Сумма аликвот - Википедия - Aliquot sum

В теория чисел, то аликвотная сумма s(п) из положительное число п это сумма всех надлежащих делители из п, то есть все делители п Кроме как п сам. Его можно использовать для характеристики простые числа, идеальные числа, дефицитные номера, обильные числа, и неприкасаемые числа, и определить аликвотная последовательность числа.

Примеры

Например, правильные делители 15 (то есть положительные делители 15, которые не равны 15) равны 1, 3 и 5, поэтому аликвотная сумма 15 равна 9, то есть (1 + 3 + 5).

Ценности s(п) за п = 1, 2, 3, ... являются:

0, 1, 1, 3, 1, 6, 1, 7, 4, 8, 1, 16, 1, 10, 9, 15, 1, 21, 1, 22, 11, 14, 1, 36, 6, 16, 13, 28, 1, 42, 1, 31, 15, 20, 13, 55, 1, 22, 17, 50, 1, 54, 1, 40, 33, 26, 1, 76, 8, 43, ... (последовательность A001065 в OEIS )

Характеристика классов чисел

Поллак и Померанс (2016) напишите, что функция аликвотной суммы была одной из Пол Эрдёш «Любимые предметы расследования». Его можно использовать для характеристики нескольких известных классов чисел:

  • 1 - единственное число, аликвотная сумма которого равна 0. Число основной тогда и только тогда, когда его аликвотная сумма равна 1.[1]
  • Аликвотные суммы идеально, неполноценный, и обильный числа равны, меньше и больше, чем само число соответственно.[1] В квазиидеальные числа (если такие числа существуют) - это числа п чьи аликвотные суммы равны п + 1. почти идеальные числа (которые включают в себя степени двойки, которые пока являются единственными известными такими числами) - это числа п чьи аликвотные суммы равны п − 1.
  • В неприкасаемые числа - числа, которые не являются аликвотной суммой любого другого числа. Их исследование восходит, по крайней мере, к Абу Мансур аль-Багдади (около 1000 г. н.э.), который заметил, что и 2, и 5 неприкасаемы.[1][2] Эрдеш доказал, что их число бесконечно.[3] Гипотеза о том, что 5 - единственное нечетное неприкосновенное число, остается недоказанной, но может вытекать из формы Гипотеза Гольдбаха вместе с наблюдением, что для полупростое число pq, аликвотная сумма равна п + q + 1.[1]

Итерация

Основная статья: Последовательность аликвот

Итерация функция аликвотной суммы дает аликвотная последовательность п, s(п), s(s(п)), ... неотрицательного целого числа п (в этой последовательности определим s(0) = 0). Остается неизвестным, всегда ли эти последовательности сходиться (предел последовательности должен быть 0 или идеальное число ), или могут ли они расходиться (т.е. предел последовательности не существует).[1]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d е Поллак, Пол; Померанс, Карл (2016), «Некоторые проблемы Эрдеша о функции суммы делителей», Труды Американского математического общества, Серия B, 3: 1–26, Дои:10.1090 / btran / 10, МИСТЕР  3481968
  2. ^ Сесиано, Дж. (1991), "Две проблемы теории чисел в исламские времена", Архив истории точных наук, 41 (3): 235–238, Дои:10.1007 / BF00348408, JSTOR  41133889, МИСТЕР  1107382
  3. ^ Эрдеш, П. (1973), "Über die Zahlen der Form унд " (PDF), Elemente der Mathematik, 28: 83–86, МИСТЕР  0337733

внешняя ссылка