Автоволновый ревербератор - Autowave reverberator

В теории автоволновые явления ан автоволновый ревербератор это автоволна вихрь в двухмерном активная среда.[примечание 1]

Ревербератор появляется в результате разрыва в передней части плоской автоволны. Такой разрыв может произойти, например, при столкновении фронта с невосполнимым препятствием. В этом случае, в зависимости от условий, может возникнуть одно из двух явлений: спиральная волна, который вращается вокруг препятствия, или автоволновый ревербератор который вращается со свободным концом.

Введение

В ревербератор было одним из первых решений для автоволн, как обнаружили исследователи, и, в связи с этим историческим контекстом, на сегодняшний день он остается наиболее изученным автоволновым объектом.

Вплоть до конца 20 века термин "автоволновой ревербератор"очень активно и широко использовалось в научной литературе, написанной советскими авторами, в связи с активным развитием этих исследований в СССР (подробнее см. «Краткую историю исследований автоволн» в Автоволна ). Причем, поскольку советская научная литература очень часто переиздавалась в английском переводе (см. Напр.[A: 1][B: 1][БИ 2][A: 2]), период, термин "автоволновый ревербератор"стало известно также в англоязычных странах.

В ревербератор часто путают с другим сходным с ним состоянием активной среды - с спиральная волна. Действительно, на первый взгляд эти два автоволновых решения выглядят почти одинаково. Более того, ситуация осложняется еще и тем, что спиральная волна может при определенных обстоятельствах стать ревербератором, а ревербератор может, наоборот, стать спиральной волной!

Однако следует помнить, что многие особенности вращающиеся автоволны были достаточно тщательно изучены еще в 1970-е годы, и уже тогда были выявлены существенные различия в свойствах спиральной волны и ревербератора. К сожалению, все подробные знания тех лет сейчас разбросаны по разным публикациям 1970–1990-х годов, которые стали малоизвестными даже для новых поколений исследователей, не говоря уже о людях, далеких от этой темы исследований. Пожалуй, единственной книгой, более или менее полностью собранной в виде рефератов, основные сведения об автоволнах, известные на момент ее публикации, все еще остаются Труды «Автоволновые процессы в системах с диффузией»,[B: 3] который был опубликован в 1981 г. и стал в наши дни уже редким библиографическим изданием; его содержание было частично повторено в другой книге[B: 4] в 2009.

Ниже подробно рассмотрены отличия ревербератора от спиральной волны. Но для начала полезно продемонстрировать эти различия простой аналогией. Всем хорошо известны времена года ... При определенных условиях зима может превратиться в лето, а лето, наоборот, в зиму; Причем эти чудесные превращения происходят довольно регулярно! Однако, хотя зима и лето похожи, например, в регулярном чередовании дня и ночи, вы не можете думать о том, чтобы сказать, что зима и лето - это одно и то же, не так ли? Примерно то же самое с ревербератором и спиральными волнами; и поэтому их не следует путать.

Также полезно иметь в виду, что сейчас, помимо вращающейся волны, известно довольно много других решений для автоволны, и с каждым годом их число постоянно растет с возрастающей скоростью. Из-за этих причин (или в результате этих событий) в 21 веке было обнаружено, что многие выводы о свойствах автоволн, которые были широко известны среди читателей ранних работ по этой теме, а также широко распространены. обсуждалось в тогдашней прессе, - к сожалению, оказалось неким ошибочным поспешным обобщением.

Основная информация

«Историческое» определение

Важное различие между ревербератором и спиральной волной, вращающейся вокруг отверстия, которая по форме похожа на ревербератор, заключается в том, что ревербератор не привязан к какой-либо структуре в среде. Благодаря этому свойству ревербераторы могут появляться и исчезать в разных местах среды.

Нажмите "шоу"чтобы увидеть исходный текст в (по-русски)

Важным отличием ревербератора от близкой к нему по форме спиральной волны, вращающегося отверстия, привязанного к какой-либо среде в среде. Благодаря этому своему ревербераторы возникли и исчезли в разных местах среды.

— (стр.20), 1981, [B: 3]

К вопросу о терминологии

Отметим здесь некоторые тонкости устоявшейся терминологии. А вращающаяся автоволна в двумерной среде называется разными авторами как спиральная волна, ревербератор, ротор, вихрь или даже волна прокрутки. Однако следует учитывать, что эти термины, тем не менее, функционально не взаимозаменяемы (они не являются полными синонимами). Вкратце различия между ними заключаются в следующем.


