Пара Бейли - Википедия - Bailey pair

В математике Пара Бейли - пара последовательностей, удовлетворяющих определенным соотношениям, а a Цепь Бейли представляет собой последовательность пар Бейли. Пары Бейли были представлены У. Н. Бейли  (1947, 1948 ) при изучении второго доказательства Роджерс (1917) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFRogers1917 (помощь) из Роджерс-Рамануджан идентичности, а цепи Бейли были введены Эндрюс (1984).

Определение

В символы q-Pochhammer ${ Displaystyle (а; д) _ {п}}$ определяются как:

${ displaystyle (a; q) _ {n} = prod _ {0 leq j$

Пара последовательностей (α_п, β_п) называется парой Бейли, если они связаны соотношением

${ displaystyle beta _ {n} = sum _ {r = 0} ^ {n} { frac { alpha _ {r}} {(q; q) _ {nr} (aq; q) _ { п + г}}}}$

или эквивалентно

${ displaystyle alpha _ {n} = (1-aq ^ {2n}) sum _ {j = 0} ^ {n} { frac {(aq; q) _ {n + j-1} (- 1) ^ {nj} q ^ {nj choose 2} beta _ {j}} {(q; q) _ {nj}}}.}$

Лемма Бейли

Лемма Бейли утверждает, что если (α_п, β_п) является парой Бейли, то (α '_п, β '_п) куда

${ displaystyle alpha _ {n} ^ { prime} = { frac {( rho _ {1}; q) _ {n} ( rho _ {2}; q) _ {n} (aq / rho _ {1} rho _ {2}) ^ {n} alpha _ {n}} {(aq / rho _ {1}; q) _ {n} (aq / rho _ {2} ; q) _ {n}}}}$

${ displaystyle beta _ {n} ^ { prime} = sum _ {j geq 0} { frac {( rho _ {1}; q) _ {j} ( rho _ {2}; q) _ {j} (aq / rho _ {1} rho _ {2}; q) _ {nj} (aq / rho _ {1} rho _ {2}) ^ {j} beta _ {j}} {(q; q) _ {nj} (aq / rho _ {1}; q) _ {n} (aq / rho _ {2}; q) _ {n}}}. }$

Другими словами, из одной пары Бейли можно построить вторую, используя приведенные выше формулы. Этот процесс можно повторить, чтобы получить бесконечную последовательность пар Бейли, называемую Цепь Бейли.

Примеры

Пример пары Бейли дается формулой (Эндрюс, Эски и Рой 1999, п. 590)

${ displaystyle alpha _ {n} = q ^ {n ^ {2} + n} sum _ {j = -n} ^ {n} (- 1) ^ {j} q ^ {- j ^ {2 }}, quad beta _ {n} = { frac {(-q) ^ {n}} {(q ^ {2}; q ^ {2}) _ {n}}}.}$

Л. Дж. Слейтер  (1952 ) дал список из 130 примеров, связанных с парами Бейли.

Рекомендации

• Эндрюс, Джордж Э. (1984), «Множественные серии идентичностей типа Роджерса-Рамануджана», Тихоокеанский математический журнал, 114 (2): 267–283, Дои:10.2140 / pjm.1984.114.267, ISSN  0030-8730, МИСТЕР  0757501
• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции, Энциклопедия математики и ее приложений, 71, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-62321-6, МИСТЕР  1688958
• Бейли, В. Н. (1947), "Некоторые тождества в комбинаторном анализе", Труды Лондонского математического общества, Вторая серия, 49 (6): 421–425, Дои:10.1112 / плмс / с2-49.6.421, ISSN  0024-6115, МИСТЕР  0022816
• Бейли, В. Н. (1948), «Личности типа Роджерса-Рамануджана», Proc. Лондонская математика. Soc., с2-50 (1): 1–10, Дои:10.1112 / плмс / с2-50.1.1
• Пол, Питер, Концепция цепочек Бейли (PDF)
• Слейтер, Л. Дж. (1952), "Дальнейшие тождества типа Роджерса-Рамануджана", Труды Лондонского математического общества, Вторая серия, 54 (2): 147–167, Дои:10.1112 / плмс / с2-54.2.147, ISSN  0024-6115, МИСТЕР  0049225
• Варнаар, С. Оле (2001), «50 лет лемме Бейли», Алгебраическая комбинаторика и приложения (Gössweinstein, 1999) (PDF), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 333–347, МИСТЕР  1851961