Двулучепреломление - Birefringence

А кальцит кристалл на миллиметровой бумаге с синими линиями, показывающими двойное лучепреломление

Флуоресценция в кристалле кальцита и двойное лучепреломление при расщеплении лазерного луча надвое при движении слева направо

Двулучепреломление это оптический свойство материала, имеющего показатель преломления это зависит от поляризация и направление распространения свет.^[1] Эти оптически анизотропный материалы, как говорят, двулучепреломляющий (или двулучепреломляющий). Двулучепреломление часто количественно определяют как максимальную разницу между показателями преломления материала. Кристаллы с некубической кристаллические структуры часто двулучепреломляющие, как и пластмассы под механическое напряжение.

Двулучепреломление отвечает за явление двойное лучепреломление посредством чего луч При падении на двулучепреломляющий материал световой поток разделяется поляризацией на два луча, идущих несколько разными путями. Впервые этот эффект описал датский ученый. Расмус Бартолин в 1669 году, наблюдавший это^[2] в кальцит, кристалл с одним из самых сильных двулучепреломлений. Однако только в 19 веке Огюстен-Жан Френель описал явление в терминах поляризации, понимая свет как волну с компонентами поля в поперечной поляризации (перпендикулярной направлению волнового вектора).

Объяснение

Входящий свет параллельно (

п

) поляризация видит другую эффективную показатель преломления чем свет в перпендикуляре (

s

) поляризации и, таким образом, преломленный под другим углом.

Изображение с двойным преломлением, видимое через кристалл кальцита, видимое через вращающийся поляризационный фильтр, иллюстрирующее противоположные состояния поляризации двух изображений.

Представлено математическое описание распространения волн в двулучепреломляющей среде. ниже. Ниже приводится качественное объяснение явления.

Одноосные материалы

Самый простой тип двулучепреломления описывается как одноосный, что означает, что существует одно направление, управляющее оптической анизотропией, тогда как все направления, перпендикулярные ему (или под заданным углом к нему), оптически эквивалентны. Таким образом, вращение материала вокруг этой оси не меняет его оптических свойств. Это особое направление известно как оптическая ось материала. Свет распространяется параллельно оптической оси (поляризация всегда перпендикуляр к оптической оси) определяется показателем преломления $п о$ (для «обычного») независимо от его конкретной поляризации. Для лучей с любым другим направлением распространения существует одна линейная поляризация, перпендикулярная оптической оси, и луч с такой поляризацией называется обыкновенный луч и регулируется тем же значением показателя преломления $п о$ . Однако для луча, распространяющегося в том же направлении, но с поляризацией, перпендикулярной поляризации обычного луча, направление поляризации будет частично совпадать с направлением оптической оси, и это необыкновенный луч будет управляться другим, зависимый от направления показатель преломления. Поскольку показатель преломления зависит от поляризации, когда неполяризованный свет входит в одноосный двулучепреломляющий материал, он разделяется на два луча, движущихся в разных направлениях, один из которых имеет поляризацию обычного луча, а другой - поляризацию необычного луча. всегда будет иметь показатель преломления $п о$ , тогда как показатель преломления необыкновенного луча будет между $п о$ и $п е$ , в зависимости от направления луча, как описано индексный эллипсоид. Величина разницы количественно определяется двойным лучепреломлением:^{[требуется проверка ]}

{ displaystyle Delta n = n _ { mathrm {e}} -n _ { mathrm {o}} ,.}

Размножение (а также коэффициент отражения ) обыкновенного луча просто описывается выражением $п о$ как если бы здесь не было двойного лучепреломления. Однако необычный луч, как следует из названия, распространяется в отличие от любой волны в изотропном оптическом материале. Его преломление (и отражение) от поверхности можно понять, используя эффективный показатель преломления (значение между $п о$ и $п е$ ). Однако его поток мощности (определяемый Вектор Пойнтинга ) не совсем в направлении волновой вектор. Это вызывает дополнительный сдвиг в этом луче, даже если он запущен при нормальном падении, что обычно наблюдается при использовании кристалла кальцит как на фото выше. Вращение кристалла кальцита заставит одно из двух изображений, изображение необычного луча, слегка повернуться вокруг изображения обычного луча, которое остается неизменным.^{[требуется проверка ]}

Когда свет распространяется либо вдоль оптической оси, либо перпендикулярно ей, такого бокового смещения не происходит. В первом случае обе поляризации перпендикулярны оптической оси и имеют один и тот же эффективный показатель преломления, поэтому необычный луч отсутствует. Во втором случае необыкновенный луч распространяется с другой фазовой скоростью (соответствующей $п е$ ), но по-прежнему имеет поток мощности в направлении волновой вектор. Кристалл с его оптической осью в этой ориентации, параллельной оптической поверхности, может быть использован для создания волновая пластина, в котором отсутствует искажение изображения, а происходит преднамеренное изменение состояния поляризации падающей волны. Например, четвертьволновая пластинка обычно используется для создания круговая поляризация от линейно поляризованного источника.

Биаксиальные материалы

Существенно сложнее случай так называемых двухосных кристаллов.^[3] Они характеризуются три показатели преломления, соответствующие трем главным осям кристалла. Для большинства направлений лучей обе поляризации можно было бы классифицировать как необычные лучи, но с разными эффективными показателями преломления. Однако, поскольку это необычные волны, направление потока мощности не идентично направлению волнового вектора в любом случае.

Два показателя преломления можно определить с помощью индексные эллипсоиды для заданных направлений поляризации. Обратите внимание, что для двухосных кристаллов эллипсоид индекса будет нет быть эллипсоидом вращения ("сфероид "), но описывается тремя неравными основными показателями преломления $п α$ , $п β$ и $п γ$ . Таким образом, не существует оси, вокруг которой вращение оставляет неизменными оптические свойства (как в случае одноосных кристаллов, эллипсоид показателей которых является сфероид).

Хотя оси симметрии нет, есть два оптические оси или бинарные нормы которые определяются как направления, вдоль которых свет может распространяться без двойного лучепреломления, то есть направления, вдоль которых длина волны не зависит от поляризации.^[3] По этой причине материалы с двойным лучепреломлением с тремя различными показателями преломления называются двухосный. Кроме того, есть две различные оси, известные как оси оптических лучей или двулучевые вдоль которого групповая скорость света не зависит от поляризации.

