Закон о смещении Вина - Википедия - Wiens displacement law

Излучение черного тела как функция длины волны для различных температур. Каждая температурная кривая имеет пики на разной длине волны, и закон Вина описывает сдвиг этого пика.

Закон смещения Вина заявляет, что излучение черного тела кривая для разных температур достигает пика при разных длины волн которые обратно пропорциональны температуре. Смещение этого пика является прямым следствием Закон излучения Планка, который описывает спектральную яркость излучения черного тела как функцию длины волны при любой заданной температуре. Однако это было обнаружено Вильгельм Вена несколько лет назад Макс Планк разработал это более общее уравнение и описывает полный сдвиг спектра излучения черного тела в сторону более коротких волн при повышении температуры.

Формально закон смещения Вина гласит, что спектральное сияние излучения черного тела на единицу длины волны, пики на длине волны λ_{вершина горы} предоставлено:

{ displaystyle lambda _ { text {peak}} = { frac {b} {T}}}

куда Т абсолютная температура. б это константа пропорциональности называется Постоянная смещения Вина, равно 2.897771955...×10⁻³ m⋅K,^[1] или же б ≈ 2898 мкм⋅K. Это обратная зависимость между длиной волны и температурой. Таким образом, чем выше температура, тем короче или меньше длина волны теплового излучения. Чем ниже температура, тем длиннее или больше длина волны теплового излучения. Что касается видимого излучения, то горячие предметы излучают более синий свет, чем холодные. Если кто-то рассматривает пик излучения черного тела на единицу частоты или на пропорциональную полосу пропускания, необходимо использовать другую константу пропорциональности. Однако форма закона остается прежней: длина волны пика обратно пропорциональна температуре, а частота пика прямо пропорциональна температуре.

Закон смещения Вина может быть назван «законом Вина», термин, который также используется для обозначения Вина приближение.

Примеры

Закон смещения Вина применим к некоторым повседневным событиям:

Кусок металла, нагретый паяльная лампа первый становится "раскаленным" как самый длинный видимые длины волн кажутся красными, затем становятся более оранжево-красными при повышении температуры, и при очень высоких температурах будут описаны как «раскаленные добела», поскольку все более и более короткие длины волн начинают преобладать в спектре излучения черного тела. Еще до того, как он достиг температуры раскаленного докрасна, тепловое излучение в основном длилось дольше. инфракрасный длины волн, которые не видны; тем не менее, это излучение можно было почувствовать, поскольку оно согревает близлежащую кожу.
Легко заметить изменение цвета лампа накаливания (который производит свет за счет теплового излучения), так как температура его нити изменяется на диммер. По мере того, как свет становится тусклым и температура нити накала уменьшается, распределение цвета смещается в сторону более длинных волн, и свет кажется более красным, а также более тусклым.
Дровяной огонь при температуре 1500 К тушит пиковое излучение около 2000 нм. 98% его излучения приходится на длины волн более 1000 нм, и лишь малая доля - на видимые длины волн (390–700 нм). Следовательно, костер может согреться, но является плохим источником видимого света.
Эффективная температура солнце составляет 5778 К. Используя закон Вина, можно найти пиковое излучение на нанометр (длины волны) на длине волны около 500 нм в зеленой части спектра вблизи максимальной чувствительности человеческого глаза.^[2]^[3] С другой стороны, с точки зрения мощности на единицу оптической частоты, пиковое излучение Солнца составляет 343 ТГц или длину волны 883 нм в ближнем инфракрасном диапазоне. Что касается мощности, приходящейся на процентную полосу пропускания, пик приходится на длину волны около 635 нм, т.е. Независимо от того, как вы хотите построить спектр, примерно половина солнечного излучения имеет длину волны короче 710 нм, что составляет предел человеческого зрения. Из них около 12% приходится на длины волн короче 400 нм, ультрафиолетовые волны, невидимые невооруженным глазом. Можно понять, что довольно большое количество солнечного излучения попадает в довольно небольшие видимый спектр.

Цвет звезды определяется ее температурой согласно закону Вина. В созвездии Орион, можно сравнить Бетельгейзе (Т ≈ 3300 К, вверху слева), Ригель (Т = 12100 К, внизу справа), Беллатрикс (Т = 22000 K, вверху справа), и Минтака (Т = 31800 K, крайняя правая из трех «звездочек пояса» посередине).

