Гипотеза воота - Vaught conjecture

В Гипотеза воота это догадка в математической области теория моделей первоначально предложенный Роберт Лоусон Воот в 1961 году. В нем говорится, что число счетных моделей полной теории первого порядка на счетном языке конечно или ℵ₀ или 2^ℵ₀. Морли показал, что число счетных моделей конечно или ℵ₀ или ℵ₁ или 2^ℵ₀, что решает гипотезу, кроме случая ℵ₁ модели, когда гипотеза континуума терпит неудачу. Для этого оставшегося случая Робин Найт (2002, 2007 ) анонсировал контрпример к гипотезе Воота и топологической гипотезе Воота. По состоянию на 2016 год контрпример не подтвержден.

Формулировка гипотезы

Позволять ${ displaystyle T}$ быть счетной полной теорией первого порядка с бесконечными моделями. Позволять ${ Displaystyle I (Т, альфа)}$ обозначают количество моделей Т мощности ${ displaystyle alpha}$ с точностью до изоморфизма спектр теории ${ displaystyle T}$ . Морли доказал, что если я(Т, ℵ₀) бесконечно, то должно быть ℵ₀ или ℵ₁ или мощность континуума. Гипотеза Воота - это утверждение, что это невозможно. ${ displaystyle aleph _ {0}$ . Гипотеза является тривиальным следствием гипотеза континуума; поэтому эта аксиома часто исключается при работе над гипотезой. В качестве альтернативы существует более точная форма гипотезы, согласно которой любая счетная полная Т с несчетным количеством исчисляемых моделей будет идеальный набор бесчисленных моделей (как указывает Джон Стил, в "О гипотезе Воота". Cabal Seminar 76–77 (Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976–77), стр. 193–208, Lecture Notes in Math., 689, Springer, Berlin, 1978, эта форма гипотезы Воута может быть снабжена оригинал).

Оригинальная рецептура

Первоначальная формулировка Воота была сформулирована не как предположение, а как проблема: Можно ли доказать без использования гипотезы континуума, что существует полная теория, имеющая ровно ℵ₁ неизоморфные счетные модели? Согласно результату Морли, упомянутому в начале, положительное решение гипотезы по существу соответствует отрицательному ответу на проблему Воота, как это было первоначально сформулировано.

Теорема воота

Воот доказал, что количество счетных моделей полной теории не может быть 2. Это может быть любое конечное число, кроме 2, например:
Любая полная теория с конечной моделью не имеет счетных моделей.
Теории с одной счетной моделью - это ω-категоричные теории. Их много, например теория бесконечного множества или теория плотного неограниченного полного порядка.
Ehrenfeucht привел следующий пример теории с тремя счетными моделями: в языке есть отношение ≥ и счетное число констант c₀, c₁, ... с аксиомами, утверждающими, что ≥ - плотный неограниченный полный порядок, и c₀< c₁<c₂... Три модели различаются в зависимости от того, является ли эта последовательность неограниченной, сходящейся или ограниченной, но не сходящейся.
Пример Эренфойхта можно изменить, чтобы получить теорию с любым конечным числом п ≥ 3 моделей путем добавления п - 2 одинарных отношения п_я к языку, с аксиомами, утверждающими, что для каждого Икс ровно один из п_я верно, значения у для которого п_я(у) истинно плотны, а п₁ верно для всех c_я. Затем модели, для которых последовательность элементов c_я сходиться к пределу c разделить на п - 2 случая в зависимости от того, для чего я Соотношение п_я(c) правда.
Идея доказательства теоремы Воота состоит в следующем. Если существует не более чем счетное количество счетных моделей, то существует самая маленькая: атомная модель, а самый крупный - насыщенная модель, которые различаются при наличии более одной модели. Если они разные, насыщенная модель должна реализовывать некоторые п-тип опущен атомарной моделью. Тогда можно показать, что атомная модель теории структур, реализующая это п-тип (в языке, расширяемом конечным числом констант) - это третья модель, не изоморфная ни атомарной, ни насыщенной модели. В приведенном выше примере с 3 моделями атомарная модель - это модель, в которой последовательность не ограничена, насыщенная модель - это модель, в которой последовательность не сходится, а пример типа, не реализованного атомарной моделью, - это элемент, больший, чем все элементы последовательности.
Топологическая гипотеза Воота

Топологическая гипотеза Воота - это утверждение, что всякий раз, когда польская группа действует непрерывно на Польское пространство, существует либо счетное количество орбит, либо континуум многих орбит. Топологическая гипотеза Воота является более общей, чем исходная гипотеза Воута: учитывая счетный язык, мы можем сформировать пространство всех структур натуральных чисел для этого языка. Если снабдить его топологией, генерируемой формулами первого порядка, то она будет известна из А. Грегорчик, А. Мостовский, К. Рылль-Нардзевски, «Определимость множеств моделей аксиоматических теорий» (Вестник Польской академии наук (серия Математика, Астрономия, Физика), т. 9 (1961), pp. 163–7), что полученное пространство является польским. Существует непрерывное действие бесконечной симметрической группы (совокупность всех перестановок натуральных чисел с топологией точечной сходимости), которое порождает отношение эквивалентности изоморфизма. Учитывая полную теорию первого порядка Т, множество структур, удовлетворяющих Т является минимальным замкнутым инвариантным множеством и, следовательно, сам по себе польский.
Смотрите также

Спектр теории
Теорема Морли о категоричности
Рекомендации

Найт, Р. У. (2002), Гипотеза Воота: контрпример, рукопись
Найт, Р. У. (2007), "Категории топологических пространств и рассеянные теории", Журнал формальной логики Нотр-Дам, 48 (1): 53–77, Дои:10.1305 / ndjfl / 1172787545, ISSN 0029-4527, МИСТЕР 2289897
Р. Воот, "Счетные модели полных теорий", Инфинитистические методы (Proc. Symp. Foundations Math., Варшава, 1959), Варшава / Pergamon Press (1961), стр. 303–321
Л. Харрингтон, М. Маккай, С. Шелах: Доказательство гипотезы Воота для ω-стабильных теорий, Israel J. Math., 49(1984), 259–280.
Маркер, Дэвид (2002), Теория моделей: введение, Тексты для выпускников по математике, 217, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98760-6, Zbl 1003.03034