Двойное лучепреломление

Когда произвольный луч света попадает на поверхность двулучепреломляющего материала, поляризации, соответствующие обыкновенным и необыкновенным лучам, обычно имеют несколько разные пути. Неполяризованный свет состоит из равных количеств энергии в любых двух ортогональных поляризациях, и даже поляризованный свет (за исключением особых случаев) будет иметь некоторую энергию в каждой из этих поляризаций. Согласно с Закон Снеллиуса преломления, угол преломления будет регулироваться эффективным показатель преломления которое отличается между этими двумя поляризациями. Это хорошо видно, например, в Призма Волластона который предназначен для разделения падающего света на две линейные поляризации с использованием двулучепреломляющего материала, такого как кальцит.

Различные углы преломления для двух составляющих поляризации показаны на рисунке вверху страницы, при этом оптическая ось расположена вдоль поверхности (и перпендикулярно плоскости поляризации). плоскость падения ), так что угол преломления у $п$ поляризация (в данном случае "обыкновенный луч", электрический вектор которого перпендикулярен оптической оси) и $s$ поляризация («необыкновенный луч» с поляризационной составляющей вдоль оптической оси). Кроме того, отчетливая форма двойного лучепреломления возникает в тех случаях, когда оптическая ось не проходит вдоль преломляющей поверхности (и не точно перпендикулярна ей); в этом случае diэлектрическая поляризация двойного лучепреломляющего материала не точно в направлении волны электрическое поле для необыкновенного луча. Направление потока мощности (задается Вектор Пойнтинга ) за это неоднородная волна находится под конечным углом к направлению волновой вектор что приводит к дополнительному разделению между этими балками. Таким образом, даже в случае нормального падения, когда угол преломления равен нулю (согласно закону Снеллиуса, независимо от эффективного показателя преломления), энергия необыкновенного луча может распространяться под углом. Обычно это наблюдается при использовании куска кальцита, отрезанного соответствующим образом относительно его оптической оси, помещенного над бумагой с надписью, как на двух фотографиях выше.

Терминология

Сравнение положительного и отрицательного двулучепреломления. При отрицательном двулучепреломлении (1) поляризация, параллельная (p) оптической оси A, является быстрым лучом (F), а перпендикулярная поляризация (s) - медленным лучом (S). При положительном двулучепреломлении (2) все наоборот.

Большая часть работ, связанных с поляризацией, предшествовала пониманию света как поперечного электромагнитная волна, и это повлияло на некоторую используемую терминологию. Изотропные материалы обладают симметрией во всех направлениях, а показатель преломления одинаков для любого направления поляризации. Анизотропный материал называется «двулучепреломляющим», потому что он обычно преломляет один входящий луч в двух направлениях, которые, как мы теперь понимаем, соответствуют двум разным поляризациям. Это верно как для одноосного, так и для двухосного материала.

В одноосном материале один луч ведет себя согласно нормальному закону преломления (соответствующему обычному показателю преломления), поэтому падающий луч при нормальном падении остается нормальным к преломляющей поверхности. Однако, как объяснялось выше, другая поляризация может отклоняться от нормального падения, что не может быть описано с помощью закона преломления. Таким образом, это стало известно как необыкновенный луч. Термины «обычный» и «необычный» по-прежнему применяются к компонентам поляризации, перпендикулярным и не перпендикулярным оптической оси соответственно, даже в тех случаях, когда отсутствует двойное лучепреломление.

Материал называется одноосный когда он имеет единственное направление симметрии в своем оптическом поведении, которое мы называем оптической осью. Это также оказывается осью симметрии эллипсоида индекса (в данном случае сфероида). Эллипсоид показателей все еще можно описать с помощью показателей преломления, $п α$ , $п β$ и $п γ$ , по трем координатным осям, но в данном случае две равны. Так что если $п α = п β$ соответствующий $Икс$ и $у$ осей, то экстраординарный индекс $п γ$ соответствующий $z$ ось, которую также называют оптическая ось в таком случае.

Однако материалы, у которых все три показателя преломления различны, называются двухосный и происхождение этого термина более сложное и часто неправильно понимаемое. В одноосном кристалле разные поляризационные компоненты луча будут двигаться с разными фазовыми скоростями, Кроме для лучей в направлении того, что мы называем оптической осью. Таким образом, оптическая ось имеет особое свойство: лучи в этом направлении нет проявляют двойное лучепреломление, причем все поляризации в таком пучке имеют одинаковый показатель преломления. Совсем другое дело, когда все три основных показателя преломления различны; тогда входящий луч в любом из этих основных направлений по-прежнему будет иметь два разных показателя преломления. Но оказывается, что есть два особых направления (под углом ко всем трем осям), где показатели преломления для разных поляризаций снова равны. По этой причине эти кристаллы были обозначены как двухосный, причем две «оси» в данном случае относятся к направлениям лучей, в которых при распространении не наблюдается двойного лучепреломления.

Быстрые и медленные лучи

В материале с двойным лучепреломлением волна состоит из двух компонентов поляризации, которые обычно определяются различными эффективными показателями преломления. Так называемое медленный луч компонент, для которого материал имеет более высокий эффективный показатель преломления (более низкую фазовую скорость), а быстрый луч тот, у которого более низкий эффективный показатель преломления. Когда луч падает на такой материал из воздуха (или любого материала с более низким показателем преломления), медленный луч, таким образом, преломляется больше к нормали, чем быстрый луч. На рисунке вверху страницы видно, что преломленный луч с s поляризация (с его электрическими колебаниями в направлении оптической оси, таким образом необыкновенный луч^[4]) - в этом случае медленный луч.

Используя тонкую пластину этого материала при нормальном падении, можно реализовать волновая пластина. В этом случае по существу отсутствует пространственное разделение между поляризациями, однако фаза волны в параллельной поляризации (медленный луч) будет запаздывать по отношению к перпендикулярной поляризации. Таким образом, эти направления известны как медленная ось и быстрая ось волновой пластины.

Положительным или отрицательным

Одноосное двулучепреломление классифицируется как положительное, если необычный показатель преломления $п е$ больше обычного индекса $п о$ . Отрицательное двулучепреломление означает, что $Δ п = п е - п о$ меньше нуля.^[5] Другими словами, поляризация быстрой (или медленной) волны перпендикулярна оптической оси, когда двулучепреломление кристалла положительно (или отрицательно соответственно). В случае двухосных кристаллов все три главные оси имеют разные показатели преломления, поэтому это обозначение не применяется. Но для любого заданного направления луча можно точно так же обозначить быструю и медленную поляризацию луча.

