Теорема Акс-Кохена - Ax–Kochen theorem

В Теорема Акс-Кохена, названный в честь Джеймс Экс и Саймон Б. Кочен, утверждает, что для каждого положительного целого числа d есть конечное множество Yd простых чисел, таких что если п любое простое число не в Yd то всякий однородный многочлен степени d над p-адические числа по крайней мере d2 + 1 переменная имеет нетривиальный нуль.[1]

Доказательство теоремы

В доказательстве теоремы широко используются методы из математическая логика, такие как теория моделей.

Одно первое доказывает Серж Ланг теорема, утверждающая, что аналогичная теорема верна для поля Fп((т)) формальных Серия Laurent через конечное поле Fп с участием . Другими словами, каждый однородный многочлен степени d с более чем d2 переменных имеет нетривиальный нуль (так что Fп((т)) это C2 поле ).

Тогда один показывает, что если два Хенселян ценится поля имеют эквивалентные оценочные группы и поля вычетов, а поля вычетов имеют характеристика 0, то они элементарно эквивалентны (что означает, что предложение первого порядка верно для одного тогда и только тогда, когда оно верно для другого).

Затем применяется это к двум полям, одному из которых задается сверхпродукт по всем простым полям Fп((т)), а другой - ультрапроизведение по всем простым числам п-адические поля QпОба поля вычетов задаются ультрапроизведением над полями Fп, поэтому изоморфны и имеют характеристику 0, и обе группы значений одинаковы, поэтому ультрапродукты элементарно эквивалентны. (Взятие ультрапроизведений используется для того, чтобы заставить поле вычетов иметь характеристику 0; поля вычетов Fп((т))и Qп оба имеют ненулевую характеристику п.)

Из элементарной эквивалентности этих ультрапроизведений следует, что для любого предложения на языке значных полей существует конечное множество Y исключительных простых чисел, таких что для любого п не в этом наборе предложение верно для Fп((т)) тогда и только тогда, когда это верно для поля п-адические числа. Применяя это к предложению о том, что каждый непостоянный однородный многочлен степени d по крайней мере d2+1 переменная представляет 0, и, используя теорему Лэнга, можно получить теорему Акс-Кохена.

Альтернативное доказательство

Ян Денеф нашел чисто геометрическое доказательство гипотезы Жан-Луи Коллио-Телен которое обобщает теорему Акс-Кохена.[2][3]

Исключительные простые числа

Эмиль Артин предположил эту теорему с конечным исключительным множеством Yd быть пустым (то есть все п-адические поля C2 ), но Гай Терджанян[4] нашел следующий 2-адический контрпример для d = 4. Определить

потом г имеет свойство 1 mod 4, если некоторые Икс нечетно, иначе 0 по модулю 16. Отсюда легко следует, что однородная форма

г(Икс) + г(y) + г(z) + 4г(ты) + 4г(v) + 4г(ш)

степени d = 4 из 18>d2 переменных не имеет нетривиальных нулей над 2-адическими целыми числами.

Позднее Терджанян[5] показал, что для каждого простого п и несколько d > 2 из п(п - 1), над п-адические числа степени d с более чем d2 переменные, но нет нетривиальных нулей. Другими словами, для всех d > 2, Yd содержит все простые числа п такой, что п(п - 1) делит d.

Браун (1978) дал явную, но очень большую оценку исключительного множества простых чиселп. Если степень d равно 1, 2 или 3, исключительное множество пусто. Хит-Браун (2010) показал, что если d = 5 исключительное множество ограничено числом 13, и Вули (2008) показал, что для d = 7 исключительное множество ограничено числом 883 и при d = 11 ограничено числом 8053.

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Джеймс Экс и Саймон Кочен, Диофантовы проблемы над локальными полями I., Американский журнал математики, 87, страницы 605–630, (1965)
  2. ^ Денеф, янв. «Доказательство гипотезы Коллио-Телен» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 11 апреля 2017 г.
  3. ^ Денеф, янв (2016), Геометрические доказательства теорем Акс-Кочена и Эрсова., arXiv:1601.03607, Bibcode:2016arXiv160103607D
  4. ^ Терджанян, Гай (1966). «Неудачный пример из гипотезы Артина». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, серия A-B (На французском). 262: A612. Zbl  0133.29705.
  5. ^ Гай Терджанян, Формы п-adiques анизотропы. (Французский) Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 313 (1980), страницы 217–220

использованная литература