Йео (гиперупругая модель) - Yeoh (hyperelastic model)

Прогноз модели Йео в сравнении с экспериментальными данными для натурального каучука. Параметры модели и экспериментальные данные из PolymerFEM.com

В Ага сверхупругий материал модель^[1] является феноменологической моделью деформации почти несжимаемый, нелинейный эластичный материалы, такие как резинка. Модель основана на Рональда Ривлина наблюдение, что упругие свойства резины можно описать с помощью функция плотности энергии деформации который является степенным рядом в инварианты деформации ${displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}}$ из Тензоры деформации Коши-Грина.^[2] Модель Yeoh для несжимаемой резины является функцией только ${displaystyle I_ {1}}$. Для сжимаемых каучуков зависимость от ${displaystyle I_ {3}}$ добавлен. Поскольку используется полиномиальная форма функции плотности энергии деформации, но не используются все три инварианта левого тензора деформации Коши-Грина, модель Йео также называется моделью Йео. уменьшенный полиномиальная модель.

Модель Yeoh для несжимаемых каучуков

Функция плотности энергии деформации

Первоначальная модель, предложенная Йео, имела кубическую форму только с ${displaystyle I_ {1}}$ зависимость и применима к чисто несжимаемым материалам. Плотность энергии деформации для этой модели записывается как

${displaystyle W = сумма _ {i = 1} ^ {3} C_ {i} ~ (I_ {1} -3) ^ {i}}$

куда ${displaystyle C_ {i}}$ материальные константы. Количество ${displaystyle 2C_ {1}}$ можно интерпретировать как начальный модуль сдвига.

Сегодня используется несколько более обобщенная версия модели Йео.^[3] Эта модель включает ${displaystyle n}$ сроки и записывается как

${displaystyle W = sum _ {i = 1} ^ {n} C_ {i} ~ (I_ {1} -3) ^ {i} ~.}$

Когда ${displaystyle n = 1}$ модель Йео сводится к неогуковская модель для несжимаемых материалов.

Для согласованности с линейная эластичность модель Йео должна удовлетворять условию

${displaystyle 2 {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} (3) = mu ~~ (ieq j)}$

куда ${displaystyle mu}$ это модуль сдвига материала. Теперь на ${displaystyle I_ {1} = 3 (lambda _ {i} = lambda _ {j} = 1)}$,

${displaystyle {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} = C_ {1}}$

Следовательно, условием согласованности модели Йео является

${displaystyle 2C_ {1} = mu,}$

Напряжение-деформация

Напряжение Коши для несжимаемой модели Йео определяется выражением

${displaystyle {oldsymbol {sigma}} = - p ~ {oldsymbol {mathit {1}}} + 2 ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} ~ {oldsymbol {B}} ~; ~~ { cfrac {частичное W} {частичное I_ {1}}} = сумма _ {i = 1} ^ {n} i ~ C_ {i} ~ (I_ {1} -3) ^ {i-1} ~.}$

Одноосное расширение

Для одноосного удлинения в ${displaystyle mathbf {n} _ {1}}$-направление, основные участки находятся ${displaystyle lambda _ {1} = lambda, ~ lambda _ {2} = lambda _ {3}}$. От несжимаемости ${displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$. Следовательно ${displaystyle lambda _ {2} ^ {2} = lambda _ {3} ^ {2} = 1 / lambda}$. Следовательно,

${displaystyle I_ {1} = лямбда _ {1} ^ {2} + лямбда _ {2} ^ {2} + лямбда _ {3} ^ {2} = лямбда ^ {2} + {cfrac {2} {лямбда }} ~.}$

В левый тензор деформации Коши-Грина тогда можно выразить как

${displaystyle {oldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + {cfrac {1} {lambda}} ~ (mathbf {n} _ { 2} otimes mathbf {n} _ {2} + mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3}) ~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${displaystyle sigma _ {11} = - p + 2 ~ lambda ^ {2} ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} ~; ~~ sigma _ {22} = - p + {cfrac {2} {lambda}} ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} = sigma _ {33} ~.}$

С ${displaystyle sigma _ {22} = sigma _ {33} = 0}$, у нас есть

${displaystyle p = {cfrac {2} {lambda}} ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} ~.}$

Следовательно,

${displaystyle sigma _ {11} = 2 ~ left (lambda ^ {2} - {cfrac {1} {lambda}} ight) ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} ~.}$

В инженерное напряжение является ${displaystyle lambda -1,}$. В инженерное напряжение является

${displaystyle T_ {11} = sigma _ {11} / lambda = 2 ~ left (lambda - {cfrac {1} {lambda ^ {2}}} ight) ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}} } ~.}$

Равноосное удлинение

Для равноосного удлинения в ${displaystyle mathbf {n} _ {1}}$ и ${displaystyle mathbf {n} _ {2}}$ направления, основные участки находятся ${displaystyle lambda _ {1} = lambda _ {2} = lambda,}$. От несжимаемости ${displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$. Следовательно ${displaystyle lambda _ {3} = 1 / lambda ^ {2},}$. Следовательно,

