Преобразование Анскомба - Anscombe transform

Стандартное отклонение преобразованной пуассоновской случайной величины как функции среднего ${displaystyle m}$.

В статистика, то Преобразование Анскомба, названный в честь Фрэнсис Анскомб, это преобразование, стабилизирующее дисперсию что преобразует случайная переменная с распределение Пуассона в один с примерно стандартным Гауссово распределение. Преобразование Анскомба широко используется в визуализации с ограничением фотонов (астрономия, рентгеновские лучи), где изображения естественным образом подчиняются закону Пуассона. Преобразование Анскомба обычно используется для предварительной обработки данных, чтобы стандартное отклонение примерно постоянный. потом шумоподавление алгоритмы, разработанные в рамках аддитивный белый гауссов шум используются; окончательная оценка затем получается путем применения обратного преобразования Анскомба к шумоподавленным данным.

Определение

Для распределение Пуассона значение ${displaystyle m}$ и дисперсия ${displaystyle v}$ не являются независимыми: ${displaystyle m = v}$. Преобразование Анскомба^[1]

${displaystyle A: xmapsto 2 {sqrt {x + {frac {3} {8}}}},}$

направлен на преобразование данных таким образом, чтобы для достаточно большого среднего значения дисперсия была равна приблизительно 1; для нулевого среднего дисперсия все еще равна нулю.

Преобразует пуассоновские данные ${displaystyle x}$ (со средним ${displaystyle m}$) к приблизительно гауссовым данным среднего ${displaystyle 2 {sqrt {m + {frac {3} {8}}}} - {frac {1} {4, m ^ {1/2}}} + Oleft ({frac {1} {m ^ {3 / 2}}} ight)}$ и стандартное отклонение ${displaystyle 1 + Oleft ({frac {1} {m ^ {2}}} ight)}$. Это приближение хорошо при условии, что ${displaystyle m}$ больше 4.^[2]

Для преобразованной переменной вида ${displaystyle 2 {sqrt {x + c}}}$, выражение для дисперсии имеет дополнительный член ${displaystyle {frac {{frac {3} {8}} - c} {m}}}$; он уменьшается до нуля при ${displaystyle c = {frac {3} {8}}}$, что и является причиной выбора этого значения.

Инверсия

Когда преобразование Анскомба используется в шумоподавлении (т.е. когда цель состоит в том, чтобы получить от ${displaystyle x}$ оценка ${displaystyle m}$), его обратное преобразование также необходимо для возврата данных со стабилизацией дисперсии и шумоподавлением. ${displaystyle y}$ к исходному диапазону. алгебраический обратный

${displaystyle A ^ {- 1}: ymapsto left ({frac {y} {2}} ight) ^ {2} - {frac {3} {8}}}$

обычно вводит нежелательные предвзятость к оценке среднего ${displaystyle m}$, потому что прямое преобразование квадратного корня не линейный. Иногда используют асимптотически несмещенную обратную^[1]

${displaystyle ymapsto left ({frac {y} {2}} ight) ^ {2} - {frac {1} {8}}}$

смягчает проблему смещения, но это не относится к фотонно-ограниченной визуализации, для которой точная несмещенная обратная величина, заданная неявным отображением^[3]

${displaystyle operatorname {E} left [2 {sqrt {x + {frac {3} {8}}}} mid might] = 2sum _ {x = 0} ^ {+ infty} left ({sqrt {x + {frac {3) } {8}}}} cdot {frac {m ^ {x} e ^ {- m}} {x!}} Ight) mapsto m}$

должен быть использован. А закрытая форма аппроксимация этого точного несмещенного обратного^[4]

${displaystyle ymapsto {frac {1} {4}} y ^ {2} - {frac {1} {8}} + {frac {1} {4}} {sqrt {frac {3} {2}}} y ^ {- 1} - {frac {11} {8}} y ^ {- 2} + {frac {5} {8}} {sqrt {frac {3} {2}}} y ^ {- 3}. }$

Альтернативы

Есть много других возможных преобразований, стабилизирующих дисперсию для распределения Пуассона. Отчет Бар-Лев и Энис^[5] семейство таких преобразований, которое включает преобразование Анскомба. Другой член семейства - преобразование Фримена-Тьюки.^[6]

${displaystyle A: xmapsto {sqrt {x + 1}} + {sqrt {x}}.,}$

Упрощенное преобразование, полученное как примитив обратной величины стандартного отклонения данных, является

${displaystyle A: xmapsto 2 {sqrt {x}},}$

который, хотя и не так хорош для стабилизации дисперсии, имеет то преимущество, что его легче понять.

${displaystyle V [2 {sqrt {x}}] примерно влево ({frac {d (2 {sqrt {m}})} {dm}} ight) ^ {2} V [x] = left ({frac {1 } {sqrt {m}}} ight) ^ {2} m = 1}$.

Обобщение

Хотя преобразование Анскомба подходит для чистых пуассоновских данных, во многих приложениях данные также представляют собой аддитивный гауссовский компонент. Эти случаи обрабатываются обобщенным преобразованием Анскомба.^[7] и его асимптотически несмещенные или точные несмещенные обратные.^[8]

Смотрите также

• Преобразование, стабилизирующее отклонение
• Преобразование Бокса – Кокса

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Starck, J.-L .; Murtagh, F. (2001), "Астрономические изображения и обработка сигналов: анализ шума, информации и масштаба", Журнал обработки сигналов, IEEE, 18 (2), стр. 30–40, Bibcode:2001ISPM ... 18 ... 30S, Дои:10.1109/79.916319