Мультипликативная независимость - Multiplicative independence

В теория чисел, два положительных целые числа а и б как говорят мультипликативно независимый^[1] если их единственная общая целочисленная мощность равна 1. То есть для целых чисел п и м, ${ Displaystyle а ^ {п} = Ь ^ {м}}$ подразумевает ${ Displaystyle п = м = 0}$. Два целых числа, которые не являются мультипликативно независимыми, называются мультипликативно зависимыми.

Например, 36 и 216 мультипликативно зависимы, поскольку ${ displaystyle 36 ^ {3} = (6 ^ {2}) ^ {3} = (6 ^ {3}) ^ {2} = 216 ^ {2}}$ а 6 и 12 мультипликативно независимы

Характеристики

Мультипликативная независимость допускает некоторые другие характеристики. а и б мультипликативно независимы тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle журнал (а) / журнал (б)}$ иррационально. Это свойство выполняется независимо от базы логарифм.

Позволять ${ displaystyle a = p_ {1} ^ { alpha _ {1}} p_ {2} ^ { alpha _ {2}} cdots p_ {k} ^ { alpha _ {k}}}$ и ${ displaystyle b = q_ {1} ^ { beta _ {1}} q_ {2} ^ { beta _ {2}} cdots q_ {l} ^ { beta _ {l}}}$ быть канонические представления из а и б. Целые числа а и б мультипликативно зависимы тогда и только тогда, когда k = л, ${ displaystyle p_ {i} = q_ {i}}$ и ${ displaystyle { frac { alpha _ {i}} { beta _ {i}}} = { frac { alpha _ {j}} { beta _ {j}}}}$ для всех я иj.

Приложения

Бюхи арифметика в базе а и б определять те же множества тогда и только тогда, когда а и б мультипликативно зависимы.

Позволять а и б быть мультипликативно зависимыми целыми числами, то есть существует п, т> 1 такой, что ${ Displaystyle а ^ {п} = Ь ^ {м}}$. Целые числа c такая, что длина его расширения в основание а самое большее м - это в точности такие целые числа, что длина их разложения по основанию б самое большее п. Это означает, что вычисление базы б расширение числа с учетом его базы а расширение, может быть выполнено преобразованием последовательных последовательностей м основание а цифры в последовательную последовательность п основание б цифры.

Рекомендации

^[2]