Артин дирижер - Artin conductor

В математика, то Артин дирижер это число или идеальный ассоциируется с персонажем Группа Галуа из местный или же Глобальный поле, представлен Эмиль Артин  (1930, 1931 ) как выражение, появляющееся в функциональное уравнение из L-функция Артина.

Местные дирижеры Артина

Предположим, что L конечный Расширение Галуа местного поля K, с группой Галуа грамм. Если ${ displaystyle chi}$ персонаж грамм, затем Артиновский дирижер ${ displaystyle chi}$ это номер

${ Displaystyle е ( чи) = сумма _ {я geq 0} { гидроразрыва {г_ {я}} {г_ {0}}} ( чи (1) - чи (G_ {я})) }$

куда грамм_я это я-го группа ветвления (в нижняя нумерация ), порядка грамм_я, а χ (грамм_я) - среднее значение ${ displaystyle chi}$ на грамм_я.^[1] По результату Артина локальный проводник - целое число.^[2][3] Эвристически проводник Артина измеряет, насколько далеки действия высших групп ветвления от тривиальности. В частности, если х неразветвленный, то его артиновский проводник равен нулю. Таким образом, если L не разветвляется по K, то проводники Артина всех х равны нулю.

В дикий инвариант^[3] или же Лебединый дирижер^[4] персонажа

${ Displaystyle е ( чи) - ( чи (1) - чи (G_ {0})),}$

другими словами, сумма членов высшего порядка с я > 0.

Дирижеры Global Artin

В глобальный дирижер Артина представительства ${ displaystyle chi}$ группы Галуа грамм конечного расширения L/K глобальных полей является идеалом K, определяется как

${ Displaystyle { mathfrak {f}} ( chi) = prod _ {p} p ^ {f ( chi, p)}}$

где произведение над простыми числами п из K, и ж(χ,п) - местный Артиновский проводник ограничения ${ displaystyle chi}$ в группу разложения некоторого простого числа L лежа на п.^[2] Поскольку локальный проводник Артина равен нулю при неразветвленных простых числах, указанное выше произведение нужно использовать только для простых чисел, которые разветвляются в L/K.

Представление Артина и персонаж Артина

Предположим, что L является конечным расширением Галуа локального поля K, с группой Галуаграмм. В Артин персонаж а_грамм из грамм это персонаж

${ Displaystyle а_ {G} = сумма _ { чи} е ( чи) чи}$

и Представительство Артина А_грамм комплексное линейное представление грамм с этим персонажем. Вейль (1946) просил о непосредственном строительстве представительства Артина. Серр (1960 ) показал, что представление Артина реализуется над локальным полем Q_л, для любого прайма л не равно остаточной характеристике п. Фонтейн (1971) показал, что он реализуется над соответствующим кольцом векторов Витта. Как правило, это не может быть реализовано над рациональными числами или над локальным полем. Q_п, предполагая, что не существует простого способа явно построить представление Артина.^[5]

Лебединое представление

В Лебедь персонаж sw_грамм дан кем-то

${ displaystyle sw_ {G} = a_ {G} -r_ {G} +1}$

куда р_грамм - характер регулярного представления, а 1 - характер тривиального представления.^[6] Персонаж Лебедь - это персонаж представления грамм. Лебедь  (1963 ) показал, что существует единственная проективный представление грамм над л-адические целые числа с характером персонаж Лебедь.

Приложения

Дирижер Артин появляется в формула проводник-дискриминант для дискриминанта глобального поля.^[5]

Оптимальный уровень в Гипотеза Серра о модульности выражается через дирижер Артина.

Дирижер Артина фигурирует в функциональном уравнении L-функция Артина.

Представления Артина и Свана используются для определения проводник эллиптической кривой или абелева разновидность.

Примечания

Рекомендации

• Артин, Эмиль (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen Hamburg (на немецком), 8: 292–306, Дои:10.1007 / BF02941010, JFM  56.0173.02
• Артин, Эмиль (1931), "Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper"., Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком), 164: 1–11, Дои:10.1515 / crll.1931.164.1, ISSN  0075-4102, Zbl  0001.00801
• Фонтен, Жан-Марк (1971), "Sur les représentations d'Artin", Colloque de Théorie des Nombres (Университет Бордо, Бордо, 1969), Mémoires de la Société Mathématique de France, 25, Париж: Société Mathématique de France, стр. 71–81, МИСТЕР  0374106
• Серр, Жан-Пьер (1960), "Сюр ла рационализатор представлений Артина", Анналы математики, Вторая серия, 72: 405–420, Дои:10.2307/1970142, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970142, МИСТЕР  0171775
• Серр, Жан-Пьер (1967), "VI. Локальная теория поля классов", в Касселс, J.W.S.; Фрёлих, А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза, Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl  0153.07403
• Снайт, В. П. (1994), Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел, Кембриджские исследования по высшей математике, 40, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-46015-8, Zbl  0991.20005
• Свон, Ричард Г. (1963), "Кольцо Гротендика конечной группы", Топология. Международный журнал математики, 2: 85–110, Дои:10.1016/0040-9383(63)90025-9, ISSN  0040-9383, МИСТЕР  0153722
• Вайль, Андре (1946), "L'avenir des mathématiques", Бол. Soc. Мат. Сан-Паулу, 1: 55–68, МИСТЕР  0020961