Гипотеза Бинга – Борсука - Bing–Borsuk conjecture

В математика, то Гипотеза Бинга – Борсука заявляет, что каждый ${ displaystyle n}$-размерный однородный абсолютный возврат по соседству пространство это топологическое многообразие. Гипотеза была доказана для размерностей 1 и 2, и известно, что из 3-мерной версии гипотезы следует Гипотеза Пуанкаре.

Определения

А топологическое пространство является однородный если для любых двух точек ${ displaystyle m_ {1}, m_ {2} in M}$, Существует гомеоморфизм из ${ displaystyle M}$ который берет ${ displaystyle m_ {1}}$ к ${ displaystyle m_ {2}}$.

А метрическое пространство ${ displaystyle M}$ является абсолютный возврат по соседству (ANR), если для каждого замкнутого вложения ${ displaystyle f: M rightarrow N}$ (куда ${ displaystyle N}$ - метрическое пространство) существует открытый район ${ displaystyle U}$ изображения ${ displaystyle f (M)}$ который убирает к ${ displaystyle f (M)}$.^[1]

Существует альтернативная формулировка гипотезы Бинга – Борсука: предположим, что ${ displaystyle M}$ является встроенный в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {м + п}}$ для некоторых ${ displaystyle m geq 3}$ и это вложение можно продолжить до вложения ${ Displaystyle M раз (- varepsilon, varepsilon)}$. Если ${ displaystyle M}$ имеет цилиндрическую окрестность отображения ${ displaystyle N = C _ { varphi}}$ какой-то карты ${ displaystyle varphi: partial N rightarrow M}$ с отображением проекции цилиндра ${ displaystyle pi: N rightarrow M}$, тогда ${ displaystyle pi}$ является приблизительное расслоение.^[2]

История

Гипотеза была впервые высказана в статье Р. Х. Бинг и Кароль Борсук в 1965 году, который доказал это для ${ Displaystyle п = 1}$ и 2.^[3]

Влодзимеж Якобше показал в 1978 году, что если гипотеза Бинга – Борсука верна в размерности 3, то гипотеза Пуанкаре также должна быть верной.^[4]

В Гипотеза Буземана заявляет, что каждый Busemann ${ displaystyle G}$-Космос является топологическим многообразием. Это частный случай гипотезы Бинга – Борсука. Известно, что гипотеза Буземана верна для размерностей от 1 до 4.

Рекомендации