Альфа-бета-фильтр - Alpha beta filter

An альфа бета фильтр (также называемый альфа-бета-фильтром, f-g-фильтром или g-h фильтром^[1]) - это упрощенная форма наблюдатель для приложений оценки, сглаживания данных и управления. Это тесно связано с Фильтры Калмана и к линейным наблюдателям состояния, используемым в теория управления. Его главное преимущество в том, что он не требует детальной модели системы.

Уравнения фильтра

Альфа-бета-фильтр предполагает, что система адекватно аппроксимируется моделью, имеющей два внутренних состояния, где первое состояние получается путем интегрирования значения второго состояния во времени. Измеренные выходные значения системы соответствуют наблюдениям за первым состоянием модели плюс возмущения. Это приближение очень низкого порядка подходит для многих простых систем, например механических систем, в которых положение определяется как интеграл скорости от времени. Основываясь на аналогии с механической системой, эти два состояния можно назвать позиция x и скорость v. Предполагая, что скорость остается примерно постоянной в течение небольшого промежутка времени ΔT между измерениями состояние положения проецируется вперед для прогнозирования его значения в следующий момент выборки с использованием уравнения 1.

{displaystyle {ext {(1)}} quad {hat {extbf {x}}} _ {k} leftarrow {hat {extbf {x}}} _ {k-1} + Delta {extrm {T}} {extbf {}} {шляпа {extbf {v}}} _ {k-1}}

Поскольку переменная скорости v считается постоянным, его прогнозируемое значение в следующий момент выборки равно текущему значению.

{displaystyle {ext {(2)}} quad {hat {extbf {v}}} _ {k} leftarrow {hat {extbf {v}}} _ {k-1}}

Если известна дополнительная информация о том, как функция вождения изменит v состояние в течение каждого временного интервала, уравнение 2 может быть изменено, чтобы включить его.

Ожидается, что выходное измерение будет отклоняться от прогноза из-за шума и динамических эффектов, не включенных в упрощенную динамическую модель. Эта ошибка прогноза р также называется остаточный или же инновации, основанный на статистической интерпретации или интерпретации фильтрации Калмана

{displaystyle {ext {(3)}} quad {hat {extbf {r}}} _ {k} leftarrow {extbf {x}} _ {k} - {hat {extbf {x}}} _ {k}}

Предположим, что невязка р положительный. Это могло произойти из-за того, что предыдущий Икс оценка была низкой, предыдущая v было низким, или их комбинацией. Альфа-бета-фильтр принимает выбранные альфа и бета константы (от которых фильтр получил свое название), использует альфа раз отклонение р для корректировки оценки местоположения и использует бета раз отклонение р для корректировки оценки скорости. Дополнительный ΔT Фактор условно служит для нормализации величин множителей.

{displaystyle {ext {(4)}} quad {hat {extbf {x}}} _ {k} leftarrow {hat {extbf {x}}} _ {k} + (alpha) {hat {extbf {r}} } _ {k}}

{displaystyle {ext {(5)}} quad {hat {extbf {v}}} _ {k} leftarrow {hat {extbf {v}}} _ {k} + (eta / [Delta {extrm {T}} ]) {hat {extbf {r}}} _ {k}}

Поправки можно рассматривать как небольшие шаги по оценке направления градиента. По мере накопления этих корректировок ошибка в оценках состояния уменьшается. Для сходимости и устойчивости значения альфа и бета множители должны быть положительными и небольшими:^[2]

{displaystyle quad 0 <альфа <1}

{displaystyle quad 0

{displaystyle quad 0 <4-2alpha - eta}

Шум подавляется, только если ${displaystyle 0$ , в противном случае шум усиливается.

Ценности альфа и бета обычно корректируются экспериментально. В общем, больше альфа и бета прирост, как правило, дает более быстрый отклик для отслеживания переходных изменений, в то время как меньший альфа и бета Прирост снижает уровень шума при оценке состояния. Если найден хороший баланс между точным отслеживанием и уменьшением шума и алгоритм эффективен, отфильтрованные оценки будут более точными, чем прямые измерения. Это мотивирует называть процесс альфа-бета фильтр.

Сводка алгоритма

Инициализировать.

Установить начальные значения оценок состояния Икс и v, используя предварительную информацию или дополнительные измерения; в противном случае установите значения начального состояния равными нулю.
Выберите значения альфа и бета коррекция выигрыша.

