Неравенство Уитни - Википедия - Whitney inequality

В математика, то Неравенство Уитни дает верхнюю оценку ошибки наилучшего приближения функции величиной многочлены с точки зрения модули гладкости. Впервые это было доказано Хасслер Уитни в 1957 г.,^[1] и является важным инструментом в области теория приближения для получения оценок сверху ошибок наилучшего приближения.

Формулировка теоремы

Обозначим значение наилучшего равномерного приближения функция ${ displaystyle f in C ([a, b])}$ алгебраическим многочлены ${ displaystyle P_ {n}}$ степени ${ displaystyle leq n}$ к

${ Displaystyle E_ {n} (е) _ {[a, b]}: = inf _ {P_ {n}} { | f-P_ {n} | _ {C ([a, b]) }}}$

В модули гладкости порядка ${ displaystyle k}$ из функция ${ displaystyle f in C ([a, b])}$ определяются как:

${ Displaystyle omega _ {k} (t): = omega _ {k} (t; f; [a, b]): = sup _ {h in [0, t]} | Delta _ {h} ^ {k} (f; cdot) | _ {C ([a, b-kh])} quad { text {for}} quad t in [0, (ba) / k],}$

${ displaystyle omega _ {k} (t): = omega _ {k} ((b-a) / k) quad { text {for}} quad t> (b-a) / k,}$

куда ${ displaystyle Delta _ {h} ^ {k}}$ это конечная разница порядка ${ displaystyle k}$.

Теорема: ^[2] [Уитни, 1957] Если ${ displaystyle f in C ([a, b])}$, тогда

${ displaystyle E_ {k-1} (f) _ {[a, b]} leq W_ {k} omega _ {k} left ({ frac {ba} {k}}; f; [a ,яркий)}$

куда ${ displaystyle W_ {k}}$ константа, зависящая только от ${ displaystyle k}$. Константа Уитни ${ Displaystyle W (к)}$ это наименьшее значение ${ displaystyle W_ {k}}$ для которого справедливо указанное выше неравенство. Теорема особенно полезна при применении к интервалам небольшой длины, что приводит к хорошим оценкам погрешности сплайн приближение.

Доказательство

Первоначальное доказательство, данное Уитни, следует аналитическому аргументу, который использует свойства модули гладкости. Однако это можно доказать и гораздо более коротким способом, используя K-функционалы Питра.^[3]

Позволять:

${ displaystyle x_ {0}: = a, quad h: = { frac {ba} {k}}, quad x_ {j}: = x + 0 + jh, quad F (x) = int _ {а} ^ {х} е (и) , ду,}$

${ Displaystyle G (x): = F (x) -L (x; F; x_ {0}, ldots, x_ {k}), quad g (x): = G '(x),}$

${ Displaystyle омега _ {к} (т): = омега _ {к} (т; е; [а, б]) эквив омега _ {к} (т; г; [а, б]) }$

куда ${ Displaystyle L (х; F; x_ {0}, ldots, x_ {k})}$ это Полином Лагранжа за ${ displaystyle F}$ в узлах ${ Displaystyle {x_ {0}, ldots, x_ {k} }}$.

Теперь исправим некоторые ${ Displaystyle х в [а, б]}$ и выберите ${ displaystyle delta}$ для которого ${ Displaystyle (х + к дельта) в [а, б]}$. Потом:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} Delta _ {t delta} ^ {k} (g; x) , dt = (- 1) ^ {k} g (x) + sum _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {kj} { binom {k} {j}} int _ {0} ^ {1} g (x + jt delta) , dt}$

${ displaystyle = (- 1) ^ {k} g (x) + sum _ {j = 1} ^ {k} {(- 1) ^ {kj} { binom {k} {j}} { гидроразрыв {1} {j delta}} (G (x + j delta) -G (x))},}$

Следовательно:

${ Displaystyle | г (х) | leq int _ {0} ^ {1} | Delta _ {t delta} ^ {k} (g; x) | , dt + { frac {2} { | delta |}} | G | _ {C ([a, b])} sum _ {j = 1} ^ {k} { binom {k} {j}} { frac {1} {j}} leq omega _ {k} (| delta |) + { frac {1} {| delta |}} 2 ^ {k + 1} | G | _ {C ([a , б])}}$

А поскольку у нас есть ${ Displaystyle | G | _ {C ([a, b])} leq h omega _ {k} (h)}$, (свойство модули гладкости )

${ displaystyle E_ {k-1} (f) _ {[a, b]} leq | g | _ {C ([a, b])} leq omega _ {k} (| delta |) + { frac {1} {| delta |}} h2 ^ {k + 1} omega _ {k} (h).}$

С ${ displaystyle delta}$ всегда можно выбрать так, чтобы ${ Displaystyle ч geq | дельта | geq ч / 2}$, это завершает доказательство.

Константы Уитни и гипотеза Сендова

Важно иметь точные оценки констант Уитни. Легко показать, что ${ Displaystyle W (1) = 1/2}$, и это было впервые доказано Burkill (1952), что ${ Displaystyle W (2) leq 1}$, который предположил, что ${ Displaystyle W (к) leq 1}$ для всех ${ displaystyle k}$. Уитни также смог доказать, что ^[2]

${ Displaystyle W (2) = { frac {1} {2}}, quad { frac {8} {15}} leq W (3) leq 0.7 quad W (4) leq 3.3 четырехъядерный W (5) leq 10.4}$

и

${ displaystyle W (k) geq { frac {1} {2}}, quad k in mathbb {N}}$

В 1964 году Брудному удалось получить оценку ${ Displaystyle W (к) = О (к ^ {2k})}$, а в 1982 г. Сендов доказал, что ${ Displaystyle В (к) Leq (к + 1) к ^ {к}}$. Затем, в 1985 году, Иванов и Такев доказали, что ${ Displaystyle W (к) = О (к пер к)}$, а Бинев доказал, что ${ Displaystyle W (к) = О (к)}$. Сендов предположил, что ${ Displaystyle W (к) leq 1}$ для всех ${ displaystyle k}$, а в 1985 году удалось доказать, что константы Уитни ограничены сверху абсолютной константой, т. е. ${ Displaystyle W (к) leq 6}$ для всех ${ displaystyle k}$. Крякин, Гилевич и Шевчук (2002)^[4] смогли показать, что ${ Displaystyle W (к) leq 2}$ за ${ displaystyle k leq 82000}$, и это ${ Displaystyle W (к) leq 2 + { frac {1} {е ^ {2}}}}$ для всех ${ displaystyle k}$.

Рекомендации