Двойственность Вульфа - Википедия - Wolfe duality

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: "Двойственность Вульфа"  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Май 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математическая оптимизация, Двойственность Вульфа, названный в честь Филип Вулф, это тип двойная проблема в которой целевая функция и ограничения все дифференцируемые функции. Используя эту концепцию, можно найти нижнюю границу для задачи минимизации из-за слабая двойственность принцип.^[1]

Математическая формулировка

Для задачи минимизации с ограничениями-неравенствами

${ displaystyle { begin {align} & { underset {x} { operatorname {minim}}} && f (x) & operatorname {subject ; to} && g_ {i} (x) leq 0, quad i = 1, dots, m end {выровнено}}}$

то Лагранжева двойственная проблема является

${ displaystyle { begin {align} & { underset {u} { operatorname {maximize}}} && inf _ {x} left (f (x) + sum _ {j = 1} ^ {m } u_ {j} g_ {j} (x) right) & operatorname {subject ; to} && u_ {i} geq 0, quad i = 1, dots, m end {выровнено}} }$

где целевая функция - двойственная функция Лагранжа. При условии, что функции ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g_ {1}, ldots, g_ {m}}$ выпуклы и непрерывно дифференцируемы, инфимум возникает там, где градиент равен нулю. Проблема

${ displaystyle { begin {align} & { underset {x, u} { operatorname {maximize}}} && f (x) + sum _ {j = 1} ^ {m} u_ {j} g_ {j } (x) & operatorname {subject ; to} && nabla f (x) + sum _ {j = 1} ^ {m} u_ {j} nabla g_ {j} (x) = 0 &&& u_ {i} geq 0, quad i = 1, dots, m end {выровнено}}}$

называется двойственной проблемой Вульфа.^[2] Эта проблема использует Условия ККТ как ограничение. Кроме того, ограничение равенства ${ Displaystyle набла е (х) + сумма _ {j = 1} ^ {м} и_ {j} набла г_ {j} (х)}$ в общем случае нелинейна, поэтому двойственная задача Вульфа может быть невыпуклой задачей оптимизации. В любом случае имеет место слабая двойственность.^[3]

Смотрите также

• Лагранжева двойственность
• Двойственность фенхеля

Рекомендации

Этот Прикладная математика -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.