Однако преобладание излучения в видимом диапазоне в большинстве случаев не так. звезды. Горячий сверхгигант Ригель излучает 60% своего света в ультрафиолете, в то время как холодный сверхгигант Бетельгейзе излучает 85% своего света в инфракрасном диапазоне длин волн. Обе звезды видны в созвездии Орион, легко заметить разницу в цвете сине-белого Rigel (Т = 12100 К) и красной Бетельгейзе (Т ≈ 3300 К). Хотя немногие звезды имеют такую температуру, как Ригель, звезды холоднее Солнца или даже такие холодные, как Бетельгейзе, очень распространены.
Млекопитающие с температурой кожи около 300 К излучают пиковое излучение около 10 мкм в дальней инфракрасной области. Следовательно, это диапазон длин волн инфракрасного излучения, который гремучая змея змеи и пассивные ИК-камеры должен смысл.
При сравнении видимого цвета источников освещения (в том числе люминесцентные лампы, Светодиодное освещение, компьютерные мониторы, и фотовспышка ) принято цитировать цветовая температура. Хотя спектры таких источников света неточно описываются кривой излучения черного тела, указана цветовая температура, при которой излучение черного тела наиболее точно соответствует субъективному цвету этого источника. Например, сине-белый флуоресцентный свет, который иногда используется в офисе, может иметь цветовую температуру 6500 K, тогда как красноватый оттенок тусклого света накаливания может иметь цветовую температуру (и фактическую температуру нити) 2000 K. Обратите внимание, что неформальное описание первого (голубоватого) цвета как «холодного», а второго (красноватого) как «теплого» прямо противоположно фактическому изменению температуры, связанному с излучением черного тела.

Открытие

Закон назван в честь Вильгельм Вена, который вывел его в 1893 году на основе термодинамического аргумента.^[4] Вена считала адиабатический расширение полости, содержащей световые волны в тепловом равновесии. Он показал, что при медленном расширении или сжатии энергия света, отражающегося от стен, изменяется точно так же, как и частота. Общий принцип термодинамики состоит в том, что состояние теплового равновесия при очень медленном расширении остается в состоянии теплового равновесия.

Сам Вин вывел этот закон теоретически в 1893 году, следуя термодинамическим соображениям Больцмана. Ранее это наблюдал, по крайней мере, полуколичественно, американский астроном Лэнгли. Этот сдвиг вверх νmax с T знаком каждому - когда железо нагревается в огне, первое видимое излучение (около 900 K) становится темно-красным, видимым светом с самой низкой частотой. Дальнейшее увеличение T приводит к изменению цвета на оранжевый, затем на желтый и, наконец, на синий при очень высоких температурах (10000 К или более), при которых пик интенсивности излучения выходит за пределы видимого диапазона в ультрафиолет.^[5]

Адиабатический принцип позволил Вину сделать вывод, что для каждой моды адиабатическая инвариантная энергия / частота является только функцией другого адиабатического инварианта, частоты / температуры. Современный вариант вывода Вина можно найти в учебнике Ванье.^[6] и в статье Э. Бэкингема^[7]

Следствием этого является то, что форма функции излучения черного тела (которая еще не была понята) будет сдвигаться пропорционально по частоте (или обратно пропорционально по длине волны) с температурой. Когда Макс Планк позже сформулировал правильный функция излучения черного тела он не включал явно константу Вина б. Скорее, Постоянная Планка час был создан и введен в его новую формулу. Из постоянной Планка час и Постоянная Больцмана k, Постоянная Вена б может быть получен.

Частотно-зависимая формулировка

Для спектрального потока, учитываемого на единицу частота ${ displaystyle d nu}$ (в герц ) Закон смещения Вина описывает пиковое излучение на оптической частоте ${ displaystyle nu _ { text {пик}}}$ предоставлено:

{ displaystyle nu _ { text {peak}} = { alpha over h} kT приблизительно (5,879 times 10 ^ {10} mathrm {Hz / K}) cdot T}

или эквивалентно

{ Displaystyle ч ню _ { текст {пик}} = альфа кТ приблизительно (2,431 раз 10 ^ {- 4} mathrm {эВ / К}) cdot T}

куда α ≈ 2.8214391... - константа, полученная в результате численного решения уравнения максимизации, k это Постоянная Больцмана, час это Постоянная Планка, и Т это температура (в кельвины ). Теперь, когда излучение учитывается на единицу частоты, этот пик теперь соответствует длине волны на 70% длиннее, чем пик, рассматриваемый на единицу длины волны. Соответствующая математика подробно описана в следующем разделе.

