Независимость аксиомы - Википедия - Axiom independence

An аксиома P есть независимый если нет других аксиом Q таких, что Q влечет P.

Во многих случаях требуется независимость, либо для достижения вывод сокращенного набора аксиом, или чтобы иметь возможность заменить независимую аксиому для создания более сжатой системы (например, параллельный постулат не зависит от других аксиом Евклидова геометрия, и дает интересные результаты при отрицании или замене).

Доказательство независимости

Если исходные аксиомы Q не последовательный, то никакая новая аксиома не является независимой. Если они согласованы, то P можно показать независимо от них, если добавить к ним P или добавить отрицание P, оба получат согласованные наборы аксиом. [1] Например, аксиомы Евклида, включая постулат параллельности, приводят к евклидовой геометрии, а с отрицанием постулата параллельности - неевклидова геометрия. Например, эллиптическая геометрия (без параллелей) и гиперболическая геометрия (много параллелей). И эллиптическая, и гиперболическая геометрия - непротиворечивые системы, показывающие, что постулат параллельности не зависит от других аксиом.[2]

Доказать независимость зачастую очень сложно. Принуждение это одна из часто используемых техник. [3]

Рекомендации

  1. ^ Кеннет Кунен, Теория множеств: введение в доказательства независимости, стр. xi.
  2. ^ Гарольд Скотт Макдональд Коксетер Неевклидова геометрия, страницы 1-15
  3. ^ Кеннет Кунен, Теория множеств: введение в доказательства независимости, страницы 184-237

внешняя ссылка