Алгоритм Берлекампса - Википедия - Berlekamps algorithm

В математика, особенно вычислительная алгебра, Алгоритм Берлекампа хорошо известный метод для факторизация полиномов над конечными полями (также известный как Поля Галуа). Алгоритм состоит в основном из матрица редукция и полином НОД вычисления. Это было изобретено Элвин Берлекамп в 1967 году. Это был доминирующий алгоритм для решения проблемы, пока Алгоритм Кантора – Цассенхауза 1981 года. В настоящее время он реализован во многих известных системы компьютерной алгебры.

Обзор

Алгоритм Берлекампа принимает на вход многочлен без квадратов ${ displaystyle f (x)}$ (то есть без повторяющихся факторов) степени ${ displaystyle n}$ с коэффициентами в конечном поле ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ и дает на выходе полином ${ displaystyle g (x)}$ с коэффициентами в том же поле такими, что ${ displaystyle g (x)}$ разделяет ${ displaystyle f (x)}$ . Затем алгоритм может быть применен рекурсивно к этим и последующим делителям, пока мы не найдем разложение ${ displaystyle f (x)}$ в полномочия неприводимые многочлены (напоминая, что звенеть многочленов над конечным полем является уникальная область факторизации ).

Все возможные факторы ${ displaystyle f (x)}$ содержатся в факторное кольцо

{ Displaystyle R = { frac { mathbb {F} _ {q} [x]} { langle f (x) rangle}}.}

Алгоритм ориентирован на полиномы ${ displaystyle g (x) in R}$ которые удовлетворяют сравнению:

{ Displaystyle г (х) ^ {д} экв г (х) { pmod {е (х)}}. ,}

Эти многочлены образуют подалгебра R (которое можно рассматривать как ${ displaystyle n}$ -мерное векторное пространство над ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ ), называется Подалгебра Берлекампа. Подалгебра Берлекампа интересна тем, что многочлены ${ displaystyle g (x)}$ он содержит удовлетворение

{ displaystyle f (x) = prod _ {s in mathbb {F} _ {q}} gcd (f (x), g (x) -s).}

В общем, не каждый НОД в приведенном выше продукте будет нетривиальным фактором ${ displaystyle f (x)}$ , но некоторые из них предоставляют факторы, которые мы ищем.

Алгоритм Берлекампа находит многочлены ${ displaystyle g (x)}$ подходит для использования с вышеуказанным результатом путем вычисления базиса для подалгебры Берлекампа. Это достигается за счет наблюдения, что подалгебра Берлекампа фактически является ядро определенного ${ Displaystyle п раз п}$ матрица над ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ , которая получается из так называемой матрицы Берлекампа многочлена, обозначаемой ${ displaystyle { mathcal {Q}}}$ . Если ${ Displaystyle { mathcal {Q}} = [q_ {я, j}]}$ тогда ${ displaystyle q_ {я, j}}$ коэффициент при ${ displaystyle j}$ -й степени в сокращении ${ displaystyle x ^ {iq}}$ по модулю ${ displaystyle f (x)}$ , то есть:

{ Displaystyle х ^ {iq} эквив q_ {я, п-1} х ^ {п-1} + q_ {я, п-2} х ^ {п-2} + ldots + q_ {я, 0 } { pmod {f (x)}}. ,}

С некоторым полиномом ${ displaystyle g (x) in R}$ , сказать:

{ displaystyle g (x) = g_ {n-1} x ^ {n-1} + g_ {n-2} x ^ {n-2} + ldots + g_ {0}, ,}

мы можем связать вектор-строку:

{ displaystyle g = (g_ {0}, g_ {1}, ldots, g_ {n-1}). ,}

Относительно просто увидеть, что вектор-строка ${ displaystyle g { mathcal {Q}}}$ соответствует, таким же образом, уменьшению ${ displaystyle g (x) ^ {q}}$ по модулю ${ displaystyle f (x)}$ . Следовательно, многочлен ${ displaystyle g (x) in R}$ находится в подалгебре Берлекампа тогда и только тогда, когда ${ displaystyle g ({ mathcal {Q}} - I) = 0}$ (куда ${ displaystyle I}$ это ${ Displaystyle п раз п}$ единичная матрица ), т.е. тогда и только тогда, когда он находится в нулевом пространстве ${ displaystyle { mathcal {Q}} - I}$ .

Вычисляя матрицу ${ displaystyle { mathcal {Q}} - I}$ и уменьшив его до сокращенная форма эшелона строки а затем легко считывая базис для нулевого пространства, мы можем найти базис для подалгебры Берлекампа и, следовательно, построить многочлены ${ displaystyle g (x)}$ в этом. Затем нам нужно последовательно вычислить НОД указанной выше формы, пока мы не найдем нетривиальный фактор. Поскольку кольцо многочленов над полем является Евклидова область, мы можем вычислить эти НОД, используя Евклидов алгоритм.

Концептуальное алгебраическое объяснение

С некоторой абстрактной алгеброй идея алгоритма Berlkemap становится концептуально ясной. Представим конечное поле ${ textstyle mathbb {F} _ {q} [x]}$ , куда ${ textstyle q = p ^ {m}}$ для некоторого простого p, поскольку ${ textstyle mathbb {F} _ {p} [y] / (g (y))}$ . Можно предположить, что ${ textstyle f (x) in mathbb {F} _ {q} [x]}$ является бесквадратным, взяв все возможные корни p-й степени и затем вычислив НОД с его производной.

