Алгоритм Брона – Кербоша - Bron–Kerbosch algorithm

В Информатика, то Алгоритм Брона – Кербоша является алгоритм перебора для нахождения всех максимальных клики в неориентированном график. То есть, он перечисляет все подмножества вершин с двумя свойствами, что каждая пара вершин в одном из перечисленных подмножеств соединена ребром, и ни одно из перечисленных подмножеств не может иметь никаких дополнительных вершин, добавленных к нему при сохранении его полная связь. Алгоритм Брона – Кербоша был разработан Голландский ученые Coenraad Bron и Йоп Кербош, опубликовавший его описание в 1973 году. Хотя другие алгоритмы решения проблема клики имеют время работы, которое теоретически лучше для входов, которые имеют несколько максимальных независимых наборов, алгоритм Брона – Кербоша и последующие его усовершенствования часто сообщаются как более эффективные на практике, чем альтернативы.[1] Он хорошо известен и широко используется в прикладных областях алгоритмов графов, таких как вычислительная химия.[2]

Современный алгоритм Аккоюнлу (1973), хотя и представлен в разных терминах, его можно рассматривать как аналог алгоритма Брона – Кербоша, поскольку он генерирует то же рекурсивное дерево поиска.[3]

Без поворота

Основная форма алгоритма Брона – Кербоша - это рекурсивный возврат алгоритм, который ищет все максимальные клики в данном графе г. В более общем смысле, учитывая три непересекающихся набора вершин р, п, и Икс, он находит максимальные клики, включающие все вершины в р, некоторые из вершин в п, и ни одна из вершин в Икс. При каждом вызове алгоритма п и Икс непересекающиеся множества, объединение которых состоит из тех вершин, которые образуют клики при добавлении к р. Другими словами, п ∪ Икс - это множество вершин, которые присоединяются к каждому элементу р. Когда п и Икс оба пустые, нет других элементов, которые можно добавить к р, поэтому R - максимальная клика, и алгоритм выводит R.

Рекурсия инициируется установкой р и Икс быть пустой набор и п быть набором вершин графа. В каждом рекурсивном вызове алгоритм рассматривает вершины в п в очереди; если таких вершин нет, он либо сообщает р как максимальная клика (если Икс пусто) или возврат. Для каждой вершины v выбран из п, он выполняет рекурсивный вызов, в котором v добавлен к р и в котором п и Икс ограничены набором соседей N (v) из v, который находит и сообщает обо всех расширениях клик р которые содержат v. Затем он движется v от п к Икс чтобы исключить его из рассмотрения в будущих кликах и продолжить со следующей вершиной в п.

То есть в псевдокоде алгоритм выполняет следующие шаги:

алгоритм БронКербош1 (R, P, X) является    если п и Икс оба пусты тогда        отчет р как максимальная клика для каждого вершина v в п делать        БронКербош1 (р ⋃ {v}, п ⋂ N(v), Икс ⋂ N(v))        п := п  {v}        Икс := Икс ⋃ {v}

С поворотом

Базовая форма алгоритма, описанная выше, неэффективна в случае графов с множеством немаксимальных клик: он выполняет рекурсивный вызов для каждой клики, максимальной или нет. Чтобы сэкономить время и позволить алгоритму быстрее возвращаться в тех ветвях поиска, которые не содержат максимальных клик, Брон и Кербош представили вариант алгоритма, включающий «поворотную вершину». ты, выбранный из п (или в более общем плане, как поняли более поздние исследователи,[4] от п ⋃ Икс). Любая максимальная клика должна включать либо ты или один из его несоседей, иначе клика могла бы быть увеличена путем добавления ты к нему. Поэтому только ты и его не-соседи должны быть проверены как варианты выбора для вершины v что добавлено к р в каждом рекурсивном вызове алгоритма. В псевдокоде:

алгоритм БронКербош2 (R, P, X) является    если п и Икс оба пусты тогда        отчет р в качестве максимальной клики выберите опорную вершину ты в п ⋃ Икс    для каждого вершина v в п  N (ты) делать        БронКербош2 (р ⋃ {v}, п ⋂ N (v), X ⋂ N (v))        п := п  {v}        Икс := Икс ⋃ {v}

Если точка поворота выбрана так, чтобы минимизировать количество рекурсивных вызовов, выполняемых алгоритмом, экономия времени выполнения по сравнению с версией алгоритма без поворота может быть значительной.[5]

С порядком вершин

Альтернативный метод улучшения базовой формы алгоритма Брона – Кербоша включает отказ от поворота на самом внешнем уровне рекурсии и тщательный выбор порядка рекурсивных вызовов, чтобы минимизировать размеры наборов. п вершин-кандидатов в каждом рекурсивном вызове.

