Прыжок с переменным диапазоном - Variable-range hopping

Эта статья требует внимания специалиста по физике. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. ВикиПроект Физика может помочь нанять эксперта. (Октябрь 2008 г.)

Прыжок с переменным диапазоном модель, используемая для описания транспорта носителей в неупорядоченном полупроводнике или в аморфное твердое тело переходом в расширенный температурный диапазон.^[1] Он имеет характерную температурную зависимость

${displaystyle sigma = sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {eta}}}$

куда ${displaystyle eta}$ - параметр, зависящий от рассматриваемой модели.

Прыжок с переменным диапазоном Mott

В Мотт скачкообразное изменение диапазона описывает низкотемпературные проводимость в сильно неупорядоченных системах с локализованный состояния носителей заряда^[2] и имеет характерную температурную зависимость

${displaystyle sigma = sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1/4}}}$

для трехмерной проводимости (с ${displaystyle eta}$ = 1/4) и обобщается на d-размеры

${displaystyle sigma = sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1 / (d + 1)}}}$.

Прыжковая проводимость при низких температурах представляет большой интерес из-за экономии, которую могла бы получить полупроводниковая промышленность, если бы была возможность заменить монокристаллические устройства слоями стекла.^[3]

Вывод

В исходной статье Мотта вводилось упрощающее предположение, что энергия прыжка обратно пропорциональна кубу расстояния прыжка (в трехмерном случае). Позже было показано, что в этом предположении нет необходимости, и здесь мы следуем этому доказательству.^[4] В исходной статье было показано, что вероятность прыжка при данной температуре зависит от двух параметров: р пространственное разделение участков, и W, их энергетическое разделение. Апсли и Хьюз отметили, что в действительно аморфной системе эти переменные случайны и независимы и поэтому могут быть объединены в один параметр, классифицировать ${displaystyle extstyle {mathcal {R}}}$ между двумя сайтами, что определяет вероятность переключения между ними.

Мотт показал, что вероятность перескока между двумя состояниями пространственного разделения ${displaystyle extstyle R}$ и разделение энергии W имеет вид:

${displaystyle Psim exp left [-2alpha R- {frac {W} {kT}} ight]}$

где α⁻¹ - длина затухания водородоподобной локализованной волновой функции. Это предполагает, что переход в состояние с более высокой энергией является процессом ограничения скорости.

Теперь определим ${displaystyle extstyle {mathcal {R}} = 2alpha R + W / kT}$, то классифицировать между двумя государствами, поэтому ${displaystyle extstyle Psim exp (- {mathcal {R}})}$. Состояния можно рассматривать как точки в четырехмерном случайном массиве (три пространственные координаты и одна координата энергии), причем «расстояние» между ними определяется диапазоном ${displaystyle extstyle {mathcal {R}}}$.

Проводимость является результатом многих серий прыжков через этот четырехмерный массив, и, поскольку предпочтение отдается прыжкам на короткие расстояния, именно среднее «расстояние» между ближайшими соседями между состояниями определяет общую проводимость. Таким образом, проводимость имеет вид

${displaystyle sigma sim exp (- {overline {mathcal {R}}} _ {nn})}$

куда ${displaystyle extstyle {overline {mathcal {R}}} _ {nn}}$- средний диапазон ближайших соседей. Поэтому проблема состоит в том, чтобы рассчитать это количество.

Первый шаг - получить ${displaystyle extstyle {mathcal {N}} ({mathcal {R}})}$, общее количество состояний в диапазоне ${displaystyle extstyle {mathcal {R}}}$ некоторого начального состояния на уровне Ферми. За d-размерности, и при определенных предположениях оказывается

${displaystyle {mathcal {N}} ({mathcal {R}}) = K {mathcal {R}} ^ {d + 1}}$

куда ${displaystyle extstyle K = {frac {Npi kT} {3 раза 2 ^ {d} alpha ^ {d}}}}$Конкретные предположения заключаются в том, что ${displaystyle extstyle {overline {mathcal {R}}} _ {nn}}$ намного меньше ширины полосы и комфортно больше, чем межатомное расстояние.

Тогда вероятность того, что состояние с диапазоном ${displaystyle extstyle {mathcal {R}}}$ ближайший сосед в четырехмерном пространстве (или вообще (d+1) -мерное пространство) есть

${displaystyle P_ {nn} ({mathcal {R}}) = {frac {partial {mathcal {N}} ({mathcal {R}})} {partial {mathcal {R}}}} exp [- {mathcal { N}} ({mathcal {R}})]}$

распределение ближайших соседей.

Для d-мерный случай, то

${displaystyle {overline {mathcal {R}}} _ {nn} = int _ {0} ^ {infty} (d + 1) K {mathcal {R}} ^ {d + 1} exp (-K {mathcal { R}} ^ {d + 1}) d {mathcal {R}}}$.

Это можно оценить, сделав простую замену ${displaystyle extstyle t = K {mathcal {R}} ^ {d + 1}}$ в гамма-функция, ${displaystyle extstyle Gamma (z) = int _ {0} ^ {infty} t ^ {z-1} e ^ {- t}, mathrm {d} t}$

После некоторой алгебры это дает

${displaystyle {overline {mathcal {R}}} _ {nn} = {frac {Gamma ({frac {d + 2} {d + 1}})} {K ^ {frac {1} {d + 1}} }}}$

и, следовательно, что

${displaystyle sigma propto exp left (-T ^ {- {frac {1} {d + 1}}} ight)}$.

Непостоянная плотность состояний

Когда плотность состояний не является постоянным (закон нечетной степени N (E)), проводимость Мотта также восстанавливается, как показано на Эта статья.

Прыжковая перестройка Эфроса – Шкловского

В Эфрос – Шкловский (Е.С.) прыжки с переменным радиусом действия модель проводимости, которая учитывает Кулоновский зазор, небольшой скачок в плотность состояний недалеко от Уровень Ферми из-за взаимодействий между локализованными электронами.^[5] Он был назван в честь Алексей Л. Эфрос и Борис Шкловский который предложил это в 1975 году.^[5]

Учет кулоновской щели изменяет температурную зависимость на

${displaystyle sigma = sigma _ {0} e ^ {- (T_ {0} / T) ^ {1/2}}}$

для всех размеров (т.е. ${displaystyle eta}$ = 1/2).^[6][7]

Смотрите также

• Предел мобильности

Примечания