Эффект Фойгта - Voigt effect

Схема полярного эффекта Керра, продольного эффекта Керра и эффекта Фойгта

В Эффект Фойгта представляет собой магнитооптическое явление, которое вращает и преобразует линейно поляризованный свет в оптически активную среду.^[1] В отличие от многих других магнитооптические эффекты такие как эффект Керра или Фарадея, которые линейно пропорциональны намагниченности (или приложенной магнитное поле для немагниченного материала) эффект Фойгта пропорционален квадрату намагниченности (или квадрату намагниченности магнитное поле ) и можно увидеть экспериментально при нормальном падении. В литературе есть несколько наименований этого эффекта: Эффект Коттона – Мутона (со ссылкой на французских ученых Эме Хлопок и Анри Мутон ), Эффект Фойгта (со ссылкой на немецкого ученого Вольдемар Фойгт ), и магнитно-линейное двулучепреломление. Это последнее наименование ближе в физическом смысле, где эффект Фойгта представляет собой магнитное поле. двулучепреломление материала с показателем преломления параллельно ( ${displaystyle n_ {parallel}}$ ) и перпендикулярно ${displaystyle (n_ {perp}})$ ) к вектору намагниченности или приложенному магнитному полю.

Для линейно поляризованной электромагнитной падающей волны ${displaystyle {vec {E_ {i}}} = {egin {pmatrix} cos eta sin eta 0end {pmatrix}} e ^ {- iomega (t-n_ {1} z / c)}}$ и плоскополяризованный образец ${displaystyle {vec {m}} = {egin {pmatrix} cos phi sin phi 0end {pmatrix}}}$ , выражение вращения в геометрии отражения имеет вид ${displaystyle delta eta}$ является :

{displaystyle delta eta _ {r} = {frac {2Delta n} {n_ {0} ^ {2} -1}} sin [2 (phi - eta)]}

а в геометрии трансмиссии:

{displaystyle quad delta eta _ {t} = {frac {B_ {1} + n_ {0} ^ {2} {Big [} {frac {2Lomega} {c}} (1 + n_ {0}) Q_ {i) } Q_ {r} + Q_ {r} ^ {2} -Q_ {i} ^ {2} {Большой]}} {n_ {0} (1 + n_ {0})}}}

,

куда ${displaystyle Delta n = {frac {n_ {parallel} -n_ {perp}} {2}}}$ - разность показателей преломления в зависимости от параметра Фойгта ${displaystyle Q = Q_ {i} + iQ_ {r}}$ (так же, как для эффекта Керра), ${displaystyle n_ {0}}$ показатели преломления материала и ${displaystyle B_ {1}}$ параметр, ответственный за эффект Фойгта, и поэтому пропорционален ${displaystyle M ^ {2}}$ или же ${displaystyle (mu _ {0} H) ^ {2}}$ в случае парамагнитного материала.

Подробный расчет и иллюстрация приведены в разделах ниже.

Теория

Каркас и система координат для вывода эффекта Фойгта.

{displaystyle {vec {E}} _ {i}}

,

{displaystyle {vec {E}} _ {r}}

и

{displaystyle {vec {E}} _ {t}}

относятся к падающему, отраженному и прошедшему электромагнитному полю.

Как и в случае с другими магнитооптическими эффектами, теория развивается стандартным образом с использованием эффективного тензора диэлектрической проницаемости, по которому вычисляются собственные значения и собственные векторы системы. Как обычно, из этого тензора магнитооптические явления описываются в основном недиагональными элементами.

