Абсолютное представление группы - Википедия - Absolute presentation of a group

В математика, абсолютное представление это один из методов определения группа.[1]

Напомним, что для определения группы с помощью презентация, один указывает набор из генераторы так что каждый элемент группы может быть записан как произведение некоторых из этих генераторов и множества из связи среди тех генераторов. В символах:

Неформально группа, порожденная множеством такой, что для всех . Но здесь есть молчаливое предположение который является самой «свободной» такой группой, поскольку очевидно, что отношения удовлетворяются в любом гомоморфный изображение . Один из способов избавиться от этого неявного предположения - указать, что определенные слова в не должно быть равно То есть мы указываем набор , называется набором несоответствия, так что для всех .

Формальное определение

Чтобы определить абсолютное представление группы один определяет набор генераторов, набор отношений между этими генераторами и набором несоответствий между этими генераторами. Затем мы говорим имеет абсолютное представление

при условии, что:

  1. имеет презентация
  2. Учитывая любые гомоморфизм такие, что безразличия удовлетворены в , является изоморфный к .

Более алгебраический, но эквивалентный способ сформулировать условие 2:

2а. если нетривиальный нормальная подгруппа из тогда

Замечание: Концепция абсолютного представления оказалась плодотворной в таких областях, как алгебраически замкнутые группы и Топология Григорчука.В литературе, в контексте обсуждения абсолютных представлений, представление (в обычном смысле этого слова) иногда упоминается как относительное представление, который является экземпляром ретроним.

Пример

В циклическая группа порядка 8 есть презентация

Но с точностью до изоморфизма есть еще три группы, которые «удовлетворяют» соотношению а именно:

и

Однако ни один из них не удовлетворяет условию . Итак, абсолютное представление циклической группы порядка 8:

Это часть определения абсолютного представления, что ирреляции не выполняются ни в каком собственном гомоморфном образе группы. Следовательно:

Является нет абсолютное представление для циклической группы порядка 8, потому что ирреляция в циклической группе порядка 4.

Фон

Понятие абсолютного представления возникает из Бернхард Нойманн исследование проблема изоморфизма за алгебраически замкнутые группы.[1]

Общая стратегия рассмотрения вопроса о том, могут ли две группы и находятся изоморфный заключается в том, чтобы рассмотреть, можно ли преобразовать презентацию одного в презентацию другого. Однако алгебраически замкнутые группы не являются ни конечно порожденными, ни рекурсивно представленный и поэтому сравнивать их презентации невозможно. Нойманн рассмотрел следующую альтернативную стратегию:

Предположим, мы знаем, что группа с конечным представлением вкладывается в алгебраически замкнутую группу затем дана другая алгебраически замкнутая группа , мы можем спросить "Может ли быть встроенным в ?"

Вскоре становится очевидным, что презентация для группы не содержит достаточно информации, чтобы принять это решение, пока может быть гомоморфизм. , этот гомоморфизм не обязательно должен быть вложением. Требуется спецификация для это «вынуждает» любой гомоморфизм, сохраняющий эту спецификацию, быть вложением. Абсолютное представление делает именно это.

Рекомендации

  1. ^ а б Б. Нойман, Проблема изоморфизма для алгебраически замкнутых групп, в: Проблемы слов, проблемы решения и проблема Бернсайда в теории групп, Амстердам-Лондон (1973), стр. 553–562.