Абсолютное представление группы - Википедия - Absolute presentation of a group

В математика, абсолютное представление это один из методов определения группа.^[1]

Напомним, что для определения группы ${ Displaystyle G }$ с помощью презентация, один указывает набор ${ Displaystyle S }$ из генераторы так что каждый элемент группы может быть записан как произведение некоторых из этих генераторов и множества ${ Displaystyle R }$ из связи среди тех генераторов. В символах:

${ displaystyle G simeq langle S mid R rangle.}$

Неформально ${ Displaystyle G }$ группа, порожденная множеством ${ Displaystyle S }$ такой, что ${ Displaystyle г = 1 }$ для всех ${ displaystyle r in R}$. Но здесь есть молчаливое предположение который ${ Displaystyle G }$ является самой «свободной» такой группой, поскольку очевидно, что отношения удовлетворяются в любом гомоморфный изображение ${ Displaystyle G }$. Один из способов избавиться от этого неявного предположения - указать, что определенные слова в ${ Displaystyle S }$ не должно быть равно ${ displaystyle 1.}$ То есть мы указываем набор ${ Displaystyle I }$, называется набором несоответствия, так что ${ Displaystyle я neq 1 }$ для всех ${ displaystyle i in I}$.

Формальное определение

Чтобы определить абсолютное представление группы ${ Displaystyle G }$ один определяет набор ${ Displaystyle S }$ генераторов, набор ${ Displaystyle R }$ отношений между этими генераторами и набором ${ Displaystyle I }$ несоответствий между этими генераторами. Затем мы говорим ${ Displaystyle G }$ имеет абсолютное представление

${ displaystyle langle S mid R, I rangle.}$

при условии, что:

1. ${ Displaystyle G }$ имеет презентация ${ displaystyle langle S mid R rangle.}$
2. Учитывая любые гомоморфизм ${ displaystyle h: G rightarrow H}$ такие, что безразличия ${ Displaystyle I }$ удовлетворены в ${ Displaystyle ч (G) }$, ${ Displaystyle G }$ является изоморфный к ${ Displaystyle ч (G) }$.

Более алгебраический, но эквивалентный способ сформулировать условие 2:

2а. если ${ Displaystyle N треугольникleft G }$ нетривиальный нормальная подгруппа из ${ displaystyle G}$ тогда ${ Displaystyle I cap N neq left {1 right }.}$

Замечание: Концепция абсолютного представления оказалась плодотворной в таких областях, как алгебраически замкнутые группы и Топология Григорчука.В литературе, в контексте обсуждения абсолютных представлений, представление (в обычном смысле этого слова) иногда упоминается как относительное представление, который является экземпляром ретроним.

Пример

В циклическая группа порядка 8 есть презентация

${ displaystyle langle a mid a ^ {8} = 1 rangle.}$

Но с точностью до изоморфизма есть еще три группы, которые «удовлетворяют» соотношению ${ Displaystyle а ^ {8} = 1 ,}$ а именно:

${ displaystyle langle a mid a ^ {4} = 1 rangle}$

${ displaystyle langle a mid a ^ {2} = 1 rangle}$ и

${ displaystyle langle a mid a = 1 rangle.}$

Однако ни один из них не удовлетворяет условию ${ Displaystyle а ^ {4} neq 1}$. Итак, абсолютное представление циклической группы порядка 8:

${ displaystyle langle a mid a ^ {8} = 1, a ^ {4} neq 1 rangle.}$

Это часть определения абсолютного представления, что ирреляции не выполняются ни в каком собственном гомоморфном образе группы. Следовательно:

${ displaystyle langle a mid a ^ {8} = 1, a ^ {2} neq 1 rangle}$

Является нет абсолютное представление для циклической группы порядка 8, потому что ирреляция ${ Displaystyle а ^ {2} neq 1}$ в циклической группе порядка 4.

Фон

Понятие абсолютного представления возникает из Бернхард Нойманн исследование проблема изоморфизма за алгебраически замкнутые группы.^[1]

Общая стратегия рассмотрения вопроса о том, могут ли две группы ${ Displaystyle G ,}$ и ${ Displaystyle H ,}$ находятся изоморфный заключается в том, чтобы рассмотреть, можно ли преобразовать презентацию одного в презентацию другого. Однако алгебраически замкнутые группы не являются ни конечно порожденными, ни рекурсивно представленный и поэтому сравнивать их презентации невозможно. Нойманн рассмотрел следующую альтернативную стратегию:

Предположим, мы знаем, что группа ${ Displaystyle G ,}$ с конечным представлением ${ Displaystyle G = langle x_ {1}, x_ {2} mid R rangle}$ вкладывается в алгебраически замкнутую группу ${ Displaystyle G ^ {*} ,}$ затем дана другая алгебраически замкнутая группа ${ Displaystyle Н ^ {*} ,}$, мы можем спросить "Может ли ${ Displaystyle G ,}$ быть встроенным в ${ Displaystyle Н ^ {*} ,}$?"

Вскоре становится очевидным, что презентация для группы не содержит достаточно информации, чтобы принять это решение, пока может быть гомоморфизм. ${ displaystyle h: G rightarrow H ^ {*}}$, этот гомоморфизм не обязательно должен быть вложением. Требуется спецификация для ${ Displaystyle G ^ {*} ,}$ это «вынуждает» любой гомоморфизм, сохраняющий эту спецификацию, быть вложением. Абсолютное представление делает именно это.

Рекомендации