = 1 - { frac {2M (u)} {r}}}$ , то лагранжиан нулевого радиального геодезические ${ Displaystyle (L = 0, { точка { theta}} = 0, { точка { phi}} = 0)}$ уравнения "запаздывающего (/ исходящего)" пространства-времени Вайдьи (6)

${ displaystyle L = 0 = -F { dot {u}} ^ {2} +2 { dot {u}} { dot {r}} ,,}$

где точка означает производную по некоторому параметру ${ displaystyle lambda}$ . Этот лагранжиан имеет два решения:

${ displaystyle { dot {u}} = 0 quad { text {and}} quad { dot {r}} = { frac {F} {2}} { dot {u}} ; .}$

Согласно определению ${ displaystyle u}$ в уравнении (2) можно было бы найти, что когда ${ displaystyle t}$ увеличивается, радиус площадки ${ displaystyle r}$ также увеличится для решения ${ displaystyle { dot {u}} = 0}$ , пока ${ displaystyle r}$ уменьшится для решения ${ displaystyle { dot {r}} = { frac {F} {2}} { dot {u}}}$ . Таким образом, ${ displaystyle { dot {u}} = 0}$ следует признать исходящим решением, в то время как ${ displaystyle { dot {r}} = { frac {F} {2}} { dot {u}}}$ служит входящим решением. Теперь мы можем построить сложную нулевую тетраду который адаптирован к исходящим нулевым радиальным геодезическим и использует Формализм Ньюмана – Пенроуза для выполнения полного анализа уходящего пространства-времени Вайдьи. Такая исходящая адаптированная тетрада может быть настроена как

${ displaystyle l ^ {a} = (0,1,0,0) ,, quad n ^ {a} = (1, - { frac {F} {2}}, 0,0) , , quad m ^ {a} = { frac {1} {{ sqrt {2}} , r}} (0,0,1, i , csc theta) ,,}$

поэтому ковекторы двойственного базиса

${ displaystyle l_ {a} = (- 1,0,0,0) ,, quad n_ {a} = (- { frac {F} {2}}, - 1,0,0) , , quad m_ {a} = { frac {r} { sqrt {2}}} (0,0,1, sin theta) ,.}$

В этой нулевой тетраде спиновые коэффициенты равны

${ displaystyle kappa = sigma = tau = 0 ,, quad nu = lambda = pi = 0 ,, quad varepsilon = 0}$
${ displaystyle rho = - { frac {1} {r}} ,, quad mu = { frac {-r + 2M (u)} {2r ^ {2}}} ,, quad alpha = - beta = { frac {- { sqrt {2}} cot theta} {4r}} ,, quad gamma = { frac {M (u)} {2r ^ {2 }}} ,.}$

В Вейль-НП и Риччи-НП скаляры даются

${ Displaystyle Psi _ {0} = Psi _ {1} = Psi _ {3} = Psi _ {4} = 0 ,, quad Psi _ {2} = - { frac {M (и)} {г ^ {3}}} ,,}$

${ Displaystyle Phi _ {00} = Phi _ {10} = Phi _ {20} = Phi _ {11} = Phi _ {12} = Lambda = 0 ,, quad Phi _ {22} = - { frac {M (u) _ { ,, , u}} {r ^ {2}}} ,,}$

Так как единственный ненулевой скаляр Weyl-NP является ${ displaystyle Psi _ {2}}$ , "запаздывающее (/ исходящее)" пространство-время Вайдьи имеет Петрова типа Д. Также существует поле излучения как ${ displaystyle Phi _ {22} neq 0}$ .