Обычно термин «спиральная волна» относится только к автоволнам, вращающимся вокруг невозбужденного препятствия в среде, имеющего достаточно большой размер (то есть в данном случае такую ​​протяженность, при которой препятствие мало по сравнению с размером средний и, однако, достаточно большой, чтобы обеспечить прерывание автоволны). Вершина спиральной волны всегда движется по границе невозбудимых препятствий.

Наиболее важное отличие автоволнового ревербератора от близкого к нему в виде спиральной волны, вращающейся вокруг препятствия, заключается в том, что ревербератор не привязан к какой-либо структуре в среде. Благодаря этому свойству ревербераторы могут возникать в разных местах среды, не только при отсутствии невозбужденных препятствий, но в целом в полностью однородной среде (при соответствующих начальных условиях). В английской научной литературе наиболее близким по значению является термин «ротор».[A: 3] Тем не менее, мы отдаем предпочтение термину «ревербератор», хотя в настоящее время он используется реже (в английской литературе), чем термин «ротор», поскольку он имеет два преимущества: 1) достаточно короткий и 2) не имеет другого значения (в то время как ротор взят уже на заезд подвижная часть электродвигателя, и, кроме того, этот термин используется в математическая теория поля ). (...)

Что касается термина «автоволновой вихрь», то можно утверждать (с некоторой натяжкой, что особенно легко для математиков), что ревербератор представляет собой двумерный вихрь (и это чистая истина с точки зрения математики). Для естественных наук, которые также являются биофизикой и современной медициной, двумерные объекты не существуют в реальном мире, и поэтому о таких двумерных объектах в этих науках можно говорить лишь очень условно, подразумевая, что в В контексте обсуждаемых вопросов толщина среды не влияет на поведение рассматриваемого явления.

Забегая вперед, скажем, что простой свиток называется трехмерным вихрем, который представляет идентичные ревербераторы в любой момент времени в каждой секции, перпендикулярной своей оси вращения, и поэтому его поведение в каждой секции почти идентично поведению ревербератора. Но это происходит только в очень ограниченных обстоятельствах, и, как правило, простая прокрутка может быть легко преобразована в более сложные объекты. Следовательно, замена терминов «свиток» и «ревербератор» в данном случае совершенно неуместна, а термин «свиток», по мнению авторов, уместен только для описания вращающихся автоволн в трехмерных средах - т.е. в тех случаях, когда нельзя пренебрегать эффектами, вызванными толщиной среды.

В свете этих терминологических замечаний напишем "2D-автовихрь" ("двумерный автоволновой вихрь") в последующем тексте, говоря в общем об автоволнах, вращающихся в двумерной среде, и, в частности, при описании поведения 2D-автовихря мы будем использовать соответствующий уточняющий термин - например," спиральная волна "или" ревербератор ".

Нажмите "шоу"чтобы увидеть исходный текст в (по-русски)

Отметим здесь же некоторые тонкости установившейся терминологии. Разные авторы называют вращающиеся в двумерной среде автоволны спиральными волнами (спиральная волна), ревербераторами, роторами (ротор), автоволновыми вихрями (вихрь) или даже свитками (волна прокрутки). Следует учитывать, что все же эти термины не являются полными синонимами. Вкратце между ними следующие.

Термическая «спиральная волна» обозначает обычно лишь автоволны, вращающиеся вокруг невосприимчивости к среде достаточно большой протяженности, это препятствие является малым по сравнению с размером среды, однако достаточно большим, чтобы обеспечить разрыв автоволны. В полной ее кончик движется по границе границы препятствия.

Важней отличием ревербератора от близкой к нему по форме спиральной волны, вращающегося вокруг отверстия, что ревербератор привязан к какой-либо среде в среде. Благодаря этому свойству ревербераторы могут возникнуть в разных средах, причем не только при отсутствии невозбудимых препятствий, но и вообще в полностью однородной среде (при подходящих начальных условиях). В русскоязычной литературе наиболее близким по смыслу является термин «ротор». В своем изложении мы будем предпочтение отдавать термину ревербератор: хотя оно в настоящее время используется, чем термин «ротор», однако имеет два преимущества одновременно и достаточно коротким, и не занятыми другими значениями (в то время как ротором, например, принято уже называть движущуюся часть электромотора, кроме того, широко используется в математической теории поля). (...)