Обновлять. Повторите для каждого временного шага ΔT:

  Оценки состояния проекта x и v с использованием уравнений 1 и 2 Получить текущее измерение выходного значения Вычислить остаток r с помощью уравнения 3 Исправить оценки состояния с помощью уравнений 4 и 5 Отправить обновленные x и, при необходимости, v в качестве выходных данных фильтра

Пример программы

Фильтр Alpha Beta может быть реализован в C^[3] следующее:

#включают <stdio.h>#включают <stdlib.h>int главный(){	плавать dt = 0.5;	плавать xk_1 = 0, vk_1 = 0, а = 0.85, б = 0.005;	плавать xk, vk, rk;	плавать хм;	пока (1)	{		хм = ранд() % 100; // входной сигнал		xk = xk_1 + (vk_1 * dt);		vk = vk_1;		rk = хм - xk;		xk += а * rk;		vk += (б * rk) / dt;		xk_1 = xk;		vk_1 = vk;		printf("% f 	 % f", хм, xk_1);		спать(1);	}}

Результат

Следующие изображения отображают результат вышеупомянутой программы в графическом формате. На каждом изображении синяя кривая - это входной сигнал; вывод будет красным на первом изображении, желтым на втором и зеленым на третьем. Для первых двух изображений выходной сигнал заметно более гладкий, чем входной, и не имеет резких всплесков, наблюдаемых на входе. Кроме того, выход перемещается на оценку градиент направление ввода.

Чем выше параметр альфа, тем выше эффект ввода Икс и тем меньше видно демпфирования. Низкое значение бета эффективно для контроля внезапных скачков скорости. Кроме того, когда альфа превышает единицу, выходной сигнал становится более грубым и неравномерным, чем входной.^[3]

Результаты для альфа = 0,85 и бета = 0,005	Результаты для альфа = 0,5 и бета = 0,1	Результаты для альфа = 1,5 и бета = 0,5

Отношения с общегосударственными наблюдателями

Более общие государственные наблюдатели, такие как Наблюдатель Люенбергера для линейных систем управления используйте строгую системную модель. Линейные наблюдатели используют матрицу усиления для определения поправок к оценке состояния на основе множественных отклонений между измеренными переменными и прогнозируемыми выходными данными, которые представляют собой линейные комбинации переменных состояния. В случае альфа-бета-фильтров эта матрица усиления сокращается до двух членов. Не существует общей теории для определения наилучшего коэффициента усиления наблюдателя, и обычно коэффициенты усиления корректируются экспериментально для обоих.

Линейный Люенбергер уравнения наблюдателя сократить до альфа-бета-фильтра, применив следующие специализации и упрощения.

Дискретная матрица перехода состояний А представляет собой квадратную матрицу размерности 2, в которой все основные диагональные члены равны 1, а первые супердиагональные члены равны ΔT.
Матрица уравнения наблюдения C имеет одну строку, которая выбирает значение первой переменной состояния для вывода.
Матрица усиления коррекции фильтра L имеет один столбец, содержащий значения усиления альфа и бета.
Любой известный управляющий сигнал для второго члена состояния представлен как часть вектора входного сигнала. ты, иначе ты вектор установлен в ноль.
Матрица входной связи B имеет ненулевой член усиления в качестве последнего элемента, если вектор ты не равно нулю.

Связь с фильтрами Калмана

А Фильтр Калмана оценивает значения переменных состояния и корректирует их аналогично альфа-бета-фильтру или наблюдателю состояния. Однако фильтр Калмана делает это гораздо более формально и строго. Основные различия между фильтрами Калмана и альфа-бета-фильтрами заключаются в следующем.

Как и наблюдатели состояния, фильтры Калмана используют подробную динамическую модель системы, которая не ограничивается двумя состояниями.
Как и наблюдатели состояния, фильтры Калмана обычно используют несколько наблюдаемых переменных для корректировки оценок переменных состояния, и это не обязательно должны быть прямые измерения отдельных состояний системы.
Фильтр Калмана использует ковариационные модели шума для состояний и наблюдений. Используя их, зависящая от времени оценка ковариации состояния обновляется автоматически, и на основании этого Кальман усиление вычисляются матричные члены. Коэффициенты усиления фильтра альфа-бета выбираются вручную и статичны.
Для некоторых классов задач фильтр Калмана Винер оптимальный, в то время как альфа-бета-фильтрация в целом неоптимальна.

Фильтр Калмана, предназначенный для отслеживания движущегося объекта с использованием целевой динамики (процесса) модели с постоянной скоростью (т. Е. Постоянной скорости между обновлениями измерений) с постоянной ковариацией шума процесса и постоянной ковариацией измерений, будет сходиться к той же структуре, что и альфа-бета-фильтр. . Однако коэффициент усиления фильтра Калмана вычисляется рекурсивно на каждом временном шаге с использованием предполагаемого процесса и статистики ошибок измерения, тогда как коэффициент усиления альфа-бета вычисляется произвольно.

Выбор параметров

Альфа-бета-фильтр становится стационарным фильтром Калмана, если параметры фильтра вычисляются из интервала выборки. ${displaystyle T}$ , дисперсия процесса ${displaystyle sigma _ {w} ^ {2}}$ и дисперсия шума ${displaystyle sigma _ {v} ^ {2}}$ так^[4]^[5]

{displaystyle lambda = {frac {sigma _ {w} T ^ {2}} {sigma _ {v}}}}

{displaystyle r = {frac {4 + lambda - {sqrt {8lambda + lambda ^ {2}}}} {4}}}

{displaystyle alpha = 1-r ^ {2}}

{displaystyle eta = 2left (2-alpha ight) -4 {sqrt {1-alpha}}}

Такой выбор параметров фильтра сводит к минимуму среднеквадратичную ошибку.