Источники оптического двулучепреломления

Хотя двулучепреломление обычно достигается с помощью анизотропного кристалла, оно может быть результатом оптически изотропный материал несколькими способами:

Двойное лучепреломление при напряжении возникает, когда изотропные материалы подвергаются напряжению или деформации (т.е. растягиваются или изгибаются), вызывая потерю физической изотропии и, следовательно, потерю изотропии в тензоре диэлектрической проницаемости материала.
Круговое двойное лучепреломление в жидкостях, где есть энантиомерный избыток в растворе, содержащем молекулу, имеющую стереоизомеры.
Формируют двойное лучепреломление, при котором элементы конструкции, такие как стержни, имеющие один показатель преломления, подвешиваются в среде с другим показателем преломления. Когда шаг решетки намного меньше длины волны, такая структура описывается как метаматериал.
Посредством Эффект Керра, посредством чего приложенное электрическое поле вызывает двойное лучепреломление на оптических частотах за счет эффекта нелинейная оптика;
Посредством Эффект Фарадея, где магнитное поле заставляет некоторые материалы становиться круговое двулучепреломляющее (с немного разными показателями преломления для левшей и правшей круговые поляризации ), делая материал оптически активный пока поле не будет удалено;
Самостоятельным или принудительным выравниванием в тонкие пленки амфифильный молекулы, такие как липиды, немного поверхностно-активные вещества или жидкие кристаллы

Общие двулучепреломляющие материалы

Поляризация света отображается на столовых приборах из прозрачного полистирола между скрещенными поляризаторами

Двулучепреломляющие материалы с лучшими характеристиками: кристаллы. В силу их специфики кристаллические структуры их показатели преломления хорошо определены. В зависимости от симметрии кристаллической структуры (определяемой одним из 32 возможных кристаллографические точечные группы ), кристаллы в этой группе могут быть изотропными (не двулучепреломляющими), иметь одноосную симметрию или ни в коем случае, в этом случае это двухосный кристалл. Кристаллические структуры, допускающие одноосное и двухосное двойное лучепреломление, указаны в двух таблицах ниже, в которых перечислены два или три основных показателя преломления (при длине волны 590 нм) некоторых более известных кристаллов.^[6]

Много пластмассы обладают двойным лучепреломлением, потому что их молекулы «заморожены» в растянутой форме при формовании или экструзии пластика.^[7] Например, обычные целлофан двулучепреломляющее. Поляризаторы обычно используются для обнаружения напряжения в пластмассах, таких как полистирол и поликарбонат.

Хлопок волокно обладает двойным лучепреломлением из-за высокого содержания целлюлозного материала во вторичной клеточной стенке волокна.

Микроскопия в поляризованном свете обычно используется в биологических тканях, поскольку многие биологические материалы обладают двойным лучепреломлением. Коллаген, обнаруженный в хрящах, сухожилиях, костях, роговице и некоторых других областях тела, обладает двойным лучепреломлением и обычно исследуется с помощью микроскопии в поляризованном свете.^[8] Некоторые белки также обладают двойным лучепреломлением, проявляя двойное лучепреломление.^[9]

Неизбежные производственные дефекты в оптоволокно приводит к двойному лучепреломлению, которое является одной из причин уширение импульса в волоконно-оптическая связь. Такие дефекты могут быть геометрическими (отсутствие круговой симметрии) из-за напряжения, приложенного к оптическому волокну, и / или из-за изгиба волокна. Двулучепреломление намеренно введены (например, сделав поперечное сечение эллиптическим), чтобы получить оптические волокна с сохранением поляризации.

Помимо анизотропии электрической поляризуемости (электрическая восприимчивость ), анизотропия магнитной поляризуемости (магнитная проницаемость ) также может вызывать двойное лучепреломление. Однако на оптических частотах значения магнитной проницаемости для природных материалов существенно не отличаются от $µ 0$ , поэтому на практике это не является источником оптического двулучепреломления.

Одноосные кристаллы, при 590 нм^[6]
Материал	Кристаллическая система	$п о$	$п е$	$Δ п$
борат бария BaB₂О₄	Тригональный	1.6776	1.5534	−0.1242
берилл Быть₃Al₂(SiO₃)₆	Шестиугольный	1.602	1.557	−0.045
кальцит CaCO₃	Тригональный	1.658	1.486	−0.172
лед ЧАС₂О	Шестиугольный	1.3090	1.3104	+0.0014^[10]
ниобат лития LiNbO₃	Тригональный	2.272	2.187	−0.085
фторид магния MgF₂	Тетрагональный	1.380	1.385	+0.006
кварц SiO₂	Тригональный	1.544	1.553	+0.009
Рубин Al₂О₃	Тригональный	1.770	1.762	−0.008
рутил TiO₂	Тетрагональный	2.616	2.903	+0.287
сапфир Al₂О₃	Тригональный	1.768	1.760	−0.008
Карбид кремния SiC	Шестиугольный	2.647	2.693	+0.046
турмалин (сложный силикат)	Тригональный	1.669	1.638	−0.031
циркон, высокий ZrSiO₄	Тетрагональный	1.960	2.015	+0.055
циркон, с низким содержанием ZrSiO₄	Тетрагональный	1.920	1.967	+0.047

Двухосные кристаллы, при 590 нм^[6]
Материал	Кристаллическая система	$п α$	$п β$	$п γ$
бура Na₂(B₄О₅)(ОЙ)₄· 8H₂О	Моноклиника	1.447	1.469	1.472
эпсомская соль MgSO₄· 7H₂О	Моноклиника	1.433	1.455	1.461
слюда, биотит К (Mg, Fe)₃(AlSi₃О₁₀) (F, OH)₂	Моноклиника	1.595	1.640	1.640
слюда москвич KAl₂(AlSi₃О₁₀) (F, OH)₂	Моноклиника	1.563	1.596	1.601
оливин (Mg, Fe)₂SiO₄	Орторомбический	1.640	1.660	1.680
перовскит CaTiO₃	Орторомбический	2.300	2.340	2.380
топаз Al₂SiO₄(F, OH)₂	Орторомбический	1.618	1.620	1.627
улексит NaCaB₅О₆(ОЙ)₆· 5H₂О	Триклиник	1.490	1.510	1.520

Измерение

Двулучепреломление и другие оптические эффекты, основанные на поляризации (например, оптическое вращение и линейный или круговой дихроизм ) можно измерить, измерив изменения поляризации света, проходящего через материал. Эти измерения известны как поляриметрия. Поляризованные световые микроскопы, которые содержат два поляризатора, которые расположены под углом 90 ° друг к другу по обе стороны от образца, используются для визуализации двойного лучепреломления. Добавление четвертьволновых пластинок позволяет исследовать свет с круговой поляризацией. Измерения двойного лучепреломления были выполнены с помощью систем с фазовой модуляцией для исследования переходного режима потока текучих сред.^[11]^[12]

Двулучепреломление липидные бислои можно измерить с помощью двухполяризационная интерферометрия. Это обеспечивает меру степени порядка внутри этих жидких слоев и того, как этот порядок нарушается, когда слой взаимодействует с другими биомолекулами.

