Теорема Андерсона - Википедия - Andersons theorem

В математика, Андерсона теорема это результат реальный анализ и геометрия который говорит, что интеграл интегрируемой симметричной унимодальной неотрицательной функции ж над п-размерный выпуклое тело K не уменьшается, если K переводится внутрь к исходной точке. Это естественное утверждение, поскольку график из ж можно представить себе как холм с единственной вершиной над началом; однако для п ≥ 2, доказательство не совсем очевидно, так как могут быть точки Икс тела K где значение ж(Икс) больше, чем на соответствующем трансляте Икс.

Теорема Андерсона также имеет интересное приложение к теория вероятности.

Формулировка теоремы

Позволять K быть выпуклым телом в п-размерный Евклидово пространство р^п то есть симметричный относительно отражения в начале координат, т.е. K = −K. Позволять ж : р^п → р быть не-отрицательный, симметричная, глобально интегрируемая функция; т.е.

• ж(Икс) ≥ 0 для всех Икс ∈ р^п;
• ж(Икс) = ж(−Икс) для всех Икс ∈ р^п;
• ${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} f (x) , mathrm {d} x <+ infty.}$

Предположим также, что супер-наборы уровней L(ж, т) из ж, определяется

${ Displaystyle L (е, т) = {х в mathbb {R} ^ {n} | е (х) geq t },}$

находятся выпуклые подмножества из р^п для каждого т ≥ 0. (Это свойство иногда называют одномодальный.) Тогда для любого 0 ≤c ≤ 1 и у ∈ р^п,

${ displaystyle int _ {K} f (x + cy) , mathrm {d} x geq int _ {K} f (x + y) , mathrm {d} x.}$

Приложение к теории вероятностей

Учитывая вероятностное пространство (Ω, Σ, Pr), предположим, что Икс : Ω →р^п является р^п-значен случайная переменная с функция плотности вероятности ж : р^п → [0, + ∞) и что Y : Ω →р^п является независимый случайная переменная. Функции плотности вероятности многих хорошо известных распределений вероятностей: п-вогнутый для некоторых п, и, следовательно, одномодальный. Если они также симметричны (например, Лаплас и нормальные распределения ), то применима теорема Андерсона, и в этом случае

${ Displaystyle Pr (Икс в К) geq Pr (Х + Y в К)}$

для любого выпуклого тела, симметричного относительно начала координат K ⊆ р^п.

Рекомендации

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна-Минковского». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 39 (3): 355–405 (электронный). Дои:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.