Теорема о коммивояжере для аналитиков - Википедия - Analysts traveling salesman theorem

В задача коммивояжера аналитика является аналогом задача коммивояжера в комбинаторная оптимизация. В своей простейшей и оригинальной форме он спрашивает, при каких условиях может E в двухмерном Евклидово пространство содержаться внутри выпрямляемая кривая конечной длины. Таким образом, в то время как в исходной задаче коммивояжера требуется кратчайший путь для посещения каждой вершины графа дискретным путем, эта аналитическая версия требует, чтобы кривая посетила, возможно, бесконечно много точек.

β-числа

A posteriori, для E содержаться в спрямляемой кривой Γ, поскольку Γ имеет касательные в ЧАС1-почти каждая точка в Γ (где ЧАС1 обозначает одномерный Мера Хаусдорфа ), E должен смотреть плоский когда вы приближаете точки в E. Это говорит о том, что условие, которое скажет нам, может ли набор содержаться в кривой, должно каким-то образом включать информацию о том, насколько плоский E это когда мы приближаем точки E в разных масштабах.

Это обсуждение мотивирует определение следующей величины:

Где Q это любой квадрат, это сторона Q, и расст (ИксL) измеряет расстояние от Икс к линии L. Интуитивно ширина наименьшего прямоугольника, содержащего часть E внутри Q, и поэтому дает нам масштабно-инвариантное понятие плоскостность.

Теорема Джонса о коммивояжере в R2

Обозначим через Δ набор диадических квадратов, т. Е.

куда обозначает набор целых чисел. Для набора , определять

где диаметр E это диаметр из E. потом Питер Джонс с[1] Теорема коммивояжера аналитика может быть сформулирована следующим образом:

  • Есть номер C > 0 такой, что всякий раз, когда E это набор с таким, что β(E) < ∞, E может содержаться в кривой длиной не более (E).
  • Наоборот (что значительно труднее доказать), если Γ - спрямляемая кривая, то β(Γ) 1(Γ).

Обобщения и кривизна Менгера

Евклидово пространство и гильбертово пространство

Доказано, что теорема о коммивояжере верна в общих евклидовых пространствах. Кейт Окикиолу,[2] то есть та же теорема выше верна для множеств , d > 1, где Δ теперь набор диадических кубов в определяется аналогично диадическим квадратам. В ее доказательстве постоянная C растет экспоненциально с размерностьюd.

С некоторыми небольшими изменениями в определении β(E), Раанан Шуль[3] показал, что теорема о коммивояжере верна и для множеств E что ложь в любом Гильбертово пространство, и, в частности, следует теоремы Джонса и Окикиолу, где теперь постоянная C не зависит от размерности. (В частности, это предполагает использование β-число шариков вместо кубиков).

Кривизна Менгера и метрические пространства

Hahlomaa[4] дополнительно скорректировал определение β(E), чтобы получить условие, когда набор E произвольного метрическое пространство может содержаться в Липшиц -изображение подмножества положительной меры. Для этого ему пришлось пересмотреть определение понятия β-числа с использованием кривизна Менгера (поскольку в метрическом пространстве не обязательно есть понятие куба или прямой).

Искривление по Менгеру, как и в предыдущем примере, может использоваться для получения численных оценок, которые определяют, содержит ли набор исправляемое подмножество, и доказательства этих результатов часто зависят от β-числа.

Теорема Данжуа – Рисса

В Теорема Данжуа – Рисса дает общие условия, при которых точечное множество покрывается гомеоморфным образом кривой. Это верно, в частности, для всякого компакта полностью отключен подмножество евклидовой плоскости. Однако может оказаться необходимым, чтобы такая дуга имела бесконечную длину, что не соответствует условиям теоремы коммивояжера аналитика.

Рекомендации

  1. ^ Джонс, Питер (1990). «Выпрямляемые множества и задача коммивояжера». Inventiones Mathematicae. 102: 1–15. Bibcode:1990InMat.102 .... 1J. Дои:10.1007 / BF01233418.
  2. ^ Окикиолу, Кейт (1992). «Характеризация подмножеств спрямляемых кривых в Rn». Журнал Лондонского математического общества. 46 (2): 336–348. Дои:10.1112 / jlms / s2-46.2.336.
  3. ^ Шуль, Раанан (2007). «Подмножества спрямляемых кривых в гильбертовом пространстве - TSP аналитика». Журнал д'анализа математика. 103: 331–375. arXiv:математика / 0602675. Дои:10.1007 / s11854-008-0011-у.
  4. ^ Хахломаа, Иммо (2005). «Кривизна Менгера и липшицевы параметризации в метрических пространствах». Фонд. Математика. 185 (2): 143–169. Дои:10.4064 / FM185-2-3.