Приложения

Световозвращающий скрученный нематик жидкокристаллический экран. Свет, отраженный от поверхности (6) (или исходящий от подсветка ) имеет горизонтальную поляризацию (5) и проходит через жидкокристаллический модулятор (3), зажатый между прозрачными слоями (2, 4), содержащими электроды. Горизонтально поляризованный свет блокируется вертикально ориентированным поляризатором (1), за исключением тех случаев, когда его поляризация была повернута жидким кристаллом (3), и наблюдателю он казался ярким.

Двулучепреломление используется во многих оптических устройствах. Жидкокристаллические дисплеи, самый распространенный вид плоский дисплей, заставляют их пиксели становиться светлее или темнее за счет вращения поляризации (круговое двойное лучепреломление) линейно поляризованного света, если смотреть через листовой поляризатор на поверхности экрана. Так же, модуляторы света модулировать интенсивность света через электрически индуцированное двойное лучепреломление поляризованного света с последующим поляризатором. В Фильтр Лио представляет собой специализированный узкополосный спектральный фильтр, использующий зависимость двулучепреломления от длины волны. Волновые пластины представляют собой тонкие листы с двойным лучепреломлением, широко используемые в определенном оптическом оборудовании для изменения состояния поляризации проходящего через него света.

Двулучепреломление также играет важную роль в генерация второй гармоники и другие нелинейные оптические компоненты, поскольку кристаллы, используемые для этой цели, почти всегда обладают двойным лучепреломлением. Регулируя угол падения, можно настроить эффективный показатель преломления необыкновенного луча для достижения фазовое согласование, что необходимо для эффективной работы этих устройств.

Лекарство

Двулучепреломление используется в медицинской диагностике. Одним из мощных аксессуаров, используемых с оптическими микроскопами, является пара перекрещенных поляризующий фильтры. Свет от источника поляризован в $Икс$ направление после прохождения через первый поляризатор, но над образцом находится поляризатор (так называемый анализатор) ориентированы в $у$ направление. Следовательно, анализатор не будет принимать свет от источника, и поле будет темным. Однако области образца, обладающие двойным лучепреломлением, обычно объединяют некоторые из $Икс$ -поляризованный свет в $у$ поляризация; эти области станут яркими на темном фоне. Модификации этого основного принципа позволяют различать положительное и отрицательное двулучепреломление.

Кристаллы уратов (осталось изображение) в подагра, в котором их большой показатель преломления параллелен длинной оси кристалла, рассматривается как аддитивный (синий цвет задержки), когда они расположены параллельно или субпараллельно медленному направлению красного компенсатора. Кристаллы, ориентированные быстрым лучом, параллельным медленному направлению компенсатора («ось поляризованного света» на изображении), выглядят как желтые цвета задержки и, таким образом, являются субтрактивными. Противоположные цвета видны в болезнь отложения кристаллов дигидрата пирофосфата кальция (псевдоподагра, правильно изображение).

Например, игольчатая аспирация жидкости из подагрический сустав выявляет отрицательно двулучепреломляющий мононатрий урат кристаллы. Пирофосфат кальция кристаллы, напротив, демонстрируют слабое положительное двулучепреломление.^[13] Кристаллы уратов кажутся желтыми, а кристаллы пирофосфата кальция - синими, если их длинные оси выровнены параллельно оси красного фильтра-компенсатора.^[14] или кристалл известного двойного лучепреломления добавляется к образцу для сравнения.

Двулучепреломление можно наблюдать в амилоид бляшки, такие как в мозгу Болезнь Альцгеймера пациенты при окрашивании таким красителем, как Конго Красный. Модифицированные белки, такие как иммуноглобулин легкие цепи ненормально накапливаются между клетками, образуя фибриллы. Множественные складки этих волокон выстраиваются в одну линию и образуют бета-гофрированный лист. конформация. Конго красный краситель вставки между складками и при наблюдении в поляризованном свете вызывает двойное лучепреломление.

В офтальмология, бинокль скрининг на двойное лучепреломление сетчатки из Волокна Генле (аксоны фоторецепторов, идущие радиально наружу от ямки) обеспечивает надежное обнаружение косоглазие и, возможно, также анизометропическая амблиопия.^[15] Более того, сканирующая лазерная поляриметрия использует двойное лучепреломление оптический нерв волоконный слой для косвенной количественной оценки его толщины, что используется при оценке и мониторинге глаукома.

Характеристики двулучепреломления в головки спермы позволяют отобрать сперматозоиды для интрацитоплазматическая инъекция спермы.^[16] Точно так же визуализация зоны использует двулучепреломление на ооциты выбрать тех, у кого больше шансов на успешную беременность.^[17] Двойное лучепреломление частиц, взятых при биопсии из легочных узелков, указывает на силикоз.

Дерматологи используют дерматоскопы для осмотра кожных повреждений. Дермоскопы используют поляризованный свет, позволяя пользователю видеть кристаллические структуры, соответствующие дермальному коллагену в коже. Эти структуры могут иметь вид блестящих белых линий или розеток и видны только в поляризованном свете. дерматоскопия.

Двулучепреломление, вызванное стрессом

Цветовой узор пластиковой коробки с "замороженным" механическое напряжение помещен между двумя скрещенными поляризаторы

Изотропный твердые тела не обладают двойным лучепреломлением. Однако, когда они под механическое напряжение, результаты двулучепреломления. Напряжение может быть приложено извне или «заморожено» после охлаждения двулучепреломляющей пластмассовой посуды после ее изготовления с использованием литье под давлением. Когда такой образец помещается между двумя скрещенными поляризаторами, можно наблюдать цветные узоры, потому что поляризация светового луча поворачивается после прохождения через двулучепреломляющий материал, а величина вращения зависит от длины волны. Экспериментальный метод, названный фотоупругость используемый для анализа распределения напряжений в твердых телах, основан на том же принципе. Недавно было проведено исследование использования индуцированного напряжением двойного лучепреломления в стеклянной пластине для создания Оптический вихрь и полные пучки Пуанкаре (оптические пучки, которые имеют все возможные состояния поляризации в поперечном сечении).^[18]

Другие случаи двойного лучепреломления

Двулучепреломляющий рутил наблюдаются в разных поляризациях с помощью вращающегося поляризатора (или анализатор)

Двулучепреломление наблюдается в анизотропных эластичный материалы. В этих материалах две поляризации разделяются в соответствии с их эффективными показателями преломления, которые также чувствительны к нагрузкам.