Здесь рассматривается падающая поляризация, распространяющаяся в направлении z: ${displaystyle {vec {E_ {i}}} = {egin {pmatrix} cos eta sin eta 0end {pmatrix}} e ^ {- iomega (t-n_ {1} z / c)}}$ электрическое поле и однородно намагниченный в плоскости образец ${displaystyle {vec {m}} = {egin {pmatrix} cos phi sin phi 0end {pmatrix}}}$ куда ${displaystyle phi}$ отсчитывается от кристаллографического направления [100]. Цель состоит в том, чтобы рассчитать ${displaystyle {vec {E_ {r}}} = {egin {pmatrix} cos eta + delta eta sin eta + delta eta 0end {pmatrix}} e ^ {- iomega (t + n_ {1} z / c) }}$ куда ${displaystyle delta eta}$ - это вращение поляризации из-за связи света с намагниченностью. Заметим, что ${displaystyle delta eta}$ экспериментально небольшое количество порядка мрад. ${displaystyle {vec {m}}}$ - вектор приведенной намагниченности, определяемый формулой ${displaystyle {vec {m}} = {vec {M}} / M_ {s}}$ , ${displaystyle M_ {s}}$ намагниченность при насыщении. Мы подчеркнули, что именно из-за того, что вектор распространения света перпендикулярен плоскости намагниченности, можно увидеть эффект Фойгта.

Диэлектрический тензор

Следуя обозначениям Гильберта,^[2] обобщенный диэлектрический кубический тензор ${displaystyle epsilon _ {r}}$ принять следующую форму:

{displaystyle (1) qquad epsilon _ {r} = epsilon {egin {bmatrix} 1 & 0 & iQm_ {y} 0 & 1 & -iQm_ {x} - iQm_ {y} & iQm_ {x} & 1end {bmatrix}} + {egin {bmatrix} B_ {1} m_ {x} ^ {2} & B_ {2} m_ {x} m_ {y} & 0 B_ {2} m_ {x} m_ {y} & B_ {1} m_ {y} ^ {2} & 0 0 & 0 & B_ {1} m_ {z} ^ {2} конец {bmatrix}}}

куда ${displaystyle epsilon}$ - диэлектрическая проницаемость материала, ${displaystyle Q}$ параметр Фойгта, ${displaystyle B_ {1}}$ и ${displaystyle B_ {2}}$ две кубические константы, описывающие магнитооптический эффект в зависимости от ${displaystyle m_ {i} ^ {2}}$ . ${displaystyle m_ {i}}$ это сокращение ${displaystyle m_ {i} = M_ {i} / M_ {s}}$ . Расчет производится в сферическом приближении с ${displaystyle B_ {1} = B_ {2}}$ . В настоящий момент^{[когда? ]} нет никаких доказательств того, что это приближение неверно, поскольку эффект Фойгта наблюдается редко, поскольку он чрезвычайно мал по сравнению с эффектом Керра.

Собственные значения и собственные векторы

Для вычисления собственных значений и собственных векторов мы рассматриваем уравнение распространения, полученное из уравнений Максвелла, с условием ${displaystyle {vec {n}} = {vec {k}} c / omega}$ . :

{displaystyle (2) qquad n ^ {2} {vec {E}} - {vec {n}} ({vec {n}} cdot {vec {E}}) = epsilon {vec {E}}}

Когда намагниченность перпендикулярна волновому вектору распространения, в отличие от эффекта Керра, ${displaystyle {vec {E}}}$ может иметь все его три компонента, равные нулю, что значительно усложняет вычисления и делает уравнения Френельса недействительными. Способ упрощения задачи состоит в использовании вектора смещения электрического поля ${displaystyle {vec {D}} = epsilon {vec {E}}}$ . С ${displaystyle {vec {abla}} cdot {vec {D}} = 0}$ и ${displaystyle {vec {k}} parallel {vec {z}}}$ у нас есть ${displaystyle {vec {D}} = {egin {pmatrix} D_ {x} D_ {y} 0end {pmatrix}}}$ . Неудобно иметь дело с обратным тензором диэлектрической проницаемости, с которым может быть сложно работать. Здесь вычисления производятся в общем случае, который математически сложно обрабатывать, однако можно легко проследить демонстрацию, рассматривая ${displaystyle phi = 0}$ .