Вставка B: Анализ метрики Шварцшильда в "исходящей" нулевой тетраде

Для "запаздывающего (/ исходящего)" метрического уравнения Шварцшильда (3) пусть ${ displaystyle G: = 1 - { frac {2M} {r}}}$ , а затем лагранжиан для нулевого радиального геодезические будет исходящее решение ${ displaystyle { dot {u}} = 0}$ и входящее решение ${ displaystyle { dot {r}} = - { frac {G} {2}} { dot {u}}}$ . Аналогично Box A, теперь настраиваем адаптированную исходящую тетраду с помощью

${ displaystyle l ^ {a} = (0,1,0,0) ,, quad n ^ {a} = (1, - { frac {G} {2}}, 0,0) , , quad m ^ {a} = { frac {1} {{ sqrt {2}} , r}} (0,0,1, i , csc theta) ,,}$

${ displaystyle l_ {a} = (- 1,0,0,0) ,, quad n_ {a} = (- { frac {G} {2}}, - 1,0,0) , , quad m_ {a} = { frac {r} { sqrt {2}}} (0,0,1, sin theta) ,.}$

поэтому спиновые коэффициенты равны

${ displaystyle kappa = sigma = tau = 0 ,, quad nu = lambda = pi = 0 ,, quad varepsilon = 0}$
${ displaystyle rho = - { frac {1} {r}} ,, quad mu = { frac {-r + 2M} {2r ^ {2}}} ,, quad alpha = - beta = { frac {- { sqrt {2}} cot theta} {4r}} ,, quad gamma = { frac {M} {2r ^ {2}}} ,, }$

и Вейль-НП и Риччи-НП скаляры даются

${ Displaystyle Psi _ {0} = Psi _ {1} = Psi _ {3} = Psi _ {4} = 0 ,, quad Psi _ {2} = - { frac {M } {г ^ {3}}} ,,}$

${ Displaystyle Phi _ {00} = Phi _ {10} = Phi _ {20} = Phi _ {11} = Phi _ {12} = Phi _ {22} = Lambda = 0 ,.}$

"Отсталое (/ исходящее)" пространство-время Шварцшильда имеет Петрова типа Д с ${ displaystyle Psi _ {2}}$ являющийся единственным ненулевым скаляром Вейля-NP.

Вхождение Вайдьи с чистым поглощающим полем

Что касается «продвинутого / входящего» метрического уравнения Вайдьи (7),^[1]^[2]^[6] тензоры Риччи снова имеют одну ненулевую компоненту

${ Displaystyle (14) quad R_ {vv} = 2 { frac {M (v) _ {, , v}} {r ^ {2}}} ,,}$

и поэтому ${ displaystyle R = 0}$ а тензор энергии-импульса равен

${ displaystyle (15) quad T_ {ab} = { frac {M (v) _ {, , v}} {4 pi r ^ {2}}} , n_ {a} n_ {b} ;, qquad n_ {a} dx ^ {a} = - dv ;.}$

Это поле чистого излучения с плотностью энергии ${ displaystyle { frac {M (v) _ {, , v}} {4 pi r ^ {2}}}}$ , и еще раз из условия нулевой энергии (11) следует, что ${ Displaystyle M (v) _ {, , v}> 0}$ , поэтому центральный объект поглощает нулевую пыль. Как вычислено во вставке C, ненулевые компоненты Weyl-NP и Ricci-NP "расширенного / входящего" метрического уравнения Вайдья (7) равны

${ Displaystyle (16) quad Psi _ {2} = - { frac {M (v)} {r ^ {3}}} qquad Phi _ {00} = { frac {M (v) _ { ,, , v}} {r ^ {2}}} ;.}$

Кроме того, исходящие и входящие скорости расширения нуля для линейного элемента (7) соответственно

${ Displaystyle (17) quad theta _ {( ell)} = - ( rho + { bar { rho}}) = { frac {r-2M (v)} {r ^ {2} }} ,, quad theta _ {(n)} = mu + { bar { mu}} = - { frac {2} {r}} ;.}$

Усовершенствованное / входящее решение Вайдьи (7) особенно полезно в физике черных дыр, поскольку это одно из немногих существующих точных динамических решений. Например, его часто используют для исследования различий между различными определениями динамических границ черной дыры, такими как классическое определение границ черной дыры. горизонт событий и квазилокальный горизонт улавливания; и, как показывает уравнение (17), эволюционная гиперповерхность ${ displaystyle r = 2M (v)}$ всегда является гранично внешним захваченным горизонтом ( ${ Displaystyle theta _ {( ell)} = 0 ;, theta _ {(n)} <0}$ ).

