График без биклик - Biclique-free graph

В теория графов, раздел математики, т-без бикликов Граф - это граф, у которого нет 2т-вертекс полный двудольный граф Kт,т как подграф. Семейство графов не имеет бикликов, если существует число т такие, что графы в семье все т-безиклинический. Семейства графов без бикликов образуют один из самых общих типов разреженный граф семья. Они возникают при проблемах заболеваемости в дискретная геометрия, а также использовались в параметризованная сложность.

Свойства

Разреженность

Согласно Теорема Кевари – Соша – Турана, каждые п-вертекс т-биклик-свободный граф имеет О(п2 − 1/т) края, значительно меньше, чем плотный граф имел бы.[1] И наоборот, если семейство графов определяется запрещенные подграфы или замкнутый относительно операции взятия подграфов, и не включает плотные графы сколь угодно большого размера, он должен быть т-без ликвора для некоторых т, иначе он включал бы большие плотные полные двудольные графы.

Как нижняя граница, Эрдеш, Хайнал и Мун (1964) предположил, что каждый максимальный т-бикликвный двудольный граф (тот, к которому нельзя добавить ребра без создания т-biclique) имеет не менее (т − 1)(п + м − т + 1) края, где п и м - это количество вершин по обе стороны от его двудолия.[2]

Отношение к другим типам семейства разреженных графов

Граф с вырождением d обязательно (d + 1)-бикликвезный. Кроме того, любые нигде не плотный семейство графов не имеет бикликов. В более общем смысле, если существует п-вершинный граф, который не является 1-мелким минором любого графа в семействе, то семейство должно быть п-бикликов, потому что все п-вершинные графы - это 1-мелкие миноры Kп,пТаким образом, семейства графов без бикликов объединяют два наиболее общих класса разреженных графов.[3]

Приложения

Дискретная геометрия

В дискретная геометрия, многие виды график заболеваемости обязательно без бикликов. В качестве простого примера, график инцидентностей между конечным набором точек и прямых в Евклидова плоскость обязательно не имеет K2,2 подграф.[4]

Параметризованная сложность

Графы без биклик использовались в параметризованная сложность для разработки алгоритмов, эффективных для разреженных графов с достаточно маленькими значениями входных параметров. В частности, найти доминирующий набор размера k, на т-биклик-свободные графики, можно обрабатывать фиксированные параметры при параметризации k + т, хотя есть веские доказательства того, что это невозможно с помощью k только как параметр. Аналогичные результаты верны для многих вариаций задачи о доминирующем множестве.[3] Также можно проверить, не превышает ли один доминирующий набор размеров k может быть преобразован в другой цепочкой вставок и удалений вершин, сохраняя доминирующее свойство, с той же параметризацией.[5]

использованная литература

  1. ^ Kővári, T .; Т. Сос, В.; Туран, П. (1954), «К проблеме К.Заранкевича» (PDF), Коллоквиум по математике., 3: 50–57, Г-Н  0065617. Эта работа касается количества ребер в двудольных графах без бикликов, но стандартное применение вероятностный метод переносит ту же оценку на произвольные графы.
  2. ^ Эрдеш, П.; Хайнал, А.; Мун, Дж. У. (1964), «Проблема теории графов» (PDF), Американский математический ежемесячник, 71: 1107–1110, Дои:10.2307/2311408, Г-Н  0170339.
  3. ^ а б Телле, Ян Арне; Вилланджер, Ингве (2012), «FPT-алгоритмы для доминирования в графах без бикликов», у Эпштейна, Лия; Феррагина, Паоло (ред.), Алгоритмы - ESA 2012: 20-й ежегодный европейский симпозиум, Любляна, Словения, 10–12 сентября 2012 г., Материалы, Конспект лекций по информатике, 7501, Springer, стр. 802–812, Дои:10.1007/978-3-642-33090-2_69.
  4. ^ Каплан, Хаим; Матушек, Иржи; Шарир, Миха (2012), «Простые доказательства классических теорем в дискретной геометрии с помощью техники многочленов Гута – Каца», Дискретная и вычислительная геометрия, 48 (3): 499–517, arXiv:1102.5391, Дои:10.1007 / s00454-012-9443-3, Г-Н  2957631. См., В частности, лемму 3.1 и замечания после леммы.
  5. ^ Локштанов Даниил; Mouawad, Amer E .; Панолан, Фахад; Ramanujan, M. S .; Саураб, Сакет (2015), «Реконфигурация на разреженных графах», в Дене, Франк; Мешок, Йорг-Рюдигер; Стеге, Ульрике (ред.), Алгоритмы и структуры данных: 14-й Международный симпозиум, WADS 2015, Виктория, Британская Колумбия, Канада, 5-7 августа 2015 г., Материалы (PDF), Конспект лекций по информатике, 9214, Springer, стр. 506–517, arXiv:1502.04803, Дои:10.1007/978-3-319-21840-3_42, заархивировано из оригинал (PDF) на 2017-11-13, получено 2017-05-24.