Изучение двулучепреломления в поперечные волны путешествие через твердую Землю (жидкое ядро Земли не поддерживает поперечные волны) широко используется в сейсмология.^{[нужна цитата ]}

Двулучепреломление широко используется в минералогии для идентификации горных пород, минералов и драгоценных камней.^{[нужна цитата ]}

Теория

Поверхность разрешенного k векторы для фиксированной частоты для двухосного кристалла (см. экв. 7).

В изотропной среде (включая свободное пространство) так называемое электрическое перемещение ( $D$ ) как раз пропорционально электрическому полю ( $E$ ) в соответствии с $D = ɛ E$ где материал диэлектрическая проницаемость $ε$ это просто скаляр (и равно $п 2 ε 0$ где $п$ это показатель преломления ). Однако в анизотропном материале, проявляющем двойное лучепреломление, соотношение между $D$ и $E$ теперь должны быть описаны с помощью тензор уравнение:

{ Displaystyle mathbf {D} = { boldsymbol { varepsilon}} mathbf {E}}

(1)

где $ε$ теперь является тензором диэлектрической проницаемости 3 × 3. Мы предполагаем линейность и нет магнитная проницаемость в среде: $μ = μ 0$ . Электрическое поле плоской волны угловой частоты $ω$ можно записать в общем виде:

{ Displaystyle mathbf {E} = mathbf {E} _ {0} е ^ {я ( mathbf {k} cdot mathbf {r} - omega t)}}

(2)

где $р$ - вектор положения, $т$ время, и $E 0$ - вектор, описывающий электрическое поле при $р = 0$ , $т = 0$ . Тогда мы найдем возможные волновые векторы $k$ . Объединив Уравнения Максвелла за $\nabla \times E$ и $\nabla \times ЧАС$ , мы можем устранить $ЧАС = 1 / μ 0 B$ чтобы получить:

{ displaystyle - nabla times nabla times mathbf {E} = mu _ {0} { frac { partial ^ {2}} { partial t ^ {2}}} mathbf {D} }

(3а)

Без свободных зарядов уравнение Максвелла для расходимости $D$ исчезает:

{ Displaystyle набла cdot mathbf {D} = 0}

(3b)

Мы можем применить векторное тождество $\nabla \times (\nabla \times А) = \nabla(\nabla \cdot А) - \nabla 2 А$ слева от экв. 3а, и использовать пространственную зависимость, в которой каждое дифференцирование $Икс$ (например) приводит к умножению на $ik Икс$ найти:

{ displaystyle - nabla times nabla times mathbf {E} = ( mathbf {k} cdot mathbf {E}) mathbf {k} - ( mathbf {k} cdot mathbf {k }) mathbf {E}}

(3c)

Правая часть экв. 3а можно выразить через $E$ за счет применения тензора диэлектрической проницаемости $ε$ и отмечая, что дифференциация во времени приводит к умножению на $- iω$ , экв. 3а затем становится:

{ displaystyle (- mathbf {k} cdot mathbf {k}) mathbf {E} + ( mathbf {k} cdot mathbf {E}) mathbf {k} = - mu _ {0 } omega ^ {2} ({ boldsymbol { varepsilon}} mathbf {E})}

(4а)

Применение правила дифференциации к экв. 3b мы нашли:

{ Displaystyle mathbf {к} cdot mathbf {D} = 0}

(4b)

Уравнение 4b указывает, что $D$ ортогонален направлению волнового вектора $k$ , хотя в целом это неверно для $E$ как было бы в случае изотропной среды. Уравнение 4b не потребуется для дальнейших шагов в следующем выводе.

Нахождение допустимых значений $k$ для данного $ω$ проще всего сделать с помощью Декартовы координаты с $Икс$ , $у$ и $z$ оси выбираются в направлениях осей симметрии кристалла (или просто выбирая $z$ в направлении оптической оси одноосного кристалла), что приводит к диагональной матрице для тензора диэлектрической проницаемости $ε$ :

{ displaystyle mathbf { varepsilon} = varepsilon _ {0} { begin {bmatrix} n_ {x} ^ {2} & 0 & 0 0 & n_ {y} ^ {2} & 0 0 & 0 & n_ {z} ^ { 2} end {bmatrix}}}

(4c)

где диагональные значения представляют собой квадраты показателей преломления для поляризаций по трем главным осям $Икс$ , $у$ и $z$ . С участием $ε$ в этой форме, и подставив скорость света $c$ с помощью $c 2 = 1 / μ 0 ε 0$ , экв. 4а становится

{ displaystyle left (-k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} right) E_ {x} + k_ {x} ^ {2} E_ {x} + k_ {x} k_ {y} E_ {y} + k_ {x} k_ {z} E_ {z} = - { frac { omega ^ {2} n_ {x} ^ {2}} {c ^ {2}}} E_ {x}}

(5а)

где $E Икс$ , $E у$ , $E z$ компоненты $E$ (в любом месте в пространстве и времени) и $k Икс$ , $k у$ , $k z$ компоненты $k$ . Переставив, мы можем написать (и аналогично для $у$ и $z$ компоненты экв. 4а)

{ displaystyle left (-k_ {y} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} + { frac { omega ^ {2} n_ {x} ^ {2}} {c ^ {2}) }} right) E_ {x} + k_ {x} k_ {y} E_ {y} + k_ {x} k_ {z} E_ {z} = 0}

(5b)

{ displaystyle k_ {x} k_ {y} E_ {x} + left (-k_ {x} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} + { frac { omega ^ {2} n_ { y} ^ {2}} {c ^ {2}}} right) E_ {y} + k_ {y} k_ {z} E_ {z} = 0}

(5c)

{ displaystyle k_ {x} k_ {z} E_ {x} + k_ {y} k_ {z} E_ {y} + left (-k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2}) + { frac { omega ^ {2} n_ {z} ^ {2}} {c ^ {2}}} right) E_ {z} = 0}

