Кулоновский зазор - Coulomb gap

Впервые представил М. Поллак,^[1] то Кулоновский зазор мягкая щель в одночастичной плотность состояний (DOS) системы взаимодействующих локализованных электронов. Из-за дальнодействующих кулоновских взаимодействий одночастичная DOS исчезает при химическом потенциале при достаточно низких температурах, так что тепловые возбуждения не размывают зазор.

Теория

При нулевой температуре классический подход к системе дает оценку сверху для DOS вблизи Энергия Ферми, впервые предложенный Эфрос и Шкловский.^[2] Аргумент следующий: давайте посмотрим на основное состояние конфигурация системы. Определение ${ displaystyle E_ {i}}$ как энергия электрон на месте ${ displaystyle i}$, из-за беспорядка и кулоновского взаимодействия со всеми другими электронами (мы определяем это как для занятых, так и для незанятых узлов), легко видеть, что энергия, необходимая для перемещения электрона с занятого узла ${ displaystyle i}$ на незанятый сайт ${ displaystyle j}$ дается выражением:

${ displaystyle Delta E = E_ {j} -E_ {i} -e ^ {2} / r_ {ij}}$.

Вычитание последнего члена объясняет тот факт, что ${ displaystyle E_ {j}}$ содержит член из-за взаимодействия с электроном, присутствующим в узле ${ displaystyle i}$, но после перемещения электрона этот член не следует учитывать. Отсюда легко увидеть, что существует энергия ${ displaystyle E_ {f}}$ такие, что все узлы с энергиями выше нее пусты, а ниже полны (это энергия Ферми, но поскольку мы имеем дело с системой со взаимодействиями, априори не очевидно, что она все еще хорошо определена). у нас есть конечная одночастичная плотность состояний при энергии Ферми, ${ displaystyle g (E_ {f})}$. Для всевозможного переноса электрона с занятого узла ${ displaystyle i}$ на незанятый сайт ${ displaystyle j}$, вложенная энергия должна быть положительной, поскольку мы предполагаем, что находимся в основном состоянии системы, т. е. ${ displaystyle Delta E> = 0}$Предполагая, что у нас большая система, рассмотрим все узлы с энергиями в интервале ${ displaystyle [E_ {f} - epsilon, E_ {f} + epsilon].}$ Количество их, по предположению, равно ${ displaystyle N = 2 epsilon g (E_ {f}).}$ Как объяснялось, ${ displaystyle N / 2}$ из них будут заняты, а остальные - незанятыми. Из всех пар занятых и незанятых участков выберем ту, в которой они находятся ближе всего друг к другу. Если мы предположим, что сайты распределены в пространстве случайным образом, мы обнаружим, что расстояние между этими двумя сайтами порядка:${ Displaystyle R sim (N / V) ^ {- 1 / d}}$, где ${ displaystyle d}$ - это измерение пространства. Подставляя выражение для ${ displaystyle N}$ в предыдущее уравнение, получаем неравенство:${ displaystyle E_ {j} -E_ {i} -Ce ^ {2} ( epsilon g (E_ {f}) / V) ^ {1 / d}> 0}$ где ${ displaystyle C}$ - коэффициент порядка единицы. поскольку ${ displaystyle E_ {j} -E_ {i} <2 epsilon}$, это неравенство обязательно будет нарушено при достаточно малых ${ displaystyle epsilon}$. Следовательно, предполагая конечную DOS в ${ displaystyle E_ {f}}$ привело к противоречию. Повторяя приведенный выше расчет в предположении, что DOS рядом с ${ displaystyle E_ {f}}$ пропорционально ${ Displaystyle (Е-Е_ {е}) ^ { альфа}}$ показывает, что ${ Displaystyle альфа> = d-1}$. Это верхняя граница кулоновской щели. Эфрос^[3] рассмотрели одноэлектронные возбуждения и получили интегродифференциальное уравнение для DOS, показывающее, что кулоновская щель фактически соответствует приведенному выше уравнению (т.е. верхняя граница является жесткой границей).

Другие способы решения проблемы включают численный подход среднего поля,^[4] а также более современные методы лечения, такие как,^[5] также проверка предложенной выше верхней границы является жесткой границей. Также было выполнено много моделирования Монте-Карло,^[6][7] некоторые из них не согласны с приведенным выше результатом. Немногое работ посвящено квантовому аспекту проблемы.^[8]

Экспериментальные наблюдения

Прямое экспериментальное подтверждение наличия зазора было выполнено с помощью туннельных экспериментов, в которых исследовалась одночастичная DOS в двух и трех измерениях.^[9][10] Эксперименты ясно показали линейную щель в двух измерениях и параболическую щель в трёх измерениях. Еще одно экспериментальное следствие кулоновской щели обнаруживается в проводимости образцов в локализованном режиме. Существование щели в спектре возбуждений привело бы к в более низкой проводимости, чем предсказано Прыжок с переменным диапазоном Mott. Если использовать аналитическое выражение одночастичной ДОС в выводе Мотта, универсальный ${ displaystyle e ^ {- 1 / T ^ {1/2}}}$ зависимость получается для любого измерения.^[11] Ожидается, что наблюдение этого будет происходить при температуре ниже определенной, такой, что оптимальная энергия прыжка будет меньше ширины кулоновской щели. Переход от Мотта к так называемым прыжкам с переменным радиусом Эфроса – Шкловского экспериментально наблюдался для различных систем.^[12] Тем не менее строгого вывода формулы электропроводности Эфроса – Шкловского сделано не было, и в некоторых экспериментах ${ displaystyle e ^ {- 1 / T ^ { alpha}}}$ наблюдается поведение со значением ${ displaystyle alpha}$ что не согласуется ни с теориями Мотта, ни с теориями Эфроса – Шкловского.

Смотрите также

• Закон Кулона

использованная литература