Устойчивое состояние инновационной дисперсии ${displaystyle s}$ можно выразить как:

{displaystyle s = {frac {sigma _ {v} ^ {2}} {1-alpha ^ {2}}}}

Вариации

Альфа-фильтр

Более простым членом этого семейства фильтров является альфа-фильтр, который отслеживает только одно состояние:

{displaystyle {hat {extbf {x}}} _ {k} leftarrow {hat {extbf {x}}} _ {k} + (alpha) {hat {extbf {r}}} _ {k}}

с оптимальным параметром, рассчитываемым следующим образом:^[4]

{displaystyle {egin {align} lambda & = {frac {sigma _ {w} T ^ {2}} {sigma _ {v}}} alpha & = {frac {-lambda ^ {2} + {sqrt {lambda) ^ {4} + 16 лямбда ^ {2}}}} {8}} конец {выровнено}}}

Этот расчет идентичен для скользящая средняя и фильтр нижних частот.

Альфа-бета-гамма-фильтр

Когда вторая переменная состояния изменяется быстро, то есть когда ускорение первого состояния велико, может быть полезно расширить состояния альфа-бета-фильтра на один уровень. В этом расширении вторая переменная состояния v получается интегрированием третьего ускорение состояние аналогично тому, как первое состояние получается путем интегрирования второго. Уравнение для а состояние добавляется в систему уравнений. Третий множитель, гамма, выбран для внесения исправлений в новый а государственные оценки. Это дает альфа бета гамма обновить уравнения.^[1]

{displaystyle {hat {extbf {x}}} _ {k} leftarrow {hat {extbf {x}}} _ {k} + (alpha) {extbf {r}} _ {k}}

{displaystyle {hat {extbf {v}}} _ {k} leftarrow {hat {extbf {v}}} _ {k} + (eta / [Delta {extrm {T}}]) {extbf {r}} _ {k}}

{displaystyle {hat {extbf {a}}} _ {k} leftarrow {hat {extbf {a}}} _ {k} + (2gamma / [Delta {extrm {T}}] ^ {extrm {2}}) {extbf {r}} _ {k}}

Возможны аналогичные расширения для дополнительных более высоких порядков, но большинство систем более высокого порядка, как правило, имеют значительные взаимодействия между несколькими состояниями,^{[нужна цитата ]} поэтому аппроксимация динамики системы в виде простой цепочки интеграторов вряд ли окажется полезной.

Расчет оптимальных параметров для альфа-бета-гамма-фильтра немного сложнее, чем для альфа-бета-фильтра:^[5]

{displaystyle {egin {align} lambda & = {frac {sigma _ {w} T ^ {2}} {sigma _ {v}}} [2ex] b & = {frac {lambda} {2}} - 3 c & = {frac {lambda} {2}} + 3 d & = - 1 p & = c- {frac {b ^ {2}} {3}} q & = {frac {2b ^ {3}} {27 }} - {frac {bc} {3}} + d v & = {sqrt {q ^ {2} + {frac {4p ^ {3}} {27}}}} z & = - {sqrt [{3 }] {q + {frac {v} {2}}}} s & = z- {frac {p} {3z}} - {frac {b} {3}} [2ex] alpha & = 1-s ^ {2} eta & = 2 (1-s) ^ {2} gamma & = {frac {eta ^ {2}} {2alpha}} конец {выровнено}}}

Смотрите также

внешняя ссылка

[Brookner-1] а ^б Эли Брукнер: Отслеживание и фильтрация Калмана стало проще. Wiley-Interscience, 1-е издание, 4, 1998 г.

[2] К. Фрэнк Асквит: Выбор веса в линейных фильтрах первого порядка. Технический отчет, Армейский Центр Лаборатории наведения и управления, Арсенал Редстоун, Алабама, 1969. https://doi.org/10.21236/ad0859332

[ReferenceA-3] а ^б Подавление тремора в портативных микрохирургических устройствах, TC83 Гаурав Миттал, Дипанш Сегал и Харсимран Джит Сингх, Пенджабский инженерный колледж

[Kalata-4] а ^б Пол Р. Калата: Индекс слежения: обобщенный параметр для трекеров-мишеней α-β и α-β-γ. IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам, AES-20 (2): 174–181, март 1984 г.

[GrayMurray-5] а ^б Дж. Э. Грей и У. Дж. Мюррей: вывод аналитического выражения для индекса отслеживания для альфа-бета-гамма-фильтра. IEEE Trans. по аэрокосмическим и электронным системам, 29: 1064–1065, 1993.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]