Теорема о коммивояжере для аналитиков - Википедия - Analysts traveling salesman theorem

В задача коммивояжера аналитика является аналогом задача коммивояжера в комбинаторная оптимизация. В своей простейшей и оригинальной форме он спрашивает, при каких условиях может E в двухмерном Евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ содержаться внутри выпрямляемая кривая конечной длины. Таким образом, в то время как в исходной задаче коммивояжера требуется кратчайший путь для посещения каждой вершины графа дискретным путем, эта аналитическая версия требует, чтобы кривая посетила, возможно, бесконечно много точек.

β-числа

A posteriori, для E содержаться в спрямляемой кривой Γ, поскольку Γ имеет касательные в ЧАС¹-почти каждая точка в Γ (где ЧАС¹ обозначает одномерный Мера Хаусдорфа ), E должен смотреть плоский когда вы приближаете точки в E. Это говорит о том, что условие, которое скажет нам, может ли набор содержаться в кривой, должно каким-то образом включать информацию о том, насколько плоский E это когда мы приближаем точки E в разных масштабах.

Это обсуждение мотивирует определение следующей величины:

${ displaystyle beta _ {E} (Q) = { frac {1} { ell (Q)}} inf { delta: { text {есть линия}} L { text {так что для каждого}} x в E cap Q, ; { text {dist}} (x, L) < delta },}$

Где Q это любой квадрат, ${ Displaystyle ell (Q)}$ это сторона Q, и расст (Икс, L) измеряет расстояние от Икс к линии L. Интуитивно ${ Displaystyle 2 бета _ {E} (Q) ell (Q)}$ ширина наименьшего прямоугольника, содержащего часть E внутри Q, и поэтому ${ displaystyle beta _ {E} (Q)}$ дает нам масштабно-инвариантное понятие плоскостность.

Теорема Джонса о коммивояжере в R²

Обозначим через Δ набор диадических квадратов, т. Е.

${ displaystyle Delta = {[i2 ^ {k}, (i + 1) 2 ^ {k}] times [j2 ^ {k}, (j + 1) 2 ^ {k}]: i, j , к in mathbb {Z} },}$

куда ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ обозначает набор целых чисел. Для набора ${ Displaystyle E substeq mathbb {R} ^ {2}}$, определять

${ displaystyle beta (E) = { text {diam}} E + sum _ {Q in Delta} beta _ {E} (3Q) ^ {2} ell (Q)}$

где диаметр E это диаметр из E. потом Питер Джонс с^[1] Теорема коммивояжера аналитика может быть сформулирована следующим образом:

• Есть номер C > 0 такой, что всякий раз, когда E это набор с таким, что β(E) < ∞, E может содержаться в кривой длиной не более Cβ(E).
• Наоборот (что значительно труднее доказать), если Γ - спрямляемая кривая, то β(Γ) 1(Γ).

Обобщения и кривизна Менгера

Евклидово пространство и гильбертово пространство

Доказано, что теорема о коммивояжере верна в общих евклидовых пространствах. Кейт Окикиолу,^[2] то есть та же теорема выше верна для множеств ${ Displaystyle E substeq mathbb {R} ^ {d}}$, d > 1, где Δ теперь набор диадических кубов в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ определяется аналогично диадическим квадратам. В ее доказательстве постоянная C растет экспоненциально с размерностьюd.

С некоторыми небольшими изменениями в определении β(E), Раанан Шуль^[3] показал, что теорема о коммивояжере верна и для множеств E что ложь в любом Гильбертово пространство, и, в частности, следует теоремы Джонса и Окикиолу, где теперь постоянная C не зависит от размерности. (В частности, это предполагает использование β-число шариков вместо кубиков).

Кривизна Менгера и метрические пространства

Hahlomaa^[4] дополнительно скорректировал определение β(E), чтобы получить условие, когда набор E произвольного метрическое пространство может содержаться в Липшиц -изображение подмножества ${ Displaystyle А substeq mathbb {R}}$ положительной меры. Для этого ему пришлось пересмотреть определение понятия β-числа с использованием кривизна Менгера (поскольку в метрическом пространстве не обязательно есть понятие куба или прямой).

Искривление по Менгеру, как и в предыдущем примере, может использоваться для получения численных оценок, которые определяют, содержит ли набор исправляемое подмножество, и доказательства этих результатов часто зависят от β-числа.

Теорема Данжуа – Рисса

В Теорема Данжуа – Рисса дает общие условия, при которых точечное множество покрывается гомеоморфным образом кривой. Это верно, в частности, для всякого компакта полностью отключен подмножество евклидовой плоскости. Однако может оказаться необходимым, чтобы такая дуга имела бесконечную длину, что не соответствует условиям теоремы коммивояжера аналитика.

Рекомендации