В вырождение графа г это наименьшее число d так что каждый подграф из г имеет вершину с степень d или менее. Каждый граф имеет упорядочение вырождения, такой порядок вершин, что каждая вершина имеет d или меньше соседи которые приходят позже в заказе; порядок вырождения можно найти в линейное время повторным выбором вершины минимальной степени среди оставшихся вершин. Если порядок вершин v алгоритм Брона – Кербоша является упорядочением вырожденности, то множество п вершин-кандидатов в каждом вызове (соседи v которые указаны позже в заказе) гарантированно будут иметь размер не болееd. Набор Икс исключенных вершин будет состоять из всех предыдущих соседей v, и может быть намного больше, чемd. В рекурсивных вызовах алгоритма ниже самого верхнего уровня рекурсии по-прежнему может использоваться поворотная версия.[6][7]

В псевдокоде алгоритм выполняет следующие шаги:

алгоритм БронКербош3 (G) является    п = V (г)    р = X = пусто для каждого вершина v в порядке вырождения г делать        BronKerbosch2 ({v}, п ⋂ N (v), X ⋂ N (v))        п := п  {v}        Икс := Икс ⋃ {v}

Этот вариант алгоритма может быть доказан как эффективный для графов с малым вырождением,[6] и эксперименты показывают, что это также хорошо работает на практике для больших разреженных социальные сети и другие графики из реального мира.[7]

пример

Граф с пятью максимальными кликами: четыре ребра и треугольник

В показанном примере графика алгоритм изначально вызывается с р = Ø, п = {1,2,3,4,5,6} и Икс = Ø. Стержень ты следует выбрать в качестве одной из вершин третьей степени, чтобы минимизировать количество рекурсивных вызовов; например, предположим, что ты выбирается в качестве вершины 2. Тогда остаются три вершины в п  N(ты): вершины 2, 4 и 6.

Итерация внутреннего цикла алгоритма для v = 2 выполняет рекурсивный вызов алгоритма с р = {2}, п = {1,3,5} и Икс = Ø. В пределах этого рекурсивного вызова, один из 1 или 5 будет выбрано в качестве оси поворота, и там будут два вторых уровнем рекурсивных вызовов, один для вершины 3 и другие для какого бы вершина не была выбрана в качестве оси поворота. Эти два вызова в конечном итоге сообщат о двух кликах {1,2,5} и {2,3}. После возврата из этих рекурсивных вызовов вершина 2 добавляется к Икс и удален из п.

Итерация внутреннего цикла алгоритма для v = 4 выполняет рекурсивный вызов алгоритма с р = {4}, п = {3,5,6} и Икс = Ø (хотя вершина 2 принадлежит множеству Икс во внешнем вызове алгоритма он не является соседом v и исключен из подмножества Икс перешли в рекурсивный вызов). Этот рекурсивный вызов завершится тремя рекурсивными вызовами второго уровня алгоритма, который сообщает о трех кликах {3,4}, {4,5} и {4,6}. Затем вершина 4 добавляется к Икс и удален из п.

На третьей и последней итерации внутреннего цикла алгоритма для v = 6, происходит рекурсивный вызов алгоритма с р = {6}, п = Ø и Икс = {4}. Поскольку этот рекурсивный вызов имеет п пустой и Икс непустой, он немедленно возвращается, не сообщая о каких-либо кликах, поскольку не может быть максимальной клики, которая включает вершину 6 и исключает вершину 4.

Таким образом, дерево вызовов алгоритма выглядит так:

BronKerbosch2 (Ø, {1,2,3,4,5,6}, Ø) BronKerbosch2 ({2}, {1,3,5}, Ø) BronKerbosch2 ({2,3}, Ø, Ø): вывод {2, 3} BronKerbosch2 ({2,5}, {1}, Ø) BronKerbosch2 ({1,2,5}, Ø, Ø): выход {1,2,5} BronKerbosch2 ({4}, {3 , 5,6}, Ø) BronKerbosch2 ({3,4}, Ø, Ø): выход {3,4} BronKerbosch2 ({4,5}, Ø, Ø): выход {4,5} BronKerbosch2 ({4 , 6}, Ø, Ø): вывод {4,6} BronKerbosch2 ({6}, Ø, {4}): нет вывода

Граф в примере имеет вырождение два; один возможный порядок вырождения - 6,4,3,1,2,5. Если к вершинам применяется версия алгоритма Брона – Кербоша с упорядочением вершин, то в этом порядке дерево вызовов выглядит как