${displaystyle I_ {1} = лямбда _ {1} ^ {2} + лямбда _ {2} ^ {2} + лямбда _ {3} ^ {2} = 2 ~ лямбда ^ {2} + {cfrac {1} {лямбда ^ {4}}} ~.}$

В левый тензор деформации Коши-Грина тогда можно выразить как

${displaystyle {oldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {2} otimes mathbf { n} _ {2} + {cfrac {1} {lambda ^ {4}}} ~ mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3} ~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${displaystyle sigma _ {11} = - p + 2 ~ lambda ^ {2} ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} = sigma _ {22} ~; ~~ sigma _ {33} = - p + {cfrac {2} {lambda ^ {4}}} ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} ~.}$

С ${displaystyle sigma _ {33} = 0}$, у нас есть

${displaystyle p = {cfrac {2} {lambda ^ {4}}} ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} ~.}$

Следовательно,

${displaystyle sigma _ {11} = 2 ~ left (lambda ^ {2} - {cfrac {1} {lambda ^ {4}}} ight) ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} = sigma _ {22} ~.}$

В инженерное напряжение является ${displaystyle lambda -1,}$. В инженерное напряжение является

${displaystyle T_ {11} = {cfrac {sigma _ {11}} {lambda}} = 2 ~ left (lambda - {cfrac {1} {lambda ^ {5}}} ight) ~ {cfrac {partial W} { частичный I_ {1}}} = T_ {22} ~.}$

Планарное расширение

Испытания на плоское растяжение проводятся на тонких образцах, которые не могут деформироваться в одном направлении. Для планарного удлинения в ${displaystyle mathbf {n} _ {1}}$ направления с ${displaystyle mathbf {n} _ {3}}$ направление ограничено, основные участки находятся ${displaystyle lambda _ {1} = lambda, ~ lambda _ {3} = 1}$. От несжимаемости ${displaystyle lambda _ {1} ~ lambda _ {2} ~ lambda _ {3} = 1}$. Следовательно ${displaystyle lambda _ {2} = 1 / lambda,}$. Следовательно,

${displaystyle I_ {1} = лямбда _ {1} ^ {2} + лямбда _ {2} ^ {2} + лямбда _ {3} ^ {2} = лямбда ^ {2} + {cfrac {1} {лямбда ^ {2}}} + 1 ~.}$

В левый тензор деформации Коши-Грина тогда можно выразить как

${displaystyle {oldsymbol {B}} = lambda ^ {2} ~ mathbf {n} _ {1} otimes mathbf {n} _ {1} + {cfrac {1} {lambda ^ {2}}} ~ mathbf {n } _ {2} otimes mathbf {n} _ {2} + mathbf {n} _ {3} otimes mathbf {n} _ {3} ~.}$

Если направления главных участков сориентировать с координатными базисными векторами, мы имеем

${displaystyle sigma _ {11} = - p + 2 ~ lambda ^ {2} ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} ~; ~~ sigma _ {22} = - p + {cfrac {2} {lambda ^ {2}}} ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} ~; ~~ sigma _ {33} = - p + 2 ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1} }} ~.}$

С ${displaystyle sigma _ {22} = 0}$, у нас есть

${displaystyle p = {cfrac {2} {lambda ^ {2}}} ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} ~.}$

Следовательно,

${displaystyle sigma _ {11} = 2 ~ left (lambda ^ {2} - {cfrac {1} {lambda ^ {2}}} ight) ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} ~; ~~ sigma _ {22} = 0 ~; ~~ sigma _ {33} = 2 ~ left (1- {cfrac {1} {lambda ^ {2}}} ight) ~ {cfrac {partial W} {partial I_ {1}}} ~.}$

В инженерное напряжение является ${displaystyle lambda -1,}$. В инженерное напряжение является

${displaystyle T_ {11} = {cfrac {sigma _ {11}} {lambda}} = 2 ~ left (lambda - {cfrac {1} {lambda ^ {3}}} ight) ~ {cfrac {partial W} { частичный I_ {1}}} ~.}$

Модель Yeoh для сжимаемых каучуков

Версия модели Йео, которая включает ${displaystyle I_ {3} = J ^ {2}}$ зависимость используется для сжимаемых каучуков. Функция плотности энергии деформации для этой модели записывается как

${displaystyle W = sum _ {i = 1} ^ {n} C_ {i0} ~ ({ar {I}} _ {1} -3) ^ {i} + sum _ {k = 1} ^ {n} C_ {k1} ~ (J-1) ^ {2k}}$

куда ${displaystyle {ar {I}} _ {1} = J ^ {- 2/3} ~ I_ {1}}$, и ${displaystyle C_ {i0}, C_ {k1}}$ материальные константы. Количество ${displaystyle C_ {10}}$ интерпретируется как половина начального модуля сдвига, а ${displaystyle C_ {11}}$ интерпретируется как половина начального модуля объемной упругости.

Когда ${displaystyle n = 1}$ сжимаемая модель Йео сводится к неогуковская модель для несжимаемых материалов.

Рекомендации

Смотрите также

• Гиперупругий материал
• Функция плотности энергии деформации
• Муни-Ривлин твердый
• Теория конечных деформаций
• Стрессовые меры