Блок C: Анализ метрики Вайдьи во "входящей" нулевой тетраде

Предполагать ${ displaystyle { tilde {F}}: = 1 - { frac {2M (v)} {r}}}$ , то лагранжиан нулевого радиального геодезические уравнения "продвинутого (/ входящего)" пространства-времени Вайдьи (7)

${ displaystyle L = - { tilde {F}} { dot {v}} ^ {2} +2 { dot {v}} { dot {r}} ,,}$

который имеет входящее решение ${ displaystyle { dot {v}} = 0}$ и исходящее решение ${ displaystyle { dot {r}} = { frac { tilde {F}} {2}} { dot {v}}}$ в соответствии с определением ${ displaystyle v}$ в уравнении (4). Теперь мы можем построить сложную нулевую тетраду который адаптирован к входящим нулевым радиальным геодезическим и использует Формализм Ньюмана – Пенроуза для выполнения полного анализа пространства-времени Вайдьи. Такая входящая адаптированная тетрада может быть оформлена как

${ displaystyle l ^ {a} = (1, { frac { tilde {F}} {2}}, 0,0) ,, quad n ^ {a} = (0, -1,0, 0) ,, quad m ^ {a} = { frac {1} {{ sqrt {2}} , r}} (0,0,1, i , csc theta) ,, }$

поэтому ковекторы двойственного базиса

${ displaystyle l_ {a} = (- { frac { tilde {F}} {2}}, 1,0,0) ,, quad n_ {a} = (- 1,0,0,0 ) ,, quad m_ {a} = { frac {r} { sqrt {2}}} (0,0,1, sin theta) ,.}$

В этой нулевой тетраде спиновые коэффициенты равны

${ Displaystyle каппа = сигма = тау = 0 ,, квад ню = лямбда = пи = 0 ,, квад гамма = 0}$
${ displaystyle rho = { frac {-r + 2M (v)} {2r ^ {2}}} ,, quad mu = - { frac {1} {r}} ,, quad alpha = - beta = { frac {- { sqrt {2}} cot theta} {4r}} ,, quad varepsilon = { frac {M (v)} {2r ^ {2 }}} ,.}$

В Вейль-НП и Риччи-НП скаляры даются

${ Displaystyle Psi _ {0} = Psi _ {1} = Psi _ {3} = Psi _ {4} = 0 ,, quad Psi _ {2} = - { frac {M (v)} {г ^ {3}}} ,,}$

${ Displaystyle Phi _ {10} = Phi _ {20} = Phi _ {11} = Phi _ {12} = Phi _ {22} = Lambda = 0 ,, quad Phi _ {00} = { frac {M (v) _ { ,, , v}} {r ^ {2}}} ;.}$

Так как единственный ненулевой скаляр Weyl-NP является ${ displaystyle Psi _ {2}}$ , "продвинутое (/ входящее)" пространство-время Вайдьи имеет Петрова типа Д, и существует поле излучения, закодированное в ${ displaystyle Phi _ {00}}$ .

Вставка D: Анализ метрики Шварцшильда во "входящей" нулевой тетраде

Для "продвинутого (/ входящего)" метрического уравнения Шварцшильда (5) пусть ${ displaystyle G: = 1 - { frac {2M} {r}}}$ , а затем лагранжиан для нулевого радиального геодезические будет входящее решение ${ displaystyle { dot {v}} = 0}$ и исходящее решение ${ displaystyle { dot {r}} = { frac {G} {2}} { dot {v}}}$ . Подобно Box C, теперь настраиваем адаптированную входящую тетраду.