(5d)

Это система линейных уравнений в $E Икс$ , $E у$ , $E z$ , поэтому у него может быть нетривиальное решение (то есть одно, отличное от $E = 0$ ) до тех пор, пока следующие детерминант равно нулю:

{ displaystyle { begin {vmatrix} left (-k_ {y} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} + { frac { omega ^ {2} n_ {x} ^ {2}}) {c ^ {2}}} right) & k_ {x} k_ {y} & k_ {x} k_ {z} k_ {x} k_ {y} & left (-k_ {x} ^ {2} -k_ {z} ^ {2} + { frac { omega ^ {2} n_ {y} ^ {2}} {c ^ {2}}} right) & k_ {y} k_ {z} k_ {x} k_ {z} & k_ {y} k_ {z} & left (-k_ {x} ^ {2} -k_ {y} ^ {2} + { frac { omega ^ {2} n_) {z} ^ {2}} {c ^ {2}}} right) end {vmatrix}} = 0}

(6)

Оценка детерминанта экв. 6, и переставляя члены, получим

{ displaystyle { frac { omega ^ {4}} {c ^ {4}}} - { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} left ({ frac {k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2}} {n_ {z} ^ {2}}} + { frac {k_ {x} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}) } {n_ {y} ^ {2}}} + { frac {k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2}} {n_ {x} ^ {2}}} right) + left ({ frac {k_ {x} ^ {2}} {n_ {y} ^ {2} n_ {z} ^ {2}}} + { frac {k_ {y} ^ {2}} { n_ {x} ^ {2} n_ {z} ^ {2}}} + { frac {k_ {z} ^ {2}} {n_ {x} ^ {2} n_ {y} ^ {2}} } right) left (k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} right) = 0}

(7)

В случае одноосного материала выбор оптической оси в $z$ направление так, чтобы $п Икс = п у = п о$ и $п z = п е$ , это выражение можно разложить на

{ displaystyle left ({ frac {k_ {x} ^ {2}} {n _ { mathrm {o}} ^ {2}}} + { frac {k_ {y} ^ {2}} {n_) { mathrm {o}} ^ {2}}} + { frac {k_ {z} ^ {2}} {n _ { mathrm {o}} ^ {2}}} - { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} right) left ({ frac {k_ {x} ^ {2}} {n _ { mathrm {e}} ^ {2}}} + { frac {k_ {y} ^ {2}} {n _ { mathrm {e}} ^ {2}}} + { frac {k_ {z} ^ {2}} {n _ { mathrm {o}} ^ { 2}}} - { frac { omega ^ {2}} {c ^ {2}}} right) = 0}

(8)

Установка любого из факторов в экв. 8 к нулю определит эллипсоидальный поверхность^{[примечание 1]} в пространстве волновых векторов $k$ которые разрешены для данного $ω$ . Первый множитель, равный нулю, определяет сферу; это решение для так называемых обычных лучей, в которых эффективный показатель преломления точно равен $п о$ независимо от направления $k$ . Второй определяет сфероид симметрично относительно $z$ ось. Это решение соответствует так называемым необыкновенным лучам, в которых эффективный показатель преломления находится между $п о$ и $п е$ , в зависимости от направления $k$ . Следовательно, для любого произвольного направления распространения (кроме направления оптической оси) два различных волновых вектора $k$ разрешены, соответствующие поляризациям обыкновенного и необыкновенного лучей.

Для двухосного материала можно описать аналогичное, но более сложное состояние двух волн;^[19] место разрешенных $k$ векторы ( поверхность волнового вектора) представляет собой двухслойную поверхность 4-й степени, так что в данном направлении обычно допускается два $k$ векторы (и их противоположности).^[20] При осмотре видно, что экв. 6 обычно выполняется для двух положительных значений $ω$ . Или для указанной оптической частоты $ω$ и направление нормальное к волновым фронтам $k / | k |$ , удовлетворяется на двоих волновые числа (или константы распространения) $| k |$ (и, следовательно, эффективные показатели преломления), соответствующие распространению двух линейных поляризаций в этом направлении.

Когда эти две постоянные распространения равны, тогда эффективный показатель преломления не зависит от поляризации, и, следовательно, нет двойного лучепреломления, с которым сталкивается волна, распространяющаяся в этом конкретном направлении. Для одноосного кристалла это оптическая ось, ±z направление согласно вышеуказанной конструкции. Но когда все три показателя преломления (или диэлектрическая проницаемость), $п Икс$ , $п у$ и $п z$ различны, можно показать, что существует ровно два таких направления, где соприкасаются два листа поверхности волнового вектора;^[20] эти направления совсем не очевидны и не лежат ни на одной из трех главных осей ( $Икс$ , $у$ , $z$ в соответствии с указанным выше соглашением). Исторически это объясняет использование термина «двуосный» для таких кристаллов, поскольку существование ровно двух таких особых направлений (считающихся «осями») было обнаружено задолго до того, как поляризация и двулучепреломление стали понятны физически. Однако эти два особых направления обычно не представляют особого интереса; Двухосные кристаллы скорее характеризуются тремя показателями преломления, соответствующими трем осям симметрии.

Общее состояние поляризации, запущенной в среду, всегда можно разложить на две волны, по одной в каждой из этих двух поляризаций, которые затем будут распространяться с разными волновыми числами. $| k |$ . Применение разных фаз распространения к этим двум волнам на заданном расстоянии распространения приведет к общему другой чистое состояние поляризации в этой точке; это принцип волновая пластина например. Однако с волновой пластиной между двумя лучами нет пространственного смещения, поскольку их $k$ векторы все еще в том же направлении. Это верно, когда каждая из двух поляризаций либо перпендикулярна оптической оси (обычный луч), либо параллельна ей (необыкновенный луч).

В более общем случае является разница не только в величине, но и в направлении двух лучей. Например, фотография сквозь кристалл кальцита (вверху страницы) показывает смещенное изображение в двух поляризациях; это связано с тем, что оптическая ось не параллельна и не перпендикулярна поверхности кристалла. И даже когда оптическая ось является параллельно поверхности, это будет происходить для волн, выпущенных при ненормальном падении (как показано на пояснительном рисунке). В этом случае два $k$ векторы можно найти, решив экв. 6 ограничивается граничным условием, которое требует, чтобы компоненты двух прошедших волн ' $k$ векторов, а $k$ Вектор падающей волны, проецируемый на поверхность раздела, должен быть одинаковым. Для одноосного кристалла окажется, что существует нет пространственный сдвиг для обычного луча (отсюда и его название), который преломляется, как если бы материал не был двулучепреломляющим, с индексом, таким же, как две оси, которые не являются оптической осью. Для двухосного кристалла ни один луч не считается «обычным» и, как правило, не должен преломляться в соответствии с показателем преломления, равным одной из главных осей.

