Боголюбов внутренний продукт - Bogoliubov inner product

В Боголюбов внутренний продукт (Двухточечная функция Дюамеля, Боголюбов внутренний продукт, Скалярное произведение Боголюбова, Кубо -Мори-Боголюбов внутренний продукт) особый внутренний продукт в пространстве операторы. Внутренний продукт Боголюбова появляется в квантовая статистическая механика^[1][2] и назван в честь физика-теоретика Николай Боголюбов.

Определение

Позволять ${displaystyle A}$ быть самосопряженный оператор. Скалярное произведение Боголюбова любых двух операторов X и Y определяется как

${displaystyle langle X, Yangle _ {A} = int limits _ {0} ^ {1} {m {Tr}} [{m {e}} ^ {xA} X ^ {dagger} {m {e}} ^ {(1-x) A} Y] dx}$

Внутренний продукт Боголюбова удовлетворяет всем аксиомам внутреннего продукта: это полуторалинейный, положительно полуопределенный (т. е. ${displaystyle langle X, Xangle _ {A} geq 0}$) и удовлетворяет свойству симметрии ${displaystyle langle X, Yangle _ {A} = (langle Y, Xangle _ {A}) ^ {*}}$ куда ${displaystyle alpha ^ {*}}$ является комплексным сопряжением ${displaystyle alpha}$.

В приложениях к квантовая статистическая механика, Оператор ${displaystyle A}$ имеет форму ${displaystyle A = eta H}$, куда ${displaystyle H}$ это Гамильтониан квантовой системы и ${displaystyle eta}$ это обратная температура. В этих обозначениях скалярное произведение Боголюбова принимает вид

${displaystyle langle X, Yangle _ {eta H} = int limits _ {0} ^ {1} langle {m {e}} ^ {x eta H} X ^ {dagger} {m {e}} ^ {- x eta H} Yangle dx}$

куда ${displaystyle langle dots angle}$ обозначает термическое среднее по гамильтониану ${displaystyle H}$ и обратная температура ${displaystyle eta}$.

В квантовой статистической механике внутреннее произведение Боголюбова появляется как член второго порядка в разложении статистической суммы:

${displaystyle langle X, Yangle _ {eta H} = {frac {partial ^ {2}} {partial tpartial s}} {m {Tr}}, {m {e}} ^ {eta H + tX + sY} { igg vert} _ {t = s = 0}}$

Рекомендации