Арифметика Бюхи - Википедия - Büchi arithmetic

Бюхи арифметика базы k это теория первого порядка из натуральные числа с добавление и функция ${ Displaystyle V_ {к} (х)}$ который определяется как наибольшая степень k разделение Икс, названный в честь швейцарского математика Юлиус Рихард Бючи. В подпись арифметики Бюхи содержит только операцию сложения, ${ displaystyle V_ {k}}$ и равенство, полностью опуская операцию умножения.

В отличие от Арифметика Пеано, Арифметика Бюхи - это разрешимая теория. Это означает, что для любого предложения на языке арифметики Бюхи можно эффективно определить, доказуемо ли это предложение с помощью аксиом арифметики Бюхи.

Бюхи арифметика и автоматы

Подмножество ${ Displaystyle X substeq mathbb {N} ^ {n}}$ определима в арифметике Бюхи с основанием k если и только если это k-узнаваемый.

Если ${ Displaystyle п = 1}$ это означает, что набор целых чисел Икс в базе k принимается автомат. Аналогично, если ${ displaystyle n> 1}$ существует автомат, который считывает первые цифры, затем вторые цифры и т. д. п целые числа в базе k, и принимает слова, если п целые числа находятся в соотношенииИкс.

Свойства арифметики Бюхи

Если k и л находятся мультипликативно зависимый, то арифметика Бюхи основания k и л обладают такой же выразительностью. В самом деле ${ displaystyle V_ {l}}$ можно определить в ${ displaystyle { text {FO}} (V_ {k}, +)}$, теория первого порядка ${ displaystyle V_ {k}}$ и ${ displaystyle +}$.

В противном случае арифметическая теория с обе ${ displaystyle V_ {k}}$ и ${ displaystyle V_ {l}}$ функции эквивалентен Арифметика Пеано, в котором есть как сложение, так и умножение, поскольку умножение определимо в ${ displaystyle { text {FO}} (V_ {k}, V_ {l}, +)}$.

Далее, по Теорема Кобэма – Семёнова., если отношение определимо в обоих k и л Büchi арифметики, то она определима в Арифметика пресбургера.^[1][2]

Рекомендации

• Бес, Алексис. «Обзор арифметической определимости». Архивировано из оригинал на 2012-11-28. Получено 27 июн 2012.

дальнейшее чтение

• Бес, Алексис (1997). «Неразрешимые расширения арифметики Бюхи и теоремы Кобхама-Семёнова». J. Symb. Бревно. 62 (4): 1280–1296. CiteSeerX  10.1.1.2.1007. Дои:10.2307/2275643. Zbl  0896.03011.