Гипотеза Айзерманса - Википедия - Aizermans conjecture

В нелинейное управление, Гипотеза Айзермана или же Проблема Айзермана утверждает, что линейная система с обратной связью с секторной нелинейностью будет стабильной, если линейная система устойчива при любом линейном усилении сектора. Эта гипотеза оказалась ложной, но привела к (действительному) достаточные критерии абсолютной устойчивости.

Математическая формулировка гипотезы Айзермана (проблема Айзермана)

Рассмотрим систему с одной скалярной нелинейностью

${ displaystyle { frac {dx} {dt}} = Px + qf (e), quad e = r ^ {*} x quad x in mathbb {R} ^ {n},}$

где P - постоянная n × n-матрица, q, r - постоянные n-мерные векторы, ∗ - операция транспонирования, f (e) - скалярная функция и f (0) = 0. Предположим, что нелинейность f ограничена сектором, что означает, что для некоторого действительного ${ displaystyle k_ {1}}$ и ${ displaystyle k_ {2}}$ с ${ displaystyle k_ {1}$, функция ${ displaystyle f}$ удовлетворяет

${ displaystyle k_ {1} <{ frac {f (e)} {e}}$

Тогда гипотеза Айзермана состоит в том, что система устойчива в целом (т.е. единственная стационарная точка является глобальной. аттрактор ), если все линейные системы с f (e) = ke, k ∈ (k1, k2) асимптотически устойчивы.

Существуют контрпримеры к гипотезе Айзермана, такие, что нелинейность принадлежит сектору линейной устойчивости и единственное устойчивое равновесие сосуществует с устойчивым периодическим решением:скрытое колебание.^[1][2][3][4]

Гипотеза Айзермана усиливается. Гипотеза Кальмана (или же Проблема калмана ) где вместо условия на нелинейность требуется, чтобы производная нелинейности принадлежала сектору линейной устойчивости.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Atherton, D.P .; Сюрис, Г. (1977). «Техника нелинейного управления». IEEE Transactions по системам, человеку и кибернетике. 7 (7): 567–568. Дои:10.1109 / TSMC.1977.4309773.

внешняя ссылка

• «Контрпримеры к гипотезам Айзермана и Калмана и описывающий метод функций» (PDF).