Что же до терминов «автоволновой вихрь», то с некоторыми натяжками (особенно легкими для математиков) можно утверждать, что ревербератор - это двумерный вихрь (и это с точки зрения математики абсолютно верно). Для естественных наук, каковыми являются и биофизика, и современная медицина, двумерных объектов не существует в реальном мире, и поэтому о двумерных объектах в этих науках говорят лишь очень условно, подразумевая при лишь то, что в контексте обсуждаемых вопросов толщина среды не сказывается на поведении рассматриваемого или изучаемого явления.

Забегая вперед, скажем, что свитком (простой свитком) называют такой трехмерный вихрь, который в каждый момент времени сечения, является идентичным ревербератора, являющимся идентичным ревербератором, и поэтому его поведение в каждом из сечений практически тождественно поведению ревербератора. Но это происходит лишь в очень ограниченных условиях, а в остальных случаях простой свиток трансформируется в более сложные объекты. В данном случае подмена терминов «свиток» и «ревербератор» совершенно неуместной, и термин «свиток», по мнению авторов, уместно использовать лишь при описании автоволн, вращающихся в трехмерных средах, - то есть в тех случаях, когда нельзя пренебречь эффектами , обусловленной толщиной рассматриваемой среды.

В свете этих терминологических замечаний мы в дальнейшем используем сокращении, говоря вообще о вращающихся в двумерной среде автоволнах, будем использовать сокращение 2D-автовихрь (двумерный автоволновой вихрь), а в частных описаниях поведения 2D-автовихря будем использовать соответствующий уточняющий термин: например, «спиральная волна» или «ревербератор».

— Ю.Е. Елкин, А. Москаленко, 2009, г. [B: 4]

Типы поведения ревербератора

«Классические» режимы

Различные режимы автоволны, такие как плоские волны или спиральные волны могут существовать в активной среде, но только при определенных условиях свойств среды. С использованием Модель ФитжХью-Нагумо для обычной активной среды, Winfree[A: 3] построил диаграмму, изображающую области пространства параметров, в которых могут наблюдаться основные явления. Такие диаграммы являются обычным способом представления различных динамических режимов, наблюдаемых как в экспериментальных, так и в теоретических условиях. Их иногда называют цветники поскольку пути, проложенные кончиками автоволн, часто могут напоминать лепестки цветка. Справа показан цветник для модели ФитцХью-Нагумо. Он содержит: строку ∂P, который ограничивает диапазон параметров модели, при котором импульсы могут распространяться через одномерную среду, и самолетные автоволны может распространяться в двухмерной среде; «граница ротора» ∂R, который ограничивает диапазон параметров, при которых ревербераторы могут вращаться вокруг неподвижных сердечников (т.е. выполнять равномерное круговое вращение); то меандр граница ∂M и гипер-меандр граница ∂C, ограничивающие области возможного существования двухпериодных и более сложных (возможно, хаотических) режимов. Вращающиеся автоволны с крупными ядрами существуют только в областях с параметрами, близкими к границе. ∂R.

Аналогичные автоволновые режимы были получены и для других моделей - модели Билера-Рейтера,[A: 4] Модель Баркли,[A: 5] Модель Алиева-Панфилова,[A: 6] Модель Фентона-Кармы и др.

Было также показано[A: 7] что эти простые автоволновые режимы должны быть общими для всех активных сред, потому что система дифференциальные уравнения любой сложности, описывающей ту или иную активную среду, всегда можно упростить до двух уравнений.

В простейшем случае без дрейфа (т. Е. Режим равномерное круговое вращение) наконечник ревербератора вращается вокруг фиксированной точки по окружности определенного радиуса (круговое движение ревербератора кончик ревербератора). Автоволна не может проникнуть в окружность, ограниченную этой окружностью. По мере приближения к центру вращения ревербератора амплитуда возбуждающего импульса уменьшается, и при относительно низкой возбудимости среды в центре ревербератора появляется область конечных размеров, где амплитуда возбуждения импульс равен нулю (напомним, что сейчас мы говорим об однородной среде, для каждой точки которой ее свойства одинаковы). Эту область малой амплитуды в центре ревербератора обычно называют ядро ревербератора. Существование такой области в центре ревербератора кажется на первый взгляд совершенно непонятным, так как она все время граничит с возбужденными участками. Детальное исследование этого явления показало[B: 3] эта зона покоя в центре ревербератора сохраняет свою нормальную возбудимость, а существование зоны покоя в центре ревербератора связано с явлением критической кривизны. В случае «бесконечной» однородной среды радиус сердечника и скорость вращения ротора определяются только свойствами самой среды, а не начальными условиями. Форма фронта вращающейся спиральной волны на расстоянии от центра вращения близка к эволюции окружности - границам ее ядра.[A: 8] Определенный размер сердечника ревербератора обусловлен тем, что волна возбуждения, циркулирующая по замкнутому пути, должна полностью помещаться на этом пути, не натыкаясь на собственный огнеупорный хвост.