Собственные значения и собственные векторы находятся путем решения уравнения распространения на ${displaystyle {vec {D}}}$ что дает следующую систему уравнений:

{displaystyle (3) quad left {{egin {matrix} (epsilon _ {xx} ^ {- 1} - {frac {1} {n ^ {2}}}}) D_ {x} + epsilon _ {xy} ^ {-1} D_ {y} = 0 epsilon _ {yx} ^ {- 1} D_ {x} + (epsilon _ {yy} ^ {- 1} - {frac {1} {n ^ {2} }}) D_ {y} = 0end {matrix}} ight.}

куда

{displaystyle epsilon _ {ij} ^ {- 1}}

представляет собой обратное

{displaystyle ij}

элемент диэлектрического тензора

{displaystyle epsilon _ {r}}

, и

{displaystyle n ^ {2} = эпсилон}

. После прямого вычисления определителя системы необходимо выполнить развитие 2-го порядка в

{displaystyle Q}

и первый порядок

{displaystyle B_ {1}}

. Это привело к двум собственным значениям, соответствующим двум показателям преломления:

{displaystyle n_ {parallel} ^ {2} = epsilon + B_ {1}}

{displaystyle n_ {perp} ^ {2} = epsilon (1-Q ^ {2})}

Соответствующие собственные векторы для ${displaystyle {vec {D}}}$ и для ${displaystyle {vec {E}}}$ находятся :

{displaystyle (4) qquad {vec {D}} _ {parallel} = {egin {pmatrix} cos (phi) sin (phi) 0end {pmatrix}} qquad {vec {D}} _ {perp} = { egin {pmatrix} -sin (phi) cos (phi) 0end {pmatrix}} qquad {vec {E}} _ {parallel} = epsilon ^ {- 1} {vec {D}} _ {parallel} = { egin {pmatrix} {frac {cos (phi)} {B_ {1} + epsilon}} {frac {sin (phi)} {B_ {1} + epsilon}} 0end {pmatrix}} qquad {vec {E }} _ {perp} = epsilon ^ {- 1} {vec {D}} _ {perp} = {egin {pmatrix} {frac {sin (phi)} {(Q ^ {2} -1) epsilon}} {frac {cos (phi)} {(1-Q ^ {2}) эпсилон}} {frac {-iQ} {(1-Q ^ {2}) эпсилон}} конец {pmatrix}}}

Геометрия отражения

Отношение непрерывности

Зная собственные векторы и собственные значения внутри материала, нужно вычислить ${displaystyle {vec {E_ {r}}} = {egin {pmatrix} E_ {rx} E_ {ry} 0end {pmatrix}}}$ отраженный электромагнитный вектор обычно регистрируется в экспериментах. Воспользуемся уравнениями неразрывности для ${displaystyle {vec {E}}}$ и ${displaystyle {vec {H}}}$ куда ${displaystyle {vec {H}}}$ индукция определяется из Уравнения Максвелла к ${displaystyle {vec {abla}} imes {vec {H}} = {frac {1} {c}} {frac {partial {vec {D}}} {partial t}}}$ . Внутри среды электромагнитное поле раскладывается на производные собственные векторы ${displaystyle {vec {E}} _ {t} = alpha {vec {E}} _ {parallel} + eta {vec {E}} _ {perp}}$ . Система уравнений, которую необходимо решить:

{displaystyle (5) quad left {{egin {matrix} alpha {Big (} {frac {D_ {yparallel}}} {n_ {parallel}}} {Big)} + eta {Big (} {frac {D_ {yperp}) } {n_ {perp}}} {Big)} + E_ {ry} = E_ {0y} alpha {Big (} {frac {D_ {xparallel}} {n_ {parallel}}} {Big)} + eta {Big (} {frac {D_ {xperp}} {n_ {perp}}} {Big)} + E_ {rx} = E_ {0x} alpha E_ {xparallel} + eta E_ {xperp} -E_ {rx } = E_ {0x} alpha E_ {yparallel} + eta E_ {yperp} -E_ {ry} = E_ {0y} end {matrix}} ight.}