BronKerbosch3 (G) BronKerbosch2 ({6}, {4}, Ø) BronKerbosch2 ({6,4}, Ø, Ø): выход {6,4} BronKerbosch2 ({4}, {3,5}, {6} ) BronKerbosch2 ({4,3}, Ø, Ø): выход {4,3} BronKerbosch2 ({4,5}, Ø, Ø): выход {4,5} BronKerbosch2 ({3}, {2}, { 4}) BronKerbosch2 ({3,2}, Ø, Ø): выход {3,2} BronKerbosch2 ({1}, {2,5}, Ø) BronKerbosch2 ({1,2}, {5}, Ø) BronKerbosch2 ({1,2,5}, Ø, Ø): вывод {1,2,5} BronKerbosch2 ({2}, {5}, {1,3}): нет вывода BronKerbosch2 ({5}, Ø, {1,2,4}): нет выхода

Анализ наихудшего случая

Алгоритм Брона – Кербоша не является алгоритм, чувствительный к выходу: в отличие от некоторых других алгоритмов проблемы кликов, он не работает в полиномиальное время на максимальную созданную клику. Однако он эффективен в худшем случае: в результате Луна и Мозер (1965), Любые п-вершинный граф имеет не более 3п/3 максимальные клики, а время работы алгоритма Брон-Кербоша в наихудшем случае (со стратегией поворота, минимизирующей количество рекурсивных вызовов, выполняемых на каждом шаге) составляет O (3п/3), что соответствует этой границе.[8]

Для разреженные графики, возможны более узкие границы. В частности, версия алгоритма Брона – Кербоша с упорядочением вершин может выполняться во времени. O (дн3d/3), где d это вырождение графа, мера его разреженности. Существуют d-вырожденные графы, у которых общее количество максимальных клик равно (п − d)3d/3, поэтому эта граница близка к точной.[6]

Заметки

  1. ^ Казальс и Каранда (2008).
  2. ^ Чен (2004).
  3. ^ Джонстон (1976).
  4. ^ Томита, Танака и Такахаши (2006); Казальс и Каранда (2008).
  5. ^ Джонстон (1976); Кох (2001); Казальс и Каранда (2008).
  6. ^ а б c Эппштейн, Лёффлер и Страш (2010).
  7. ^ а б Эппштейн и Страш (2011).
  8. ^ Томита, Танака и Такахаши (2006).

использованная литература

  • Аккоюнлу, Е. А. (1973), "Перечисление максимальных клик больших графов", SIAM Журнал по вычислениям, 2: 1–6, Дои:10.1137/0202001.
  • Чен, Лингран (2004), "Поиск субструктуры и максимальной общей субструктуры", в Bultinck, Patrick (ed.), Вычислительная медицинская химия для открытия лекарств, CRC Press, стр. 483–514, ISBN  978-0-8247-4774-9.
  • Брон, Коэн; Кербош, Джоп (1973), "Алгоритм 457: поиск всех клик неориентированного графа", Commun. ACM, ACM, 16 (9): 575–577, Дои:10.1145/362342.362367.
  • Cazals, F .; Каранде, К. (2008), «Заметка по проблеме отчета о максимальных кликах» (PDF), Теоретическая информатика, 407 (1): 564–568, Дои:10.1016 / j.tcs.2008.05.010[постоянная мертвая ссылка ].
  • Эппштейн, Дэвид; Лёффлер, Маартен; Страш, Даррен (2010), «Перечисление всех максимальных клик в разреженных графах за почти оптимальное время», в Cheong, Otfried; Чва, Кён-Ён; Парк, Кунсу (ред.), 21-й Международный симпозиум по алгоритмам и вычислениям (ISAAC 2010), Чеджу, Корея, Конспект лекций по информатике, 6506, Springer-Verlag, стр. 403–414, arXiv:1006.5440, Дои:10.1007/978-3-642-17517-6_36.
  • Эппштейн, Дэвид; Страш, Даррен (2011), "Список всех максимальных клик в больших разреженных графах реального мира", 10-й Международный симпозиум по экспериментальным алгоритмам, arXiv:1103.0318, Bibcode:2011arXiv1103.0318E.
  • Джонстон, Х. С. (1976), "Клики графа - варианты алгоритма Брона-Кербоша", Международный журнал параллельного программирования, 5 (3): 209–238, Дои:10.1007 / BF00991836.
  • Кох, Ина (2001), "Перечисление всех связанных максимальных общих подграфов в двух графах", Теоретическая информатика, 250 (1–2): 1–30, Дои:10.1016 / S0304-3975 (00) 00286-3.
  • Moon, J. W .; Мозер, Л. (1965), «О кликах в графах», Israel J. Math., 3: 23–28, Дои:10.1007 / BF02760024, Г-Н  0182577.
  • Томита, Эцудзи; Танака, Акира; Такахаши, Харухиса (2006), «Наихудшая временная сложность для генерации всех максимальных клик и вычислительных экспериментов», Теоретическая информатика, 363 (1): 28–42, Дои:10.1016 / j.tcs.2006.06.015.

внешние ссылки