Псевдообратная блочная матрица - Block matrix pseudoinverse

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Псевдообратная блочная матрица»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Декабрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а блочная матрица псевдообратная формула для псевдообратный из разделенная матрица. Это полезно для разложения или аппроксимации многих параметров обновления алгоритмов в обработка сигналов, которые основаны на наименьших квадратов метод.

Вывод

Рассмотрим разделенную по столбцам матрицу:

${displaystyle {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}}, quad mathbf {A} в mathbb {R} ^ {m imes n}, quad mathbf {B} в ​​mathbb {R} ^ { m imes p}, quad mgeq n + p.}$

Если приведенная выше матрица полного ранга, Обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза матрицы этого и его транспонирования являются

${displaystyle {egin {align} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ^ {+} & = left ({egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}) } ^ {extsf {T}} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ight) ^ {- 1} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix} } ^ {extsf {T}}, {egin {bmatrix} mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ^ {extsf {T}} end {bmatrix}} ^ {+} & = { egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} left ({egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ^ {extsf {T}} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ight) ^ {- 1} .end {выровнено}}}$

Это вычисление псевдообратного требует (п + п) -квадратная матрица и не использует блочную форму.

Чтобы снизить вычислительные затраты до п- и п-квадратных обращений матриц и для введения параллелизма, рассматривая блоки по отдельности, получаем ^[1]

${displaystyle {egin {align} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ^ {+} & = {egin {bmatrix} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf { A} влево (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {- 1} mathbf {P} _ {A} ^ {perp } mathbf {B} left (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {- 1} end {bmatrix}} = {egin { bmatrix} left (mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {+} left (mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {+ } end {bmatrix}}, {egin {bmatrix} mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ^ {extsf {T}} end {bmatrix}} ^ {+} & = {egin { bmatrix} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {-1}, quad mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} left (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B } ight) ^ {- 1} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} ight) ^ {+} & left (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} ight) ^ {+} конец {bmatrix}}, конец {выровнен}}}$

куда ортогональная проекция матрицы определяются

${displaystyle {egin {выравнивается} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} & = mathbf {I} -mathbf {A} left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {A} ight) ^ {-1} mathbf {A} ^ {extsf {T}}, mathbf {P} _ {B} ^ {perp} & = mathbf {I} -mathbf {B} left (mathbf {B} ^ {extsf { T}} mathbf {B} ight) ^ {- 1} mathbf {B} ^ {extsf {T}}. Конец {выровнено}}}$

Приведенные выше формулы не обязательно верны, если ${displaystyle {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}}}$ не имеет полного звания - например, если ${displaystyle mathbf {A} eq 0}$, тогда

${displaystyle {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {A} end {bmatrix}} ^ {+} = {frac {1} {2}} {egin {bmatrix} mathbf {A} ^ {+} mathbf { A} ^ {+} end {bmatrix}} eq {egin {bmatrix} left (mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {+} left (mathbf {P} _ { A} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {+} end {bmatrix}} = 0}$

Приложение к задачам наименьших квадратов

Учитывая те же матрицы, что и выше, мы рассматриваем следующие задачи наименьших квадратов, которые выглядят как множественные задачи оптимизации или задачи с ограничениями при обработке сигналов. В конце концов, мы можем реализовать параллельный алгоритм наименьших квадратов на основе следующих результатов.

Разделение по столбцам методом переопределенных наименьших квадратов

Предположим решение ${displaystyle mathbf {x} = {egin {bmatrix} mathbf {x} _ {1} mathbf {x} _ {2} end {bmatrix}}}$ решает чрезмерно детерминированную систему:

${displaystyle {egin {bmatrix} mathbf {A}, & mathbf {B} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} mathbf {x} _ {1} mathbf {x} _ {2} end {bmatrix}} = mathbf {d}, quad mathbf {d} в mathbb {R} ^ {m imes 1}.}$

Используя псевдообратную блочную матрицу, имеем

${displaystyle mathbf {x} = {egin {bmatrix} mathbf {A}, & mathbf {B} end {bmatrix}} ^ {+}, mathbf {d} = {egin {bmatrix} left (mathbf {P} _ {B } ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {+} left (mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {+} end {bmatrix}} mathbf {d}. }$

Следовательно, у нас есть разложенное решение:

${displaystyle mathbf {x} _ {1} = left (mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {+}, mathbf {d}, quad mathbf {x} _ {2} = left (mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {+}, mathbf {d}.}$

Построчное разбиение с помощью недоопределенных наименьших квадратов

Предположим решение ${displaystyle mathbf {x}}$ решает недоопределенную систему:

${displaystyle {egin {bmatrix} mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ^ {extsf {T}} end {bmatrix}} mathbf {x} = {egin {bmatrix} mathbf {e} mathbf {f} end {bmatrix}}, quad mathbf {e} в mathbb {R} ^ {n imes 1}, quad mathbf {f} в mathbb {R} ^ {p imes 1}.}$

Решение с минимальной нормой дается формулой

${displaystyle mathbf {x} = {egin {bmatrix} mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ^ {extsf {T}} end {bmatrix}} ^ {+}, {egin {bmatrix} mathbf {e} mathbf {f} end {bmatrix}}.}$

Используя псевдообратную блочную матрицу, имеем

${displaystyle mathbf {x} = {egin {bmatrix} left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} ight) ^ {+} & left (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} ight) ^ {+} end {bmatrix}} {egin {bmatrix} mathbf {e} mathbf {f} end {bmatrix}} = left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} ight) ^ {+}, mathbf {e} + left (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} ight) ^ {+}, mathbf {f}.}$

Комментарии к обращению матриц

Вместо ${displaystyle mathbf {left ({egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}}} ^ {extsf {T}} {egin {bmatrix} mathbf {A} & mathbf {B} end {bmatrix}} ight )} ^ {- 1}}$, нам нужно вычислить прямо или косвенно^{[нужна цитата ][оригинальное исследование? ]}

${displaystyle left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {A} ight) ^ {- 1}, четверть влево (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ight) ^ {- 1}, четверка влево (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {- 1}, четверка влево (mathbf {B} ^ { extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {- 1}.}$

В плотной и маленькой системе мы можем использовать разложение по сингулярным числам, QR-разложение, или же Разложение Холецкого заменить инверсии матриц числовыми процедурами. В большой системе мы можем использовать итерационные методы такие как методы подпространства Крылова.

Учитывая параллельные алгоритмы, мы можем вычислить ${displaystyle left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {A} ight) ^ {- 1}}$ и ${displaystyle left (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {B} ight) ^ {- 1}}$ в параллели. Затем мы заканчиваем вычислять ${displaystyle left (mathbf {A} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {B} ^ {perp} mathbf {A} ight) ^ {- 1}}$ и ${displaystyle left (mathbf {B} ^ {extsf {T}} mathbf {P} _ {A} ^ {perp} mathbf {B} ight) ^ {- 1}}$ также параллельно.

Смотрите также

• Обратимая матрица # Поблочная инверсия

Рекомендации

внешняя ссылка

• Справочное руководство по матрице к Майк Брукс
• Глоссарий линейной алгебры к Джон Буркардт
• Поваренная книга Матрицы к Кааре Брандт Петерсен
• Лекция 8: Решения неопределенных уравнений по наименьшей норме к [1]^{[постоянная мертвая ссылка ]}tanford.edu/~boyd/ Стивен П. Бойд]