Решением этой системы уравнений являются:

{displaystyle (6) quad E_ {rx} = E_ {0} {frac {(1-n_ {perp} n_ {parallel}) cos (eta) + (n_ {perp} -n_ {parallel}) cos (eta - 2phi)} {(1 + n_ {параллельно}) (1 + n_ {perp})}}}

{displaystyle (7) quad E_ {ry} = E_ {0} {frac {(1-n_ {perp} n_ {parallel}) sin (eta) - (n_ {perp} -n_ {parallel}) sin (eta - 2phi)} {(1 + n_ {параллельно}) (1 + n_ {perp})}}}

Расчет угла поворота

Угол поворота ${displaystyle delta eta}$ и угол эллиптичности ${displaystyle psi}$ определяются из соотношения ${displaystyle chi = E_ {ry} / E_ {rx}}$ с двумя следующими формулами:

{displaystyle (8) quad an 2delta eta = {frac {2operatorname {Re} (chi)} {1- | chi | ^ {2}}} qquad (9) quad sin (2psi _ {K}) = {frac { 2operatorname {Im} (chi)} {1- | chi | ^ {2}}},}

куда ${displaystyle operatorname {Re} (chi)}$ и ${displaystyle operatorname {Im} (chi)}$ представляют реальную и мнимую часть ${displaystyle chi}$ . Используя два ранее рассчитанных компонента, получаем:

{displaystyle (10) qquad chi = {гидроразрыв {(B_ {1} + n_ {0} ^ {2} Q ^ {2})} {2n_ {0} (n_ {0} ^ {2} -1)} } {frac {sin [2 (phi - eta)]} {cos (eta) ^ {2}}} + an (eta).}

Это дает для вращения Фойгта:

{displaystyle (11) qquad delta eta = operatorname {Re} left [{frac {B_ {1} + n_ {0} ^ {2} Q ^ {2}} {2n_ {0} (n_ {0} ^ {2 } -1)}} ight] sin [2 (phi - eta)],}

который также можно переписать в случае

{displaystyle B_ {1}}

,

{displaystyle n_ {0}}

и

{displaystyle Q}

настоящий:

{displaystyle (12) quad delta eta = {frac {2Delta n} {n_ {0} ^ {2} -1}} sin [2 (phi - eta)],}

куда

{displaystyle Delta n = {frac {n_ {parallel} -n_ {perp}} {2}}}

- разница показателей преломления. Следовательно, получается нечто пропорциональное

{displaystyle Delta n}

и который зависит от падающей линейной поляризации. Для правильного

{displaystyle phi - eta}

вращения Фойгта не наблюдается.

{displaystyle Delta n}

пропорциональна квадрату намагниченности, поскольку

{displaystyle B_ {1} propto M_ {s} ^ {2}}

и

{displaystyle Qpropto M_ {s}}

.

Геометрия трансмиссии

Расчет вращения эффекта Фойгта при прохождении в принципе эквивалентен вычислению эффекта Фарадея. На практике эта конфигурация обычно не используется для ферромагнитных образцов, поскольку длина поглощения в материалах такого типа мала. Однако использование геометрии пропускания более распространено для парамагнитных жидкостей или кристаллов, где свет может легко проходить внутри материала.

Расчет для парамагнитного материала точно такой же, как и для ферромагнитного, за исключением того, что намагниченность заменяется полем ${displaystyle mu _ {0} {vec {H}} = mu _ {0} H_ {0} {egin {pmatrix} cos phi sin phi end {pmatrix}}}$ ( ${displaystyle H_ {0}}$ в ${displaystyle A / m}$ или же ${displaystyle G}$ ). Для удобства поле будет добавлено в конце расчета в магнитооптические параметры.