Теперь предположим, что ${ textstyle f (x) = f_ {1} (x) ldots f_ {n} (x)}$ - разложение на неприводимые. Тогда у нас есть изоморфизм колец, ${ textstyle sigma: mathbb {F} _ {q} [x] / (f (x)) to prod _ {i} mathbb {F} _ {q} [x] / (f_ {i }(Икс))}$ , задаваемый китайской теоремой об остатках. Ключевое наблюдение состоит в том, что автоморфизм Фробениуса ${ textstyle х к х ^ {p}}$ ездит с ${ textstyle sigma}$ , так что если обозначить ${ textstyle { text {Fix}} _ {p} (R) = {f in R: f ^ {p} = f }}$ , тогда ${ textstyle sigma}$ ограничивается изоморфизмом ${ textstyle { text {Fix}} _ {p} ( mathbb {F} _ {q} [x] / (f (x))) to prod _ {i = 1} ^ {n} { text {Fix}} _ {p} ( mathbb {F} _ {q} [x] / (f_ {i} (x)))}$ . По теории конечного поля ${ textstyle { text {Fix}} _ {p} ( mathbb {F} _ {q} [x] / (f_ {i} (x))}$ всегда является простым подполем этого расширения поля. Таким образом, ${ textstyle { text {Fix}} _ {p} ( mathbb {F} _ {q} [x] / (f (x)))}$ имеет ${ textstyle p}$ элементы тогда и только тогда, когда ${ textstyle f (x)}$ неприводимо.

Более того, мы можем использовать тот факт, что автоморфизм Фробениуса является ${ textstyle mathbb {F} _ {p}}$ -линейный для расчета фиксированного набора. То есть отметим, что ${ textstyle { text {Fix}} _ {p} ( mathbb {F} _ {q} [x] / (f (x)))}$ это ${ textstyle mathbb {F} _ {p}}$ -подпространство, и явный базис для него может быть вычислен в кольце многочленов ${ textstyle mathbb {F} _ {p} [x, y] / (f, g)}$ вычисляя ${ textstyle (х ^ {я} у ^ {j}) ^ {p}}$ и установив линейные уравнения на коэффициенты при ${ textstyle x, y}$ многочлены, которые удовлетворяются тогда и только тогда, когда это фиксировано Фробениусом. Отметим, что на данный момент у нас есть эффективно вычислимый критерий неприводимости, и оставшийся анализ показывает, как использовать его для поиска факторов.

Теперь алгоритм разбивается на два случая:

В случае малых ${ textstyle p}$ мы можем построить любой ${ textstyle g in { text {Fix}} _ {p} ( mathbb {F} _ {q} [x] / (f (x))) setminus mathbb {F} _ {p}}$ , а затем заметьте, что для некоторых ${ textstyle a in mathbb {F} _ {p}}$ Существуют ${ textstyle i, j}$ так что ${ textstyle g-a = 0 mod f_ {i}}$ и ${ textstyle g-a not = 0 mod f_ {j}}$ . Такой ${ textstyle g-a}$ имеет общий нетривиальный фактор с ${ textstyle f (x)}$ , который можно вычислить с помощью gcd. В качестве ${ textstyle p}$ маленький, мы можем перебрать все возможные ${ textstyle a}$ .
В случае больших простых чисел, которые обязательно являются нечетными, можно использовать тот факт, что случайный ненулевой элемент из ${ textstyle mathbb {F} _ {p} ^ {*}}$ квадрат с вероятностью ${ textstyle 1/2}$ , и что карта ${ textstyle x to x ^ { frac {p-1} {2}}}$ отображает множество ненулевых квадратов в ${ textstyle 1}$ , а множество неквадратов к ${ textstyle -1}$ . Таким образом, если взять случайный элемент ${ textstyle g in { text {Fix}} _ {p} ( mathbb {F} _ {q} [x] / f (x))}$ , то с хорошей вероятностью ${ textstyle g ^ { frac {p-1} {2}} - 1}$ будет иметь нетривиальный фактор, общий с ${ textstyle f (x)}$ .

Для получения дополнительной информации можно обратиться.^[1]

Приложения

Одним из важных приложений алгоритма Берлекампа является вычисление дискретные логарифмы над конечными полями ${ displaystyle mathbb {F} _ {p ^ {n}}}$ , куда ${ displaystyle p}$ прост и ${ Displaystyle п geq 2}$ . Вычисление дискретных логарифмов - важная проблема в криптография с открытым ключом и кодирование с контролем ошибок. Для конечного поля самый быстрый из известных методов - это индексный метод исчисления, который включает факторизацию элементов поля. Если мы представим поле ${ displaystyle mathbb {F} _ {p ^ {n}}}$ обычным способом - то есть как многочлены над базовым полем ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ , приведенный по модулю неприводимого многочлена степени ${ displaystyle n}$ - тогда это просто полиномиальная факторизация, как это предусмотрено алгоритмом Берлекампа.

Реализация в системах компьютерной алгебры

Доступ к алгоритму Берлекампа можно получить в пакете PARI / GP с помощью Factormod команда, а Вольфрам Альфа [1] интернет сайт.

Алгоритм Берлекампса - Википедия - Berlekamps algorithm

Содержание

Обзор

Концептуальное алгебраическое объяснение

Приложения

Реализация в системах компьютерной алгебры

Смотрите также

Рекомендации