Поскольку критический размер Под ревербератором понимается минимальный размер однородной среды, в которой ревербератор может существовать неограниченное время. Для оценки критического размера ревербератора иногда используется размер его сердцевины, предполагая, что прилегающая к сердцевине область среды должна быть достаточной для существования устойчивого повторного входа. Однако при количественном исследовании зависимости поведения ревербератора от проводимости быстрого трансмембранного тока (характеризующего возбудимость среды) было обнаружено[B: 3] что критический размер ревербератора и размер его ядра являются его различными характеристиками, а критический размер ревербератора во многих случаях намного больше, чем размер его ядра (т. е. ревербератор умирает, даже если его ядро легко вписывается в границы среды и ее дрейф отсутствует)

Режимы вынужденного дрейфа

В меандре и гипер-меандре смещение центра вращения автоволны (то есть его дрейф) зависит от сил, создаваемых той же самой вращающейся автоволной.

Однако в результате научного изучения вращающихся автоволн был также выявлен ряд внешних условий, вызывающих дрейф ревербератора. Это может быть, например, неоднородность активной среды по любому параметру. Возможно, это работы Бикташева,[БИ 2][A: 9][A: 10][A: 11] где различные виды дрейфа ревербератора на данный момент представлены наиболее полно (хотя есть и другие авторы[A: 12] которые также занимаются изучением дрейфа автоволнового ревербератора).

В частности, Бикташев предлагает[A: 10] выделить следующие типы дрейфа ревербератора в активной среде:

  1. Резонансный дрейф.
  2. Дрейф, вызванный неоднородностью.
  3. Дрейф, вызванный анизотропией.
  4. Граничный дрейф (см. Также[БИ 2]).
  5. Взаимодействие спиралей.
  6. Дрейф, вызванный высокой частотой.

Заметим, что даже по такому простому вопросу, что следует называть дрейфом автоволн, а что нет, между исследователями до сих пор нет согласия. Некоторые исследователи (в основном математики) склонны рассматривать дрейфом ревербератора только те его смещения, которые происходят под влиянием внешних событий (и это мнение определяется как раз особенностью математического подхода к изучению автоволн). Другая часть исследователей не обнаружила существенных различий между самопроизвольным смещением ревербератора в результате генерируемых им самим событий и его смещением в результате внешних воздействий; и поэтому эти исследователи склонны полагать, что меандр и гипер-меандр также являются вариантами дрейфа, а именно самопроизвольный дрейф ревербератора. В научной литературе не было споров по этому вопросу терминологии, но эти особенности описания одних и тех же явлений разными авторами легко обнаруживаются.

Автоволновый шнурок

При численном исследовании ревербератора с использованием модели Алиева-Панфилова,[A: 6] феномен бифуркационная память было обнаружено, когда ревербератор самопроизвольно меняет свое поведение от меандр к равномерное круговое вращение; этот новый режим был назван автоволновой шнурок.[A: 13][A: 14][B: 4]

Вкратце, самопроизвольное замедление дрейфа ревербератора силами, создаваемыми самим ревербератором, происходит во время прохождения автоволны, в результате чего скорость его дрейфа постепенно уменьшается до нуля. Таким образом, режимный меандр вырождается в простое равномерное круговое вращение. Как уже упоминалось, этот необычный процесс связан с феноменом бифуркационной памяти.

Когда было обнаружено автоволновое кружево, возник первый вопрос: меандр существуют когда-либо или остановка дрейфа ревербератора может наблюдаться каждый раз во всех случаях, которые называются меандром, если наблюдение будет достаточно длительным? Сравнительный количественный анализ скорости дрейфа ревербератора в режимах меандр и шнурок выявили четкое различие между этими двумя типами эволюции ревербератора: в то время как скорость дрейфа быстро приходит к стационарному значению во время меандра, во время шнура можно наблюдать устойчивое уменьшение скорости дрейфа вихря, в котором можно четко идентифицировать фаза медленного замедления и фаза быстрого замедления скорости дрейфа.