Рассмотрим передаваемые электромагнитные волны ${displaystyle {vec {E}} _ {t}}$ распространяющиеся в среде длиной L. Из уравнения (5) получаем для ${displaystyle alpha}$ и ${displaystyle eta}$ :

{displaystyle alpha = {frac {2E_ {0} n_ {parallel} cos (heta -phi)} {1 + n_ {parallel}}}}

{displaystyle eta = {frac {2E_ {0} n_ {perp} ^ {2} sin (heta -phi)} {n_ {perp} +1}}}

В позиции z = L выражение

{displaystyle {vec {E}} _ {t}}

является :

{displaystyle (13) quad {vec {E}} _ {t} = e ^ {- iomega [t + {frac {(n_ {parallel} + n_ {perp}) L} {2c}}]} {Big [} alpha {vec {E}} _ {parallel} e ^ {i {frac {omega Delta nL} {c}}} + eta {vec {E}} _ {perp} e ^ {- i {frac {omega Delta nL } {c}}} {Большой]}}

куда

{displaystyle {vec {E}} _ {parallel}}

и

{displaystyle {vec {E}} _ {perp}}

- собственные векторы, вычисленные ранее, и

{displaystyle Delta n = {frac {n_ {parallel} -n_ {perp}} {2}}}

- разница двух показателей преломления. Затем вращение рассчитывается из соотношения

{displaystyle chi = {frac {E_ {t_ {y}}} {E_ {t_ {x}}}}}

, с развитием в первую очередь в

{displaystyle B_ {1}}

и второй порядок в

{displaystyle Q}

. Это дает :

{displaystyle (14) quad chi = {frac {ci ~ omega L (1 + n_ {0}) (B_ {1} + n_ {0} Q ^ {2}) sin [2 (eta -phi)]} { 4cn_ {0} (1 + n_ {0}) cos ^ {2} (eta)}} = {frac {ci ~ omega L (1 + n_ {0}) Delta nsin [2 (eta -phi)]} { c ~ (1 + n_ {0}) cos ^ {2} (eta)}}}

Опять получаем нечто пропорциональное ${displaystyle Delta n}$ и ${displaystyle L}$ , длина распространения света. Заметим, что ${displaystyle Delta n}$ пропорционально ${displaystyle (mu _ {0} H_ {0}) ^ {2}}$ таким же образом в отношении геометрии в отражении для намагничивания. Чтобы извлечь вращение Фойгта, мы рассматриваем ${displaystyle n_ {0} = eta + i ~ kappa}$ , ${displaystyle Q = Q_ {r} + i ~ Q_ {i}}$ и ${displaystyle B_ {1}}$ настоящий. Затем необходимо вычислить действительную часть (14). Полученное выражение затем вставляется в (8). В приближении отсутствия поглощения для вращения Фойгта в геометрии передачи получаем:

{displaystyle (15) quad delta eta = (mu _ {0} H) ^ {2} {frac {B_ {1} + n_ {0} ^ {2} {Big [} {frac {2Lomega} {c}}] (1 + n_ {0}) Q_ {i} Q_ {r} + Q_ {r} ^ {2} -Q_ {i} ^ {2} {Big]}} {n_ {0} (1 + n_ {0 })}}}

Иллюстрация эффекта Фойгта в GaMnAs

Рис. 1: а) Экспериментальный цикл гистерезиса на плоском образце (Ga, Mn) As. Б) Цикл гистерезиса Фойгта, полученный путем извлечения симметричной части (а). в) Продольный Керр, полученный путем выделения асимметричной части (а)

Рис. 2: a) Механизм переключения образца в плоскости (Ga, Mn) As для магнитного поля, приложенного вдоль оси [1-10] при 12 К. b) Сигнал Фойгта, смоделированный из механизма, показанного на a)

В качестве иллюстрации применения эффекта Фойгта мы приводим пример в магнитном полупроводнике (Ga, Mn) As, где наблюдался большой эффект Фойгта.^[3] При низких температурах (в общем для ${displaystyle T <{frac {T_ {c}} {2}}}$ ) для материала с намагниченностью в плоскости (Ga, Mn) As проявляет двухосную анизотропию с намагниченностью, ориентированной вдоль (или близкой к) направлениям <100>.