Смотрите также

Примечания

^ Хотя это связано, обратите внимание, что это не то же самое, что индексный эллипсоид.

использованная литература

^ «Ресурсный центр по микроскопии Олимп». Olympus America Inc.. Получено 2011-11-13.
^
Увидеть:
- Эразм Бартолин, Experimenta crystali islandici disdiaclastici quibus mira & infolita refractio Detegitur [Эксперименты с исландским кристаллом с двойным лучепреломлением, в котором обнаружено замечательное и уникальное преломление] (Копенгаген, Дания: Daniel Paulli, 1669).
- Эразм Бартолин (1 января 1670 г.) «Отчет о различных экспериментах, проведенных и переданных этим ученым математиком доктором Эразмом Бартолином над кристаллоподобным телом, присланным ему с острова», Философские труды Лондонского королевского общества, 5 : 2041-2048.
^ ^а ^б Ландау, Л. Д., Лифшиц, Э. М., Электродинамика сплошных сред., Vol. 8 из Курс теоретической физики 1960 (Pergamon Press), §79
^ Борн и Вольф, 2002, стр. 807–8. (В терминологии XIX века говорят, что обычный луч поляризован в плоскости оптической оси; но это "плоскость поляризации "это самолет перпендикуляр к вибрации; ср. Френель, 1827, тр. Хобсон, стр. 318.)
^ Брэд Амос. Двулучепреломление для фаски I: что такое двулучепреломление? В архиве 14 декабря 2013 г. Wayback Machine Впервые опубликовано в StoneChat, журнале британской гильдии огранщиков. Январь – март. выпуск 2005 г.
^ ^а ^б ^c Элерт, Гленн. «Преломление». Гипертекст по физике.
^ Невес, Н. М. (1998). «Использование двойного лучепреломления для прогнозирования жесткости литых под давлением дисков из поликарбоната». Полимерная инженерия и наука. 38 (10): 1770–1777. Дои:10.1002 / pen.10347.
^ Wolman, M .; Кастен, Ф. Х. (1986). «Поляризованная световая микроскопия в изучении молекулярной структуры коллагена и ретикулина». Гистохимия. 85 (1): 41–49. Дои:10.1007 / bf00508652. PMID 3733471. S2CID 25214054.
^ Сано, Y (1988). «Оптическая анистропия бычьего сывороточного альбумина». J. Colloid Interface Sci. 124 (2): 403–407. Bibcode:1988JCIS..124..403S. Дои:10.1016/0021-9797(88)90178-6.
^ Хоббс, Питер Виктор (2010). Физика льда. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 202. ISBN 978-0-19-958771-1.
^ Фраттини, П., Фуллер, Г., "Заметка о двулучепреломлении с фазовой модуляцией потока: многообещающий реооптический метод", J. Rheol., 28: 61 (1984).
^ Дойл П., Шакфе, Э. С. Г., Шпигельберг, С. Х., Мак-Кинли, Г. Х., «Расслабление разбавленных растворов полимеров после протяженного потока», J. Non-Newtonian Fluid Mech., 86: 79–110 (1998).
^ Харди Р. Х., Нация Б (июнь 1984 г.). «Острая подагра и отделение неотложной помощи». Arch Emerg Med. 1 (2): 89–95. Дои:10.1136 / emj.1.2.89. ЧВК 1285204. PMID 6536274.
^ Подход к болезненной совместной работе Автор: Алан Н. Баер; Главный редактор: Герберт С. Даймонд. Обновлено: 22 ноября 2010 г.
^ Рид М. Йост; Юст Фелиус; Эйлин Э. Берч (август 2014 г.). «Высокая чувствительность бинокулярного скрининга двойного лучепреломления сетчатки при анизометропической амблиопии без косоглазия». Журнал Американской ассоциации детской офтальмологии и косоглазия (JAAPOS). 18 (4): e5 – e6. Дои:10.1016 / j.jaapos.2014.07.017.
^ Gianaroli L .; Magli M. C .; Ферраретти А. П .; и другие. (Декабрь 2008 г.). «Характеристики двойного лучепреломления в головках сперматозоидов позволяют отобрать прореагировавшие сперматозоиды для интрацитоплазматической инъекции сперматозоидов». Fertil. Стерил. 93 (3): 807–13. Дои:10.1016 / j.fertnstert.2008.10.024. PMID 19064263.
^ Эбнер Т .; Балабан Б .; Moser M .; и другие. (Май 2009 г.). «Автоматическая независимая от пользователя визуализация блестящей оболочки на стадии ооцита позволяет прогнозировать доимплантационное развитие». Fertil. Стерил. 94 (3): 913–920. Дои:10.1016 / j.fertnstert.2009.03.106. PMID 19439291.
^ Бекли, Эмбер М .; Браун, Томас Дж .; Алонсо, Мигель А. (10.05.2010). «Полные пучки Пуанкаре». Оптика Экспресс. 18 (10): 10777–10785. Bibcode:2010OExpr..1810777B. Дои:10.1364 / OE.18.010777. ISSN 1094-4087. PMID 20588931.
^ Born & Wolf, 2002, §15.3.3
^ ^а ^б М.В. Берри и М.Р. Джеффри, «Коническая дифракция: дьявольская точка Гамильтона в основе кристаллооптики», в Э. Вольф (ред.), Прогресс в оптике, т. 50, Амстердам: Elsevier, 2007 г., стр. 13–50, Дои:10.1016 / S0079-6638 (07) 50002-8, в стр. 20–21.

Список используемой литературы

М. Борн и Э. Вольф, 2002 г., Принципы оптики, 7-е изд., Cambridge University Press, 1999 (переиздано с исправлениями, 2002 г.).
А. Френель, 1827, "Память о двойном преломлении", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France, т.VII (за 1824 г., напечатано 1827 г.), стр. 45–176; переиздан как «Второй мемуар…» Френеля, 1868 г., стр. 479–596; перевод А.В. Хобсон как «Воспоминания о двойном лучепреломлении», в Р. Тейлор (ред.), Научные воспоминания, т.V (Лондон: Тейлор и Фрэнсис, 1852 г.), стр. 238–333. (Приведенные номера страниц взяты из перевода.)
А. Френель (ред. Х. де Сенармон, Э. Верде и Л. Френель), 1868 г., Совершенные произведения Августина Френеля, Париж: Imprimerie Impériale (3 тома, 1866–70), т. 2 (1868).