${ displaystyle l ^ {a} = (1, { frac {G} {2}}, 0,0) ,, quad n ^ {a} = (0, -1,0,0) , , quad m ^ {a} = { frac {1} {{ sqrt {2}} , r}} (0,0,1, i , csc theta) ,,}$

${ displaystyle l_ {a} = (- { frac {G} {2}}, 1,0,0) ,, quad n_ {a} = (- 1,0,0,0) ,, quad m_ {a} = { frac {r} { sqrt {2}}} (0,0,1, sin theta) ,.}$

поэтому спиновые коэффициенты равны

${ Displaystyle каппа = сигма = тау = 0 ,, квад ню = лямбда = пи = 0 ,, квад гамма = 0}$
${ displaystyle rho = { frac {-r + 2M} {2r ^ {2}}} ,, quad mu = - { frac {1} {r}} ,, quad alpha = - beta = { frac {- { sqrt {2}} cot theta} {4r}} ,, quad varepsilon = { frac {M} {2r ^ {2}}} ,, }$

и Вейль-НП и Риччи-НП скаляры даются

${ Displaystyle Psi _ {0} = Psi _ {1} = Psi _ {3} = Psi _ {4} = 0 ,, quad Psi _ {2} = - { frac {M } {г ^ {3}}} ,,}$

${ Displaystyle Phi _ {00} = Phi _ {10} = Phi _ {20} = Phi _ {11} = Phi _ {12} = Phi _ {22} = Lambda = 0 ,.}$

«Продвинутое (/ входящее)» пространство-время Шварцшильда имеет Петрова типа Д с ${ displaystyle Psi _ {2}}$ единственный ненулевой скаляр Weyl-NP.

Сравнение с метрикой Шварцшильда

Как естественное и простейшее расширение метрики Швацшильда, метрика Вайдья все еще имеет много общего с ней:

Оба показателя имеют Петрова типа Д с ${ displaystyle Psi _ {2}}$ быть единственным не исчезающим Скаляр Вейля-НП (как рассчитано в боксах A и B).

Однако есть три явных различия между Шварцшильд и метрика Вайдья:

Прежде всего, массовый параметр ${ displaystyle M}$ для Шварцшильда - константа, а для Вайдьи ${ Displaystyle М (и)}$ является u-зависимой функцией.
Шварцшильд - решение вакуумного уравнения Эйнштейна ${ displaystyle R_ {ab} = 0}$ , а Вайдья - решение бесследного уравнения Эйнштейна ${ displaystyle R_ {ab} = 8 pi T_ {ab}}$ с нетривиальным энергетическим полем чистого излучения. В результате все скаляры Риччи-NP для Шварцшильда обращаются в нуль, а мы имеем ${ Displaystyle Phi _ {00} = { гидроразрыва {M (u) _ { ,, , u}} {r ^ {2}}}}$ для Вайдьи.
Шварцшильд имеет 4 независимых Убивающие векторные поля, включая времяподобное, и, следовательно, является статической метрикой, в то время как Вайдья имеет только 3 независимых векторных поля Киллинга относительно сферической симметрии и, следовательно, является нестатическим. Следовательно, метрика Шварцшильда принадлежит Класс решений Вейля в то время как метрика Вайдьи - нет.

Расширение метрики Вайдьи

Метрика Киннерсли

В то время как метрика Вайдьи является расширением метрики Шварцшильда и включает в себя поле чистого излучения, Метрика Киннерсли^[7] представляет собой дальнейшее расширение метрики Вайдьи; она описывает массивный объект, который ускоряется при отдаче, поскольку он испускает безмассовое излучение анизотропно. Метрика Киннерсли является частным случаем метрики Киннерсли. Метрика Керра-Шильда, а в декартовых координатах пространства-времени ${ displaystyle x ^ { mu}}$ он принимает следующий вид:

${ displaystyle (18) quad g _ { mu nu} = eta _ { mu nu} - { frac {2m { bigl (} u (x) { bigr)}} {r (x ) ^ {3}}} sigma _ { mu} (x) sigma _ { nu} (x) !}$