Вывод из закона Планка

Закон планка для спектра излучения черного тела предсказывает закон смещения Вина и может использоваться для численной оценки постоянной взаимосвязанной температуры и пикового значения параметра для любой конкретной параметризации. Обычно используется параметризация длины волны, и в этом случае спектральная яркость черного тела (мощность на излучающую площадь на телесный угол) составляет:

{ displaystyle u _ { lambda} ( lambda, T) = {2hc ^ {2} over lambda ^ {5}} {1 over e ^ {hc / lambda kT} -1}.}

Дифференцировать ты(λ,Т) по λ и приравнивая производную к нулю, получаем:

{ displaystyle { partial u over partial lambda} = 2hc ^ {2} left ({hc over kT lambda ^ {7}} {e ^ {hc / lambda kT} over left ( e ^ {hc / lambda kT} -1 right) ^ {2}} - {1 over lambda ^ {6}} {5 over e ^ {hc / lambda kT} -1} right) = 0,}

который можно упростить и получить:

{ displaystyle {hc over lambda kT} {e ^ {hc / lambda kT} over e ^ {hc / lambda kT} -1} -5 = 0.}

Определив:

{ Displaystyle х экв {НС над лямбда кТ},}

уравнение становится единым с единственной переменной Икс:

{ displaystyle {xe ^ {x} over e ^ {x} -1} -5 = 0.}

что эквивалентно:

{ displaystyle (x-5) e ^ {x} + 5 = 0.}

Это уравнение легко решается численно с помощью Метод Ньютона уступающий ^{[примечание 1]} Икс = 4.965114231744276 для точности с плавающей запятой двойной точности. Решение для длины волны λ в миллиметрах, а использование температуры в градусах Кельвина дает:

{ displaystyle lambda _ { text {peak}} = { frac {hc} {x}} { frac {1} {kT}} = { frac {2.897771955185172 ~ { text {mm}} { cdot} { text {K}}} {T}}.}

^[8]

Параметризация по частоте

Еще одна распространенная параметризация: частота. Вывод, дающий значение пикового параметра, аналогичен, но начинается с формы Закон планка как функция частоты ν:

{ displaystyle u _ { nu} ( nu, T) = {2h nu ^ {3} over c ^ {2}} {1 over e ^ {h nu / kT} -1}.}

Предыдущий процесс с использованием этого уравнения дает:

{ displaystyle - {h nu over kT} {e ^ {h nu / kT} over e ^ {h nu / kT} -1} + 3 = 0.}

Чистый результат:

{ displaystyle (x-3) e ^ {x} + 3 = 0.}

Это аналогично решается с помощью Метод Ньютона уступающий Икс = 2.8214393721220787 для двойной точности с плавающей запятой. Решение для ν производит:

{ displaystyle nu _ { text {peak}} = { frac {xk} {h}} T = ({0,05878923811360855 ~ { text {THz}} { cdot} { text {K}} ^ { -1}}) cdot {T}.}

Максимумы различаются в зависимости от параметризации

Обратите внимание, что для заданной температуры параметризация по частоте подразумевает другую максимальную длину волны, чем параметризация по длине волны.

Например, используя Т = 6000 К и параметризации по длине волны, длина волны для максимальной спектральной яркости равна λ = 482,962 нм с соответствующей частотой ν = 620,737 ТГц. Для той же температуры, но параметризованной по частоте, частота максимальной спектральной яркости равна ν = 352,735 ТГц с соответствующей длиной волны λ = 849,907 нм.

Эти функции - сияние плотность функции, которые являются вероятностными плотность функции масштабируются для получения единиц сияния. Функция плотности имеет разные формы для разных параметризаций, в зависимости от относительного растяжения или сжатия абсциссы, которая измеряет изменение плотности вероятности относительно линейного изменения данного параметра. Поскольку длина волны и частота взаимосвязаны, они представляют собой существенно нелинейные сдвиги плотности вероятности относительно друг друга.