внешняя ссылка

[19] Хотя это связано, обратите внимание, что это не то же самое, что индексный эллипсоид.

[1] «Ресурсный центр по микроскопии Олимп». Olympus America Inc.. Получено 2011-11-13.

[2] Увидеть:
Эразм Бартолин, Experimenta crystali islandici disdiaclastici quibus mira & infolita refractio Detegitur [Эксперименты с исландским кристаллом с двойным лучепреломлением, в котором обнаружено замечательное и уникальное преломление] (Копенгаген, Дания: Daniel Paulli, 1669).
Эразм Бартолин (1 января 1670 г.) «Отчет о различных экспериментах, проведенных и переданных этим ученым математиком доктором Эразмом Бартолином над кристаллоподобным телом, присланным ему с острова», Философские труды Лондонского королевского общества, 5 : 2041-2048.

[4] Эразм Бартолин, Experimenta crystali islandici disdiaclastici quibus mira & infolita refractio Detegitur [Эксперименты с исландским кристаллом с двойным лучепреломлением, в котором обнаружено замечательное и уникальное преломление] (Копенгаген, Дания: Daniel Paulli, 1669).

[5] Эразм Бартолин (1 января 1670 г.) «Отчет о различных экспериментах, проведенных и переданных этим ученым математиком доктором Эразмом Бартолином над кристаллоподобным телом, присланным ему с острова», Философские труды Лондонского королевского общества, 5 : 2041-2048.

[landaulifshitz-3] а ^б Ландау, Л. Д., Лифшиц, Э. М., Электродинамика сплошных сред., Vol. 8 из Курс теоретической физики 1960 (Pergamon Press), §79

[4] Борн и Вольф, 2002, стр. 807–8. (В терминологии XIX века говорят, что обычный луч поляризован в плоскости оптической оси; но это "плоскость поляризации "это самолет перпендикуляр к вибрации; ср. Френель, 1827, тр. Хобсон, стр. 318.)

[5] Брэд Амос. Двулучепреломление для фаски I: что такое двулучепреломление? В архиве 14 декабря 2013 г. Wayback Machine Впервые опубликовано в StoneChat, журнале британской гильдии огранщиков. Январь – март. выпуск 2005 г.

[hypertextbook-6] а ^б ^c Элерт, Гленн. «Преломление». Гипертекст по физике.

[7] Невес, Н. М. (1998). «Использование двойного лучепреломления для прогнозирования жесткости литых под давлением дисков из поликарбоната». Полимерная инженерия и наука. 38 (10): 1770–1777. Дои:10.1002 / pen.10347.

[8] Wolman, M .; Кастен, Ф. Х. (1986). «Поляризованная световая микроскопия в изучении молекулярной структуры коллагена и ретикулина». Гистохимия. 85 (1): 41–49. Дои:10.1007 / bf00508652. PMID 3733471. S2CID 25214054.

[9] Сано, Y (1988). «Оптическая анистропия бычьего сывороточного альбумина». J. Colloid Interface Sci. 124 (2): 403–407. Bibcode:1988JCIS..124..403S. Дои:10.1016/0021-9797(88)90178-6.

[HobbsIcePhysics-10] Хоббс, Питер Виктор (2010). Физика льда. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 202. ISBN 978-0-19-958771-1.

[11] Фраттини, П., Фуллер, Г., "Заметка о двулучепреломлении с фазовой модуляцией потока: многообещающий реооптический метод", J. Rheol., 28: 61 (1984).

[12] Дойл П., Шакфе, Э. С. Г., Шпигельберг, С. Х., Мак-Кинли, Г. Х., «Расслабление разбавленных растворов полимеров после протяженного потока», J. Non-Newtonian Fluid Mech., 86: 79–110 (1998).

[13] Харди Р. Х., Нация Б (июнь 1984 г.). «Острая подагра и отделение неотложной помощи». Arch Emerg Med. 1 (2): 89–95. Дои:10.1136 / emj.1.2.89. ЧВК 1285204. PMID 6536274.

[14] Подход к болезненной совместной работе Автор: Алан Н. Баер; Главный редактор: Герберт С. Даймонд. Обновлено: 22 ноября 2010 г.

[15] Рид М. Йост; Юст Фелиус; Эйлин Э. Берч (август 2014 г.). «Высокая чувствительность бинокулярного скрининга двойного лучепреломления сетчатки при анизометропической амблиопии без косоглазия». Журнал Американской ассоциации детской офтальмологии и косоглазия (JAAPOS). 18 (4): e5 – e6. Дои:10.1016 / j.jaapos.2014.07.017.

[16] Gianaroli L .; Magli M. C .; Ферраретти А. П .; и другие. (Декабрь 2008 г.). «Характеристики двойного лучепреломления в головках сперматозоидов позволяют отобрать прореагировавшие сперматозоиды для интрацитоплазматической инъекции сперматозоидов». Fertil. Стерил. 93 (3): 807–13. Дои:10.1016 / j.fertnstert.2008.10.024. PMID 19064263.

[17] Эбнер Т .; Балабан Б .; Moser M .; и другие. (Май 2009 г.). «Автоматическая независимая от пользователя визуализация блестящей оболочки на стадии ооцита позволяет прогнозировать доимплантационное развитие». Fertil. Стерил. 94 (3): 913–920. Дои:10.1016 / j.fertnstert.2009.03.106. PMID 19439291.

[18] Бекли, Эмбер М .; Браун, Томас Дж .; Алонсо, Мигель А. (10.05.2010). «Полные пучки Пуанкаре». Оптика Экспресс. 18 (10): 10777–10785. Bibcode:2010OExpr..1810777B. Дои:10.1364 / OE.18.010777. ISSN 1094-4087. PMID 20588931.

[20] Born & Wolf, 2002, §15.3.3

[berry-jeffrey-2007-21] а ^б М.В. Берри и М.Р. Джеффри, «Коническая дифракция: дьявольская точка Гамильтона в основе кристаллооптики», в Э. Вольф (ред.), Прогресс в оптике, т. 50, Амстердам: Elsevier, 2007 г., стр. 13–50, Дои:10.1016 / S0079-6638 (07) 50002-8, в стр. 20–21.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[примечание 1]

[19]

[20]