${ Displaystyle (19) четырехъядерный р (х) = сигма _ { му} (х) , , лямбда ^ { му} (и (х)) !}$

${ Displaystyle (20) quad sigma ^ { mu} (x) = X ^ { mu} (u (x)) - x ^ { mu}, quad eta _ { mu nu} sigma ^ { mu} (x) sigma ^ { nu} (x) = 0 !}$

где на протяжении данного раздела все индексы должны подниматься и опускаться с использованием метрики «плоское пространство». ${ displaystyle eta _ { mu nu}}$ ,масса" ${ Displaystyle м (и)}$ является произвольной функцией подходящее время ${ displaystyle u}$ вдоль массы мировая линия по "плоской" метрике, ${ displaystyle du ^ {2} = eta _ { mu nu} , dX ^ { mu} dX ^ { mu},}$ и ${ Displaystyle X ^ { mu} (и)}$ описывает произвольную мировую линию массы, ${ displaystyle lambda ^ { mu} (u) = dX ^ { mu} (u) / du}$ тогда четырехскоростной массы, ${ Displaystyle sigma _ { mu} (х)}$ представляет собой «плоское метрическое» поле нуль-векторов, неявно определяемое уравнением. (20), и ${ Displaystyle и (х)}$ неявно расширяет параметр собственного времени до скалярного поля во всем пространстве-времени, рассматривая его как постоянный на исходящем световом конусе "плоской" метрики, которая возникает в результате события ${ Displaystyle X ^ { mu} (и),}$ и удовлетворяет тождеству ${ displaystyle lambda ^ { mu} (u (x)) , partial _ { mu} u (x) = 1.}$ Обработка тензора Эйнштейна для метрики ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ и интеграция исходящих поток энергии-импульса "на бесконечности" обнаруживается, что метрика ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ описывает массу с зависящей от собственного времени четырехимпульсный ${ Displaystyle Р ^ { му} = м (и) , лямбда ^ { му} (и)}$ который излучает net << link: 0 >> с надлежащей скоростью ${ displaystyle -dP ^ { mu} / du;}$ если смотреть из системы мгновенного покоя массы, поток излучения имеет угловое распределение ${ Displaystyle А (и) + В (и) , соз ( тета (и)),}$ куда ${ Displaystyle А (и)}$ и ${ Displaystyle В (и)}$ сложные скалярные функции от ${ Displaystyle м (и), лямбда ^ { му} (и), сигма _ { му} (и),}$ и их производные, и ${ Displaystyle тета (и)}$ представляет собой мгновенный угол системы покоя между 3-ускорением и исходящим нулевым вектором. Таким образом, метрику Киннерсли можно рассматривать как описание гравитационного поля ускоряющегося фотонная ракета с очень плохо сколлимированным выхлопом.

В частном случае, когда ${ displaystyle lambda ^ { mu}}$ не зависит от собственного времени, метрика Киннерсли сводится к метрике Вайдьи.

Метрика Вайдья-Боннера

Поскольку излучаемая или поглощенная материя может быть электрически не нейтральной, исходящие и входящие уравнения Вайдья-метрики (6) (7) могут быть естественным образом расширены, чтобы включать в себя различные электрические заряды,

${ displaystyle (18) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M (u)} {r}} + { frac {Q (u)} {r ^ {2 }}} { Big)} du ^ {2} -2dudr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ; ,}$

${ displaystyle (19) quad ds ^ {2} = - { Big (} 1 - { frac {2M (v)} {r}} + { frac {Q (v)} {r ^ {2 }}} { Big)} dv ^ {2} + 2dvdr + r ^ {2} (d theta ^ {2} + sin ^ {2} theta , d phi ^ {2}) ; .}$

Уравнения (18) (19) называются метриками Вайдьи-Боннера, и, по-видимому, их также можно рассматривать как расширение Метрика Рейсснера – Нордстрема, в отличие от соответствия между метриками Вайдьи и Шварцшильда.