Выявление автоволнового шнура может быть важно для кардиология. Известно, что ревербераторы демонстрируют замечательную стабильность своих свойств, они ведут себя «по своему усмотрению», и их поведение может существенно повлиять только на события, происходящие возле кончика ревербератора. Тот факт, что на поведение ревербератора могут существенно повлиять только события, происходящие рядом с его ядром, приводит, например, к тому, что при встрече с ревербератором неоднородность по невозбудимости (например, небольшой рубец миокарда) кончик вращающегося волна «прилипает» к этой неоднородности, и ревербератор начинает вращаться вокруг неподвижных невозбудимых препятствий. Переход от полиморфного к мономорфному тахикардия наблюдается на ЭКГ в таких случаях. Это явление называется "якорь"спиральной волны.[A: 15]Однако при моделировании было обнаружено, что спонтанный переход полиморфной тахикардии в мономорфную может наблюдаться также на ЭКГ во время автоволнового спада; другими словами, шнурок Возможен еще один механизм превращения полиморфной желудочковой тахикардии в мономорфную.[A: 16] Таким образом, автоволновая теория предсказывает существование особого типа желудочковых аритмий, условно называемых «аритмическими»,[нужна цитата ] которые кардиологи до сих пор не различают при диагностике.

Причины различения вариантов вращающихся автоволн

Напомним, что с 1970-х гг.[B: 3] В настоящее время принято различать три варианта вращающихся автоволн:

  1. волна в кольце,
  2. спиральная волна
  3. автоволновый ревербератор.


Размеры сердечника ревербератора обычно меньше минимального критического размера кругового пути циркуляции, что связано с явлением критическая кривизна. Кроме того, рефрактерный период оказывается больше для волн с ненулевой кривизной (ревербератор и спиральная волна) и начинает увеличиваться с уменьшением возбудимости среды до рефрактерного периода для плоских волн (в случае кругового вращения ). Эти и другие существенные различия между ревербератором и круговым вращением волны возбуждения заставляют нас различать эти два режима повторного входа.

На рисунке показаны различия в поведении плоской автоволны, циркулирующей в кольце и ревербераторе. Видно, что в одних и тех же локальных характеристиках возбудимой среды (возбудимости, рефрактерности и т. Д., Задаваемых нелинейным элементом) имеются значительные количественные различия между зависимостями характеристик ревербератора и характеристиками режима одномерного вращения. импульса, хотя соответствующие зависимости качественно совпадают.

Заметки

  1. ^ Небрежное употребление специальных терминов даже в научной литературе за сорок лет исследований автоволновых процессов (примерно с 1970 по 2010 гг.) Привело к довольно большой путанице в использовании названий вращающейся автоволны. Сами исследователи часто могут догадываться из контекста того, что описано в публикации; однако даже исследователям из других, хотя и связанных, областей знания практически невозможно понять тонкости автоволновых процессов из-за путаницы в таких терминах.