Полная яркость - это интеграл распределения по всем положительным значениям, инвариантный для данной температуры при любой параметризация. Кроме того, для данной температуры яркость, состоящая из всех фотонов между двумя длинами волн, должна быть одинаковой, независимо от того, какое распределение вы используете. Другими словами, интегрирование распределения длин волн из λ₁ к λ₂ приведет к тому же значению, что и интеграция распределения частот между двумя частотами, которые соответствуют λ₁ и λ₂, а именно из c/λ₂ к c/λ₁. Однако распределение форма зависит от параметризации, и для другой параметризации распределение обычно будет иметь другую пиковую плотность, как показывают эти расчеты.

Использование значения 4 для решения неявного уравнения дает пик в функции спектральной плотности яркости, выраженной в параметре яркость на пропорциональную полосу пропускания. Это, возможно, более интуитивный способ представления «длины волны пикового излучения». Это дает Икс = 3.9206903948728864 для двойной точности с плавающей запятой.

Однако важным моментом закона Вина является то, что любой такой маркер длины волны, включая среднюю длину волны (или, альтернативно, длину волны, ниже которой любой указанный процент излучения) пропорционален обратной величине температуры. То есть форма распределения для данной параметризации масштабируется и преобразуется в соответствии с температурой и может быть вычислена один раз для канонической температуры, а затем соответствующим образом сдвинута и масштабирована, чтобы получить распределение для другой температуры. Это следствие строгой формулировки закона Вина.

Смотрите также

Примечания

^ Уравнение ${ displaystyle xe ^ {x} / (e ^ {x} -1) = n}$ не может быть решена в терминах элементарных функций. Это можно решить с точки зрения Функция журнала продуктов Ламберта в качестве ${ Displaystyle х = п + W (-ne ^ {- п})}$ , но точное решение не важно при этом выводе.

дальнейшее чтение

Soffer, B.H .; Линч, Д. К. (1999). «Некоторые парадоксы, ошибки и решения, касающиеся спектральной оптимизации человеческого зрения». Американский журнал физики. 67 (11): 946–953. Bibcode:1999AmJPh..67..946S. Дои:10.1119/1.19170.
Хилд, М.А. (2003). «Где находится« Вена пик »?». Американский журнал физики. 71 (12): 1322–1323. Bibcode:2003AmJPh..71.1322H. Дои:10.1119/1.1604387.

внешняя ссылка

Мир физики Эрика Вайсштейна

[8] Уравнение ${ displaystyle xe ^ {x} / (e ^ {x} -1) = n}$ не может быть решена в терминах элементарных функций. Это можно решить с точки зрения Функция журнала продуктов Ламберта в качестве ${ Displaystyle х = п + W (-ne ^ {- п})}$ , но точное решение не важно при этом выводе.

[physconst-bwien-1] «Значение CODATA 2018: постоянная закона смещения длины волны Вина». Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности. NIST. 20 мая 2019. Получено 20 мая 2019.

[2] Уокер, Дж. Основы физики, 8-е изд., Джон Вили и сыновья, 2008 г., стр. 891. ISBN 9780471758013.

[3] Feynman, R; Leighton, R; Сэндс, М. Лекции Фейнмана по физике, т. 1. С. 35-2 - 35-3. ISBN 0201510030.

[4] Mehra, J .; Рехенберг, Х. (1982). Историческое развитие квантовой теории. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Глава 1. ISBN 978-0-387-90642-3.

[5] ttps://chem.libretexts.org/Courses/Pacific_Union_College/Quantum_Chemistry/01%3A_The_Dawn_of_the_Quantum_Theory/1.01%3A_Blackbody_Radiation_Cannot_Be_Explained_Classically

[6] Ванье, Г. Х. (1987) [1966]. Статистическая физика. Dover Publications. Глава 10.2. ISBN 978-0-486-65401-0. OCLC 15520414.

[7] ttps://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/bulletin/08/nbsbulletinv8n3p545_A2b.pdf

[9] Дас, Биман (2002). «Получение закона смещения Вина из закона излучения Планка». Учитель физики. 40 (3): 148–149. Bibcode:2002PhTea..40..148D. Дои:10.1119/1.1466547.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[примечание 1]

[8]