Проблема Вецельса - Википедия - Wetzels problem

В математика, Проблема Ветцеля касается границ мощность набора аналитические функции которые для каждого из своих аргументов принимают несколько различных значений. Он назван в честь Джона Ветцеля, математика из Университет штата Иллинойс в Урбане-Шампейн.[1][2]

Позволять F - семейство различных аналитических функций на заданном домен со свойством, что для каждого Икс в области функции в F карта Икс к счетный набор ценностей. В своей докторской диссертации Ветцель спросил, означает ли это предположение, что F обязательно само счетно.[3] Пол Эрдёш в свою очередь узнал о проблеме на университет Мичигана, вероятно, через Ли Альберт Рубель.[1] В своей статье по этой проблеме Эрдеш приписал анонимному математику наблюдение, что, когда каждый Икс отображается в конечный набор значений, F обязательно конечно.[4]

Однако, как показал Эрдеш, ситуация для счетных множеств более сложная: ответ на вопрос Ветцеля положительный тогда и только тогда, когда гипотеза континуума ложно.[4] То есть существование бесчисленного набора функций, отображающих каждый аргумент Икс к счетному набору значений эквивалентно отсутствию несчетного набора действительных чисел, мощность которого меньше, чем мощность множества всех действительных чисел. Одно направление этой эквивалентности было также независимо доказано, но не опубликовано, другим математиком UIUC, Робертом Дэном Диксоном.[1] Это следует из независимости гипотезы континуума, доказанной в 1963 г. Пол Коэн,[5] что ответ на проблему Ветцеля не зависит от Теория множеств ZFC.[1]Доказательство Эрдеша настолько короткое и элегантное, что считается одним из Доказательства из КНИГИ.[2]

В случае, если гипотеза континуума неверна, Эрдеш спросил, существует ли семейство аналитических функций с мощностью континуума, такое, что каждое комплексное число имеет меньшее, чем континуум, множество изображений. Как Ашутош Кумар и Сахарон Шелах Позже доказано, что и положительные, и отрицательные ответы на этот вопрос непротиворечивы.[6]

Рекомендации

  1. ^ а б c d Гарсия, Стефан Рамон; Шумейкер, Эми Л. (март 2015 г.), «Проблема Ветцеля, Пол Эрдеш и гипотеза континуума: математическая загадка», Уведомления AMS, 62 (3): 243–247, arXiv:1406.5085, Bibcode:2014arXiv1406.5085G.
  2. ^ а б Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (2014), Доказательства из книги (5-е изд.), Springer-Verlag, Berlin, стр. 132–134, Дои:10.1007/978-3-662-44205-0, ISBN  978-3-662-44204-3, МИСТЕР  3288091.
  3. ^ Ветцель, Джон Эдвард (1964), Теория компактификации с теоретико-потенциальными приложениями, Кандидат наук. диссертация, Стэнфордский университет, стр. 98. Как цитирует Гарсия и сапожник (2015).
  4. ^ а б Эрдеш, П. (1964), «Проблема интерполяции, связанная с гипотезой континуума», Мичиганский математический журнал, 11: 9–10, Дои:10,1307 / ммдж / 1028999028, МИСТЕР  0168482.
  5. ^ Коэн, Пол Дж. (15 декабря 1963 г.), "Независимость гипотезы континуума", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 50 (6): 1143–1148, Bibcode:1963ПНАС ... 50.1143С, Дои:10.1073 / пнас.50.6.1143, JSTOR  71858, ЧВК  221287, PMID  16578557.
  6. ^ Кумар, Ашутош; Шела, Сахарон (2017), «К вопросу о семействах целых функций», Fundamenta Mathematicae, 239 (3): 279–288, Дои:10.4064 / FM252-3-2017, МИСТЕР  3691208