использованная литература

  • Книги
  1. ^ Васильев, В. А .; Романовский, Ю. М .; Чернавский, Д. С .; Яхно, В. Г. (1987). Автоволновые процессы в кинетических системах. Пространственная и временная самоорганизация в физике, химии, биологии и медицине. Берлин: Springer, Нидерланды. п. 261. Дои:10.1007/978-94-009-3751-2. ISBN  978-94-010-8172-6.
  2. ^ а б c Бикташев, В. (1989). «Дрейф ревербератора в активной среде из-за взаимодействия с границами». В Гапонов-Грехов, А.В .; Рабинович, М.И.; Engelbrecht, J. (ред.). Нелинейные волны II. Динамика и эволюция.. Берлин: Springer. С. 87–96. ISBN  978-3540506546.
  3. ^ а б c d е Грехова, М. Т., изд. (1981). Автоволновые процессы в системе с диффузией [Автоволновые процессы в системах с диффузией] (по-русски). Горький: Институт прикладной математики АН СССР. п. 287.
  4. ^ а б c Елкин, Ю. E .; Москаленко, А. В. (2009). "Базовые механизмы аритмий сердца" [Основные механизмы сердечных аритмий]. В Ардашеве проф. СРЕДНИЙ. (ред.). Клиническая аритмология [Клиническая аритмология] (по-русски). Москва: МедПрактика. п. 1220. ISBN  978-5-98803-198-7.
  • Статьи
  1. ^ Васильев В А; Романовский Ю М; Яхно, В Г (1979). «Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах». Сов. Phys. Усп. (журнал). 22 (8): 615–639. Дои:10.1070 / PU1979v022n08ABEH005591.
  2. ^ Волобуев, А. Н .; Труфанов, Л. А .; Овчинников, Э. Л. (1997). «Электрический ревербератор на возбужденной поверхности миокарда». Биофизика (журнал). 42 (4): 952–956. ISSN  0006-3029. PMID  9410022.
  3. ^ а б Уинфри, А. (1991). "Разновидности поведения спиральной волны: экспериментальный подход к теории возбудимых сред". Хаос (журнал). 1 (3): 303–334. Дои:10.1063/1.165844. ISSN  1054-1500. PMID  12779929.
  4. ^ Ефимов И.Р .; Кринский, В. И .; Джалифе, Дж. (1995). «Динамика вращающихся вихрей в модели сердечной ткани Билера-Рейтера». Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 5 (3/4): 513–526. Дои:10.1016 / 0960-0779 (95) 95761-Ф. ISSN  0960-0779.
  5. ^ Белинцев, Б. Н .; Волькенштейн, М. В. (1977). Фазовые переходы в эволюционирующей популяции [Фазовые переходы в эволюционирующем населении]. ДАН (журнал). 1: 205–207.
  6. ^ а б Алиев, Р .; Панфилов, А. (1996). «Простая двухпараметрическая модель возбуждения сердца». Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 7 (3): 293–301. CiteSeerX  10.1.1.52.4271. Дои:10.1016/0960-0779(95)00089-5. ISSN  0960-0779.
  7. ^ Кринский, В. И .; Кокоз, Ю. М. (1973). "Анализ уравнений возбудимых мембран III. Мембрана волокна Пуркинье. Сведение уравнения Нобла к системе второго порядка. Анализ аномалии нуль-изоклин" [Анализ уравнений возбудимых мембран III. Мембрана волокон Пуркинье. Сведение уравнения Нобла к системе второго порядка. Анализ аномалий нульклиналей. Биофизика (журнал). 18 (6): 1067–1073.
  8. ^ Wiener, N .; Розенблют, А. (1946). «Математическая постановка задачи о проведении импульсов в сети связанных возбудимых элементов, в частности, в сердечной мышце». Arch. Inst. Cardiologia de Mexico (журнал). 16 (3–4): 205–265.
  9. ^ Бикташев, В. Н .; Холден, А. В. (1995). «Резонансный дрейф автоволновых вихрей в 2D и эффекты границ и неоднородностей». Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 5 (3, 4): 575–622. Дои:10.1016 / 0960-0779 (93) e0044-c. ISSN  0960-0779.
  10. ^ а б Бикташев, В. Н. (2007). «Дрейф спиральных волн». Scholarpedia (журнал). 2 (4): 1836. Дои:10.4249 / scholarpedia.1836.
  11. ^ Бикташева, И. В .; Barkley, D .; Бикташев, В. Н .; Фоулкс, А. Дж. (2010). «Вычисление скорости дрейфа спиральных волн с использованием функций отклика». Phys. Ред. E (журнал). 81 (6): 066202. arXiv:0909.5372. Дои:10.1103 / Physreve.81.066202. PMID  20866496.
  12. ^ Давыдов, Б. А .; Зыков, Б. С .; Михайлов, А. С .; Бражник, П. К. (1988). Дрейф и резонанс спиральных волн в активных средах Дрейф и резонанс спиральных волн в активных средах. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика (журнал) (31): 574–582.
  13. ^ Елкин, Ю. E .; Москаленко, А.В .; Стармер, Ч.Ф. (2007). «Самопроизвольная остановка дрейфа спиральной волны в однородных возбудимых средах». Математическая биология и биоинформатика (журнал). 2 (1): 1–9. ISSN  1994-6538.
  14. ^ Москаленко, А. В .; Елкин, Ю. Э. (2009). «Шнурок: новый тип поведения спиральной волны». Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 40 (1): 426–431. Дои:10.1016 / j.chaos.2007.07.081. ISSN  0960-0779.
  15. ^ Кукушкин, Н. И .; Медвинский, А. Б. (2004). Желудочковая тахикардия: Понятия и механизмы [Желудочковые тахикардии: понятия и механизмы]. Вестник Аритмологии (журнал) (35): 49–55. ISSN  1561-8641.
  16. ^ Москаленко, А.В .; Елкин, Ю. Э. (2007). «Мономорфная тахикардия действительно мономорфна?». Биофизика (журнал). 52 (2): 237–240. Дои:10.1134 / S0006350907020169.

внешние ссылки