Лемма Брезиса – Либа. - Brezis–Lieb lemma

В математической области анализ, то Лемма Брезиса – Либа. это основной результат в теория меры. Он назван в честь Хаим Брезис и Эллиотт Либ, который открыл ее в 1983 году. Лемму можно рассматривать как улучшение, в определенных условиях, Лемма Фату к равенству. Таким образом, он был полезен для изучения многих вариационные задачи.^[1]

Лемма и ее доказательство

Утверждение леммы

Позволять $(Икс, μ)$ быть измерить пространство и разреши $ж п$ последовательность измеримых комплекснозначных функций на $Икс$ которые почти всюду сходятся к функции $ж$ . Ограничивающая функция $ж$ измеряется автоматически. Лемма Брезиса – Либа утверждает, что если $п$ положительное число, то

{ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {X} { Big |} | f | ^ {p} - | f_ {n} | ^ {p} + | f-f_ {n} | ^ {p} { Big |} , d mu = 0,}

при условии, что последовательность $ж п$ равномерно ограничена в $L п (Икс, μ)$ .^[2] Значительное последствие, которое обостряет Лемма Фату применительно к последовательности $| ж п | п$ , в том, что

{ displaystyle int _ {X} | е | ^ {p} , d mu = lim _ {n to infty} left ( int _ {X} | f_ {n} | ^ {p } , d mu - int _ {X} | f-f_ {n} | ^ {p} , d mu right),}

что следует из неравенства треугольника. Это следствие часто принимают за утверждение леммы, хотя более прямого доказательства оно не имеет.^[3]

Доказательство

Суть доказательства в неравенствах

{ displaystyle { begin {align} W_ {n} Equiv { Big |} | f_ {n} | ^ {p} - | f | ^ {p} - | f-f_ {n} | ^ {p } { Big |} & leq { Big |} | f_ {n} | ^ {p} - | f-f_ {n} | ^ {p} { Big |} + | f | ^ {p} & leq varepsilon | f-f_ {n} | ^ {p} + C _ { varepsilon} | f | ^ {p}. end {align}}}

Следствием этого является то, что $W п - ε | ж - ж п | п$ , почти всюду сходящаяся к нулю, ограничена сверху интегрируемой функцией независимо от $п$ . Наблюдение, что

{ Displaystyle W_ {n} leq max { Big (} 0, W_ {n} - varepsilon | f-f_ {n} | ^ {p} { Big)} + varepsilon | f-f_ { п} | ^ {p},}

и применение теорема о доминируемой сходимости к первому члену в правой части показывает, что

{ Displaystyle limsup _ {п к infty} int _ {X} W_ {n} , d mu leq varepsilon sup _ {n} int _ {X} | е-е_ {п } | ^ {p} , d mu.}

Конечность супремума в правой части при произвольности $ε$ , показывает, что левая часть должна быть равна нулю.

Рекомендации

Сноски

^ Львы 1985.
^ Брезис и Либ 1983, Теорема 2; Богачев 2007 г., Предложение 4.7.30; Либ и потеря 2001, Теорема 1.9.
^ Брезис и Либ 1983, Теорема 1; Эванс 1990, Теорема 1.8; Виллем 1996, Лемма 1.32.

Источники

В.И. Богачев. Теория меры. Vol. Я. Springer-Verlag, Берлин, 2007. xviii + 500 с. ISBN 978-3-540-34513-8
Хаим Брезис и Эллиот Либ. Связь поточечной сходимости функций и сходимости функционалов. Proc. Амер. Математика. Soc. 88 (1983), нет. 3, 486–490. Дои:10.1090 / S0002-9939-1983-0699419-3
Лоуренс К. Эванс. Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений в частных производных. Серия региональных конференций CBMS по математике, 74. Опубликовано для Совета конференций по математическим наукам, Вашингтон, округ Колумбия; Американского математического общества, Провиденс, Род-Айленд, 1990. viii + 80 с. ISBN 0-8218-0724-2
П.Л. Львы. Принцип концентрации-компактности в вариационном исчислении. Предельный случай. Я. Преподобный Мат. Iberoamericana 1 (1985), нет. 1, 145–201.
Эллиотт Х. Либ и Майкл Лосс. Анализ. Второе издание. Аспирантура по математике, 14. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2001. xxii + 346 с. ISBN 0-8218-2783-9
Мишель Виллем. Минимаксные теоремы. Прогресс в нелинейных дифференциальных уравнениях и их приложениях, 24. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1996. x + 162 с. ISBN 0-8176-3913-6

[FOOTNOTELions1985-1] Львы 1985.

[FOOTNOTEBrézisLieb1983Theorem_2Bogachev2007Proposition_4.7.30LiebLoss2001Theorem_1.9-2] Брезис и Либ 1983, Теорема 2; Богачев 2007 г., Предложение 4.7.30; Либ и потеря 2001, Теорема 1.9.

[FOOTNOTEBrézisLieb1983Theorem_1Evans1990Theorem_1.8Willem1996Lemma_1.32-3] Брезис и Либ 1983, Теорема 1; Эванс 1990, Теорема 1.8; Виллем 1996, Лемма 1.32.

[1]

[2]

[3]