Продукт без ручной клади - Carry-less product

Расчет безвозвратного продукта.

В продукт без переноски из двух двоичные числа это результат безвозвратное умножение этих чисел. Эта операция концептуально работает как длинное умножение за исключением того, что нести отбрасывается, а не применяется к более значимой позиции. Его можно использовать для моделирования операций над конечные поля, в частности умножение многочленов из GF (2) [Икс], кольцо многочленов над GF (2).

Операция также известна как Умножение XOR, поскольку добавление с отбрасыванием переноса эквивалентно исключающему или.

Определение

Учитывая два числа ${ displaystyle textstyle a = sum _ {i} a_ {i} 2 ^ {i}}$ и ${ displaystyle textstyle b = sum _ {i} b_ {i} 2 ^ {i}}$ ,с участием ${ displaystyle a_ {i}, b_ {i} in {0,1 }}$ обозначающих биты этих чисел. Тогда произведение этих двух чисел без переноса определяется как ${ displaystyle textstyle c = sum _ {i} c_ {i} 2 ^ {i}}$ , с каждым битом ${ displaystyle c_ {i}}$ вычисляется как Эксклюзивный или произведений битов из входных чисел следующим образом:^[1]

{ displaystyle c_ {i} = bigoplus _ {j = 0} ^ {i} a_ {j} b_ {i-j}}

пример

Рассматривать а = 10100010₂ и б = 10010110₂, со всеми числами, заданными в двоичном формате. Тогда их умножение без переноса - это, по сути, то, что можно получить, выполняя длинное умножение, но игнорируя переносы.

                  1 0 1 0 0 0 1 0 = а --------------- | --- | ------- | - 1 0 0 1 0 1 1 0 | 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 | 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 | 0 -------------------- ---------- 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 ^ ^

Таким образом, безвозвратный продукт а и б было бы c = 101100011101100₂.Для каждого бита, установленного в числе а, число б сдвигается влево на столько бит, как указано положением бита в аВсе эти сдвинутые версии затем объединяются с использованием исключающего или вместо обычного сложения, которое использовалось бы для обычного длинного умножения. Это можно увидеть в столбцах, обозначенных ^, где обычное добавление приведет к переносу в столбец слева, чего здесь не происходит.

Умножение многочленов

Произведение без переноса также можно рассматривать как умножение полиномов над полем GF (2) Это потому, что исключающее или соответствует добавлению в этом поле.

В приведенном выше примере числа а и б соответствует многочленам

{ displaystyle A = sum _ {i} a_ {i} X ^ {i} = X ^ {7} + X ^ {5} + X ^ {1} qquad B = sum _ {i} b_ { i} X ^ {i} = X ^ {7} + X ^ {4} + X ^ {2} + X ^ {1}}

и продукт из них

{ displaystyle C = A cdot B = sum _ {i} c_ {i} X ^ {i} = X ^ {14} + X ^ {13} + X ^ {12} + X ^ {11} + X ^ {7} + X ^ {6} + X ^ {5} + X ^ {3} + X ^ {2}}

какой номер c вычисленные выше кодировки. Обратите внимание, как ${ displaystyle (X ^ {7} cdot X ^ {1}) + (X ^ {1} cdot X ^ {7}) эквив 0}$ и ${ displaystyle (X ^ {7} cdot X ^ {2}) + (X ^ {5} cdot X ^ {4}) эквив 0}$ благодаря арифметике в GF (2). Это соответствует столбцам, отмеченным ^ в примере.

Приложения

Элементы GF (2^п), т.е. конечное поле чей заказ сила двух, обычно представляются в виде многочленов в GF (2) [Икс].Умножение двух таких элементов поля состоит из умножения соответствующих многочленов с последующим сокращением по отношению к некоторому неприводимому многочлену, взятому из конструкции поля. Если многочлены закодированы как двоичные числа, умножение без переноса можно использовать для выполнения первый шаг этого вычисления.

Такие поля находят применение в криптография и для некоторых контрольная сумма алгоритмы.

Реализации

Недавние x86 процессоры поддерживают Набор инструкций CLMUL и, таким образом, предоставить аппаратную инструкцию для выполнения этой операции.

Для других целей можно реализовать вычисление выше как программный алгоритм, и многие криптографические библиотеки будут содержать реализацию как часть своих арифметических операций с конечным полем.

Другие базы

Определение продукта без переноса как результата длительного умножения без учета переноса легко применимо к базы кроме 2, но результат зависит от базиса, который, следовательно, является важной частью операции. Поскольку эта операция обычно используется на компьютерах, работающих в двоичном формате, на практике используется двоичная форма, описанная выше.

У полиномов над другими конечными полями простого порядка есть приложения, но обработка коэффициентов такого многочлена как цифр одного числа довольно необычна, поэтому умножение таких многочленов не будет рассматриваться как умножение чисел без переноса.

Смотрите также

использованная литература

^ Шей Герон (13 апреля 2011 г.). "Инструкция Intel Carry -less Multiplication и ее использование для вычисления режима GCM - Rev 2". Intel.

[1] Шей Герон (13 апреля 2011 г.). "Инструкция Intel Carry -less Multiplication и ее использование для вычисления режима GCM - Rev 2". Intel.

[1]