Теорема Бартлетта о делении пополам - Википедия - Bartletts bisection theorem

Теорема Бартлетта о делении пополам это электрический теорема в сетевой анализ приписывается Альберт Чарльз Бартлетт. Теорема показывает, что любой симметричный двухпортовая сеть может быть преобразован в решетчатая сеть.^[1] Теорема часто встречается в теория фильтров где решетчатая сеть иногда известна как X-секция фильтра, следуя общепринятой в теории фильтров практике именования секций после буквенных букв, с которыми они имеют сходство.

Теорема, первоначально сформулированная Бартлеттом, требовала, чтобы две половины сети были топологически симметричными. Позднее теорема была расширена Вильгельм Кауэр Применять ко всем электрически симметричным сетям. То есть физическая реализация сети не имеет значения. Требуется только, чтобы его отклик в обеих половинах был симметричным.^[2]

Приложения

Топология решетки фильтры не очень распространены. Причина в том, что для них требуется больше компонентов (особенно индукторы ), чем другие конструкции. Лестничная топология гораздо популярнее. Однако они обладают свойством быть по сути своей. сбалансированный и сбалансированная версия другого топология, например, тройников, может фактически потребоваться больше индукторов. Одно приложение предназначено для универсальный фильтры фазовой коррекции на симметричных линиях связи. Теорема также появляется при разработке кварцевых фильтров на радиочастотах. Здесь лестничные топологии обладают некоторыми нежелательными свойствами, но общая стратегия проектирования - начать с лестничной реализации из-за ее простоты. Затем теорема Бартлетта используется для преобразования проекта в промежуточный этап в качестве шага к окончательной реализации (с использованием трансформатора для создания несбалансированной версии решетчатой топологии).^[3]

Определение и доказательство

Определение

Начните с двухпортовая сеть, N, с плоскостью симметрии между двумя порты. Затем прорежьте N через его плоскость симметрии, чтобы сформировать два новых идентичных двухпортовых отверстия, ½N. Подключите два идентичных генератора напряжения к двум портам N. Из симметрии ясно, что ток не будет проходить через любую ветвь, проходящую через плоскость симметрии. Импеданс, измеренный в порте N при этих обстоятельствах, будет таким же, как импеданс, измеренный, если бы все ветви, проходящие через плоскость симметрии, были разомкнутыми. Следовательно, это тот же импеданс, что и полное сопротивление холостого хода ½N. Назовем это сопротивление ${ displaystyle Z_ {oc}}$ .

Теперь рассмотрим сеть N с двумя одинаковыми генераторами напряжения, подключенными к портам, но с противоположной полярностью. Как только суперпозиция токов через ветви в плоскости симметрии должны быть равны нулю в предыдущем случае по аналогии и с применением принципа двойственность, суперпозиция напряжений между узлы в плоскости симметрии в этом случае также должен быть равен нулю. Таким образом, входное сопротивление такое же, как сопротивление короткого замыкания ½N. Назовем это сопротивление ${ displaystyle Z_ {sc}}$ .

Теорема Бартлетта о бисекции утверждает, что сеть N эквивалентна решетчатой сети с рядами ветвей ${ displaystyle Z_ {sc}}$ и перекрестные ветви ${ displaystyle Z_ {oc}}$ .^[4]

Доказательство

Рассмотрим показанную решетчатую сеть с идентичными генераторами E, подключенными к каждому порту. Из симметрии и суперпозиции видно, что в ветвях серии нет тока. ${ displaystyle Z_ {sc}}$ . Таким образом, эти ответвления могут быть удалены и оставлены разомкнутыми без какого-либо влияния на остальную цепь. Это оставляет контур с напряжением 2E и импедансом ${ displaystyle 2Z_ {oc}}$ подача тока в петлю;

{ displaystyle I = { frac {2E} {2Z_ {oc}}}}

и входной импеданс;

{ displaystyle { frac {E} {I}} = Z_ {oc}}

как и требуется для эквивалентности оригинальному двухпортовому.

Точно так же, реверсирование одного из генераторов приводит к тому же аргументу, в петле с импедансом ${ displaystyle 2Z_ {sc}}$ и входной импеданс;

{ displaystyle { frac {E} {I}} = Z_ {sc}}

Напоминая, что эти конфигурации генератора являются точным способом, которым ${ displaystyle Z_ {oc}}$ и ${ displaystyle Z_ {sc}}$ были определены в исходном двухпортовом, доказано, что решетка эквивалентна для этих двух случаев. Доказывается, что это так для всех случаев, учитывая, что все остальные входные и выходные условия могут быть выражены как линейная суперпозиция двух уже доказанных случаев.

Примеры

Решеточный эквивалент Т-образный разрез фильтр высоких частот

Решеточный эквивалент Зобель мост-Т фильтр нижних частот

Можно использовать преобразование Бартлетта и наоборот; то есть преобразовать симметричную решетчатую сеть в некоторую другую симметричную топологию. Примеры, показанные выше, также можно было бы показать в обратном порядке. Однако, в отличие от приведенных выше примеров, результат не всегда можно физически реализовать с помощью линейных пассивных компонентов. Это связано с тем, что существует вероятность того, что обратное преобразование будет генерировать компоненты с отрицательными значениями. Отрицательные величины могут быть физически реализованы только с активными компонентами, присутствующими в сети.

Продолжение теоремы

Пример масштабирования импеданса и частоты с использованием прототипа фильтра нижних частот с-сечением. При первом преобразовании прототип делится пополам, а частота среза масштабируется с 1 рад / с до 10.⁵ рад / с (15,9 кГц). Во втором преобразовании разделенная пополам сеть масштабируется с левой стороны, чтобы работать с сопротивлением 600 Ом, а с правой стороны, чтобы работать с сопротивлением 50 Ом.

Существует расширение теоремы Бартлетта, допускающее симметричное фильтр сеть, работающая между клеммами с одинаковым входным и выходным сопротивлением, должна быть изменена для неравных сопротивлений источника и нагрузки. Это пример масштабирование импеданса из прототип фильтра. Симметричная сеть делится пополам по плоскости симметрии. Одна половина масштабируется по входному сопротивлению, а другая - по выходному сопротивлению. Форма отклика фильтра остается прежней. Это не означает согласование импеданса сети, полное сопротивление, смотрящее на сетевые порты, не имеет никакого отношения к оконечному сопротивлению. Это означает, что сеть, спроектированная по теореме Бартлетта, имея точно предсказанный отклик фильтра, также добавляет постоянное затухание в дополнение к отклику фильтра. В сетях согласования импеданса обычным критерием проектирования является максимизация передачи мощности. Выходной отклик имеет «ту же форму» относительно напряжения теоретически идеального генератора, управляющего входом. Это не то же самое по отношению к фактическому входному напряжению, которое выдает теоретический идеальный генератор через его сопротивление нагрузки.^[5]^[6]

Постоянное усиление из-за разницы во входном и выходном импедансах определяется выражением;

{ displaystyle A = { frac {V_ {2}} {E}} = { frac {2R_ {2}} {R_ {1} + R_ {2}}}}

Обратите внимание, что это может быть больше единицы, то есть возможно усиление напряжения, но всегда теряется мощность.