Типичный цикл гистерезиса, содержащий эффект Фойгта, показан на рисунке 1. Этот цикл был получен путем посылки линейно поляризованного света вдоль направления [110] с углом падения приблизительно 3 ° (более подробную информацию можно найти в ^[4]), и измерение вращения за счет магнитооптических эффектов отраженного светового луча. В отличие от обычного продольного / полярного эффекта Керра, цикл гистерезиса является четным по отношению к намагниченности, что является признаком эффекта Фойгта. Этот цикл был получен при падении света, очень близком к нормальному, и он также имеет небольшую странную часть; необходимо провести правильную обработку, чтобы выделить симметричную часть гистерезиса, соответствующую эффекту Фойгта, и асимметричную часть, соответствующую продольному эффекту Керра.

В случае гистерезиса, представленного здесь, поле прикладывалось вдоль направления [1-10]. Механизм переключения следующий:

Мы начинаем с сильного отрицательного поля, и намагниченность близка к направлению [-1-10] в позиции 1.
Магнитное поле уменьшается, что приводит к когерентному вращению намагниченности от 1 до 2
При положительном поле намагниченность резко переключается с 2 на 3 за счет зарождения и распространения магнитных доменов, давая первое коэрцитивное поле, названное здесь ${displaystyle H_ {1}}$
Намагниченность остается близкой к состоянию 3, когерентно вращаясь к состоянию 4, ближе от направления приложенного поля.
Снова намагниченность резко переключается с 4 на 5 за счет зарождения и распространения магнитных доменов. Это переключение связано с тем, что конечное положение равновесия ближе к состоянию 5 по отношению к состоянию 4 (и поэтому его магнитная энергия ниже). Это дает еще одно принудительное поле с именем ${displaystyle H_ {2}}$
Наконец, намагниченность когерентно вращается из состояния 5 в состояние 6.

Моделирование этого сценария показано на рисунке 2, где

{displaystyle operatorname {Re} left [{frac {B_ {1} + n_ {0} ^ {2} Q ^ {2}} {2n_ {0} (n_ {0} ^ {2} -1)}} ight ] P_ {ext {Voigt}} = 0,5, mathrm {мрад}}

.

Как видно, смоделированный гистерезис качественно не отличается от экспериментального. Обратите внимание, что амплитуда при ${displaystyle H_ {1}}$ или же ${displaystyle H_ {2}}$ примерно вдвое больше ${displaystyle P_ {ext {Voigt}}}$

Смотрите также

дальнейшее чтение

Чжао, Чжун-Цюань. Атомарные линейные фильтры возбужденного состояния. Проверено 26 марта 2006 года.

[1] Звездин, Анатолий Константинович (1997), Taylor & Francis Group (ред.), Современная магнитооптика и магнитооптические материалы: исследования в конденсированных средах, ISBN 978-0-7503-03620.

[2] Хуберт, Алекс (1998), Springer (редактор), Магнитные домены, ISBN 978-3-540-85054-0.

[3] Кимел (2005). «Наблюдение гигантского магнитного линейного дихроизма в (Ga, Mn) As». Письма с физическими проверками. 94 (22): 227203. Bibcode:2005PhRvL..94v7203K. Дои:10.1103 / Physrevlett.94.227203. HDL:2066/32798. PMID 16090433..

[4] Шихаб (2015). «Систематическое исследование зависимости спиновой жесткости от легирования фосфором в (Ga, Mn) As ферромагнитный полупроводник» (PDF). Письма по прикладной физике. 106 (14): 142408. Bibcode:2015АпФЛ.106н2408С. Дои:10.1063/1.4917423..

[1]

[2]

[3]

[4]

Эффект Фойгта - Voigt effect

Содержание

Теория

Диэлектрический тензор

Собственные значения и собственные векторы

Геометрия отражения

Отношение непрерывности

Расчет угла поворота

Геометрия трансмиссии

Иллюстрация эффекта Фойгта в GaMnAs

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение